固体物理第一章总结完全版

固体物理第一章总结完全版

第一章 晶体的结构

一、本章内容

1、晶体的共性 ( crystal characters )

2、晶格及其平移对称性（lattice and translation symmetry ）

3、晶列和晶面（crystal array and plane ）

4、晶体的宏观对称性（crystal symmetry ）

二、本章要求

1、掌握晶体的特征。

晶格周期性的描述方法：基元、布拉菲格子、原胞、基矢的概念。

简单格子与复式格子，原胞、晶胞的概念与选取。常见晶格结构及其代表晶体。 2、掌握晶列与晶面，晶向指数与晶面指数（密勒指数）的含义与确定方法。 3、熟悉晶体的对称操作、对称素的概念，晶体点群的基本知识。 七大晶系与十四种布拉菲格子。

三、本章知识框图

s bcc fcc 定义：内部质点在三维空间呈周期性重复排列的固体长程有序性自限性和晶面角守恒定律

晶体的共性各向异性固定熔点

晶格定义：晶体中原子排列的具体形式简立方结构（c ）体心立方结构（）（Li,Na,K,Rb,Cs,Fe ）六角密排结构（hcp ）（Be,Mg,Zn,Cd ）密堆积结构面心立方结构（）（Cu,Ag,Au,Al ）常见的晶体结构金刚石结构（Ge,Si ）NaCl 晶体晶体的结构C =ηη

结构sCl 结构闪锌矿结构钙钛矿结构一个原子的周围最近邻的原子数配位数：配位数反映原子排列的紧密程度，粒子排列越紧密，配位数越大描述晶体紧密程度的物理量致密度，或堆积因子是指晶胞中所有原子的体积与晶胞体积之比；致密度：晶胞中原子的体积之和公式表示：晶胞体积在整体范围单晶体分类??

内原子排列都是规则的晶带：在晶体中有一些晶面的交线(晶棱)互相平行，这些晶面称为一个晶带带轴：相互平行的晶棱的共同方向称为带轴多晶体：由许多单晶体构成，在个晶粒范围内，原子排列是有序的

点阵：晶体的内部结构，可以概括为有一些相同的化学质点在空间有规律地作

周期性的无限分布。这些化学质点的分布总体称为点阵，也称为格子

结点：点阵中的点子称为阵点、结点或格点

布拉菲格子：格点的周期性阵列，即如果把晶体结构看做是三维空间无限延伸的，则

任一

点周围的情况都是完全相同的，通常把这种点的周期性阵列称为布拉菲格子基元：构成阵点的具

基元和晶体结构

晶体晶体的几何架构描述

1?

体原子、离子、分子或其集团

简单格子：基元是一个原子，所有原子完全等价

包含两种或两种以上的等价原子

、不同原子或离子构成的晶体。如NaCl,CsCl,ZnS等

晶格构成类型2、相同原子但几何位置不等价的原子构成的晶体。

复式格子：

如金刚石结构的C、Si、Ge 六角密排结构Be、Mg、Zn

特点：不同等价原子各自构成相同的简单晶格复式格子是由它们的子晶格相套而成

原胞：相应简单晶格的原胞，一个

112233

l

R l a l a l a

=++

原胞中包含各种等价原子各一个

格矢：晶格中任意格点的位置矢量的集合

原胞：晶格最小的周期性单元

选取不唯一，只要是晶格的最小周期性单元即可

同一晶格各原胞的面积或体积大小相等

原胞和基矢

原胞的特点布拉菲晶格的原胞只含一个原子

只反映晶格的周期性，不能反映晶格的对称性

其必要条件

Wigner Seitz

Wi

-

是在其范围内只包含一个格点

原胞基矢：原胞的边矢量

晶胞：又称为惯用原胞是一倍或几倍于原胞的晶格周期性单位，既能反映晶格的周期性又能反映其对称性

定义：一种特殊类型的周期性结构单元，既显示晶体的对称性又是最小的重复单元原胞作法：将某格点同它相同与它相邻的所有格点连成直线，然后作这些直线的中垂面，

这些面围成的最小体积，就是gner Seitz

-

原胞

定义：布拉菲格子的格点可看成分列在一系列相互平行的直线上，而无遗漏，这样的直线系称为晶列

晶列特点：晶列上的格点具有一定的周期性

定义：如果一平行直线族把格点包括无遗，且每一直线上都布有格点，则这些直线为同一族晶列晶列族

特征：取向相同，晶列上格点的周期相同

晶向：同一格子可以形成方位不同的晶列，晶列取向称为晶向

晶向指数：一组能表示晶列方向

晶向指数

[]

