抽象函数定义域的类型及求法

创作编号：BG75314000198134887SX 创作者： 别如克*

抽象函数定义域的类型及求法

抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，其有关问题对同学们来说具有一定难度，特别是求其定义域时，许多同学解答起来总感棘手．下面结合实例具体介绍一下抽象函数定义域问题的几种题型及求法．

一、已知f(x)的定义域，求fg(x)的定义域

其解法是：若f(x)的定义域为a≤x≤b，则在fg(x)中，a≤g(x)≤b，从中解得x的取值范围即为fg(x)的定义域．

例1

已知函数f(x)的定义域为15，，求f(3x5)的定义域．

分析：该函数是由u3x5和f(u)构成的复合函数，其中x是自变量，u是中间变量，由于f(x)与f(u)是同一个函数，因此这里是已知1≤u≤5，即1≤3x5≤5，求x的取值范围．

解：

410f(x)的定义域为15，，1≤3x5≤5，≤x≤．

33410故函数f(3x5)的定义域为，．

33二、已知fg(x)的定义域，求f(x)的定义域

其解法是：若fg(x)的定义域为m≤x≤n，则由m≤x≤n确定的g(x)的范围即为f(x)的定义域．

例2 已知函数f(x2x2)的定义域为0，3，求函数f(x)的定义域．

2分析：令ux22x2，则f(x22x2)f(u)，

由于f(u)与f(x)是同一函数，因此u的取值范围即为f(x)的定义域．

解：由0≤x≤3，得1≤x22x2≤5．

令ux22x2，则f(x22x2)f(u)，1≤u≤5． 故f(x)的定义域为15，．

三、运算型的抽象函数

求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，然后再求交集．

例３ 若f(x)的定义域为3求(x)f(x)f(2x5)的定义域． ，5，

3≤x≤5， 解：由f(x)的定义域为3解得，5，则(x)必有3≤2x5≤5，4≤x≤0．

所以函数(x)的定义域为4，0．

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