''''''

'112233123123

123

123

,,

,,

,,

l

R l a l a l a l l l l l l

l l l

l l l

=++

的数

表示：晶列上某一个点相对于原点的位矢为，将、、化为互质的整数

记作即为该晶向的指数,又称为晶列指数。遇到负数，负号记在数的上方。

等价的晶向用表示

定义：布拉菲格子的格点可看成在相互平行间距相等的平面而无遗漏格点所在的面称为晶面晶格中一族的晶面

晶面特点

123

,,

a a a

不仅平行，并且灯等距

一族晶面必包含了所有格点而无遗漏

原胞的三个基矢末端格点必分别落在该族的不同晶面上

晶面族：相互平行、间距相等、格点分布情况相同的总体，称为晶面族

定义：能够标识晶面取向的一组数

固体物理学原胞表示：对于给定的晶面族，以基矢为坐标系，求出任意一晶面在

坐标轴上的截距将截距取倒数并化

两种标志方法

晶面指数

()

()

123

123

,,,

,,

,,

h h h

h h h

h k l

为互质的整数

记为即为该晶面族的晶面指数

结晶学原胞表示：用结晶学原胞基矢构成坐标系，得到的晶面指数，称之为密勒指数，

用表示

同一晶体中面间距相同的晶面族，由于在垂直于晶面的方向上，其宏观性质相同，所以称为同族晶面族，

并以大括号表示之

1,2,3,4,6n n 定义：晶体经过某些特定的操作后能够恢复到原来状态的性质这些特定的操作称为对称操作定义：操作时晶体至少有一点保持不变，即点对称操作绕某一个轴的转动操作对某一个面的镜像操作对称操作对某一个点的反演操作上述三者的组合操作定义：对称操作所依赖的几何要素晶体的宏观对称性度旋转轴反映和镜面对称元素度象转轴中心反演旋转反演轴基本对称操作：晶体晶体的对称性,,,4i m n

定义：对称操作中包含平移操作或是有平移操作的复合操作晶体的微观对称性度螺旋轴对称元素滑移反映面操作群：一个晶体具有的满足群的定义的所有对称操作构成一个操作群点操作：由于晶体在进行宏观对称操作时，至少有一点是不动的，故称为点操作点群：以基本对称元素组成的对称操作群点群和空间群定义：晶体结构内部由宏观对称元素和微观对称元素一空间群73,n a b c αβγ

≠≠≠≠? 晶系 基矢特性 布拉菲格起子组合而成的对称群简单空间群：

由一个平移群和一个点群的全部对称操作结合而成，共个分类复杂空间群：群中包含重螺旋轴和滑移反映面三斜晶系： 简单三七大晶系和十四种布拉菲格子o o

o

o o ,90,90,90,90120,120,90o o a b c a b c a b c a b c a b c αγβαγβαγβαβγαγβ?≠≠==≠≠≠====≠===???=≠===?====<≠斜简单单斜单斜晶系： 底心单斜简单正交底心正交正交晶系： 体心正交面心正交简单四方四

方晶系： 体心四方六角晶系： ， 六角三角晶系： o ,90a b c αγβ

=====

三角简单立方立方晶系： 体心立方面心立方

定义：又称为无定性物质，是一些不具有长程有序性，但在原子间距范围内具有一定的短程有序性的物质没有一定的规则的形状非晶态性质没有固定的熔点

物理性质在各个方向上相同，即“各向同性”

特点：失去了长程有序性，但与有短程有序性定义：一种介于晶态与非晶态之间的状态，由几种图案组合而成的可以布满整个空间的结构， 具有一定的对称性但不具有平移对称性具有长程的取向序而准晶态特点??

没有长程的平移对称序取向序具有周期性所不能容许的点群对称

沿取向序对称轴的方向具有准周期性，由两个或两个以上不可公度（指线段的比值为无理数或者两者不存在公倍数）的特征长度按特定的序列方式排列 四、本章知识要点

1、晶体的共性

一、长程有序

长程有序:晶体中的原子都是按一定规则排列的，这种至少在微米量级范围的有序排列，称为晶体的长程有序。

二、自限性和晶面角守恒定律

自限性:晶体具有自发地形成封闭几何多面体的特性，称为晶体的自限性。由于生长条件的不同，同一种晶体的外形会有差异。

晶面角守恒定律:尽管同一种晶体的外形可能不同，但相应的两晶面之间的夹角总是不变的，这一规律称为晶面角守恒定律。 三、各向异性

各向异性：晶体对光、电、磁、热以及抵抗机械和化学作用在各个方向上是不一样的（等轴系晶体除外），这称为晶体的各项异性。

各向异性的表现有一下几个方面：

（1）平行石英晶体的晶轴入射的单色光，不产生双折射；而沿其它方向入射的单色光，会产生双折射。 （2）晶体具有沿某些确定方位的晶面发生劈裂的现象，晶体的这一解理性也是各向异性的表现。 （3）外形上也可反映晶体的各向异性。不同方位晶面的形状、大小不同。 四、固定熔点

晶体有固定的熔点。

2、常见的晶体结构

一、晶格：晶体中原子排列的具体形式。

不同晶体原子规则排列的具体形式如果是不同的，则它们具有不同的晶体结构；若晶体的原子排列形式相同，只是原子间的距离不同，则它们具有相同的晶体结构。

二、分类：

1、简单立方晶体结构

可以把晶格设想成原子球的规则堆积，在一个平面内最简单的堆积是正方排列。任一原子球与同一平面店内的四个最相邻近似相切。把这样的原子层叠起来，各层的球完全对应，就形成所谓的简立方结构。用圆点表示圆点的位置—得到简单立方晶格结构。

2、体心立方晶格结构

如果把简立方堆积的原子球均匀的散开一些，在原子球的空隙内放一个全通的原子球，使空隙内的原子球与最近邻的八个原子球相切，即构成体心立方结构。

3、密堆积结构晶体

原子球如果要构成最紧密的排列，每一个球都必须与同平面内相邻的6个原子球相切，原子球在一个平面内最紧密的排列方式，称为密排面。把密排面叠起来可以形成原子最紧密堆积的晶格。最紧密的堆积可以形成两种不同最紧密的晶格排列——六角密排和立方密排。

在堆积时，如果第二层密排面上的原子球的球心对准前一层的球隙，第三层的原子球心对准第二层的球隙并和第一层的原子球心一一对准，典型的结构单元如图所示,这样的得到晶格，称为六角密排晶格（hexagonal close-packed；hcp）。

hcp

六角密排晶格的典型结构单元

hcp bcc

在堆积时，如果第二层密排面上的原子球的球心对准前一层的球隙，第三层的原子球心对准第二层的其他三个未被第一层占据的球隙，第四层原子球心与第一层的原子球心一一对准，第五层与第二层对应，则得到如图所示的立方密排晶格（cubic close-packed；），即形成面心立方（face-centered cubic；fcc）晶体结构。

立方密排（面心立方）晶格的典型特点

面心立方晶格结构

（在做题过程中我们也遇到了原子数面密度，即原子数与晶面面积的比值)

4、金刚石结构：

金刚石结构是由两个碳原子构成的面心立方子晶格沿着立方对角线的方向彼此移

动对角线长度的1/4套构而成。半导体材料，单晶硅、单晶锗的结构与金刚石结构相同。

5、氯化钠型结构:

氯化钠晶格是由纳离子和氯离子相间排列构成的。钠离子和氯离子各自构成一面心

立方格子，彼此之间沿立方边位移立方边的一半穿套而成，也就是说，氯化钠晶体是两种不同离子各自构成的面心立方子晶格套构形成的。

6、氯化铯型结构:

氯离子位于立方体的顶角，铯离子则位于中心。氯离子与铯离子各自构成一简立方子晶格，沿立方体的对角线位移一半长度套构而成。

7、闪锌矿结构：

硫化锌的结构与金刚石结构相似，只要将金刚石结构的基元换成相同位置的一对硫原子和锌原子就可以了。锑化铟、砷化镓、磷化铟等Ⅲ-Ⅴ族化合物具有与硫化锌的结构相同，统称为闪锌矿结构。

8、钙钛矿结构

钙钛矿结构是钛酸钙（3CaTiO ）类型的结构。重要的压电铁电晶体，如钛酸钡（3BaTiO ）、锆酸铅（3PbZrO ）、铌酸锂（3LiNbO ）、钽酸锂（3LiTaO ）等都是钙钛矿结构。

下面以钛酸钡为例来说明这种结构 在立方体的顶角上是钡（Ba ），体心是钛（Ti ）,面心是氧（O ）。

氧分成了三组，处于立方体相对面心上的两个氧为一组，三组氧（O Ⅰ，O Ⅱ，O Ⅲ）周围情况各不相同。

整个晶格由钡、钛和三组氧各自组成的简立方布拉菲格子（五个）套构而成。

如果把三组氧连接起来，它们构成等边三角形；整个原胞有8个这样的三角形，围成一个八面体，称为氧八面体。

NaCl 晶格结构的典型单元

CsCl 晶格结构的典型单元

闪锌矿晶格结构的典型单元

3、基元和晶体结构

一、基元和晶体结构

构成阵点的具体原子、离子、分子或其团（包括种类、数量、取向等），都是构成晶体的基本结构单元，称为基元。

基元包括构成晶体的原子（离子、分子）的种类、数量、相对取向及位置。在每一个格点上放上一个基元，整个晶体的结构就可以用晶格来表示。

晶格与晶体有着相同的几何性质，但是完全不含任何物理内容，也就是说，用原子在平衡位置的几何点代替每一个原子，得到一个与晶体几何特征相同、但无任何物理实质的几何图形，这个几何图形是晶格。

实际晶体的结构与点阵和基元的关系可以概括为：晶体结构=晶格+基元

二、简单格子和复式格子

晶格可以分为两类：简单格子（布拉菲格子）和复式格子（非布拉菲格子）。

在布拉菲格子中，所有的格点都是等价的，当然要求晶体中的所有原子都等价（种类相同、性质相同）。 在复式格子中，有些格点是不等价的。金刚石、NaCl 、CsCl 、六角密积、C 60等晶体就是这样的结构。 复式格子（非布拉菲格子）经常说成是晶格附着一个基元。比如金刚石结构虽然是由一种原子构成的，但它在立方体顶角上的碳原子和体心处的碳原子是不等价的，两个原子的周围情况不同，所以是复式格子。这两个原子就是构成金刚石结构晶体的基元；在C 60晶体中，60个碳原子组成的原子团就是构成C 60晶体的基元。

基元中相应原子在晶格中的位置都是等价的，所以复式格子可以看成是由若干个相同的简单格子（布拉菲格子）相互位移套构成的。

4、原胞和基矢

一、原胞和基矢

晶格是由基本平移矢量定义的。由两个不在同一直线上的平移矢量可以得到所有个点的位置，由这个方程式表示的所有适量的集合，称为格矢。

由两平移矢量构成的平行四边形就是二维晶格的原胞。

原胞是指能完全平移覆盖晶格的最小单元，它只反映晶格的周期性。 原胞的选取不是唯一的，原则上只要是晶格的最小周期性单元都可以。 同一晶格中的各种原胞的面积

（或者体积）大小相同。 布拉菲晶格的原胞中只含一个原子。

原胞的必要条件是在其范围内只包含一个格点。 二、晶胞或惯用原胞

晶胞或称为惯用原胞是一倍或几倍于原胞的晶格周期性单位，它既可以反映晶格的周期性，又可以反映晶格的对称性。为了反映晶格的对称性，常取最小重复单元的几倍作为重复单元。一些情况下，晶胞就是原胞。

在二维矩形晶格的情况下，晶胞就是这个矩形，矩形的两边就是惯用原胞基矢（,a b →→

），如下图所示。

C 60

Face centred cubic

a a a b

原胞与惯用原胞

在这种情况下，虽然晶胞比原胞大，但是它更能清楚地反映晶格的对称性。

注意晶胞或惯用原胞的定义与非布拉菲点阵无关.晶格常数a 通常指晶胞的边长。同样，晶胞的选择也不是唯一的，以方便为原则。

晶胞的边在晶轴方向，边长等于该方向上的一个周期

晶胞的基矢——晶胞三个边的矢量

三、Winger-Seitz原胞

简称W-S原胞，是一种特殊类型的周期性结构单元，它既能显示晶体结构的对称性，又是最小的重复单元。

作法：把某格点同它相同与它相邻的所有格点连成直线，然后作这些连线的中垂面，这些面所围成的最小体积，就是W-S原胞。

常见晶体的Winger-Seitz原胞

1、简立方——原点和6个近邻格点连线的垂直平分面围成的立方体

2、面心立方晶格——原点和12个近邻格点连线的垂直平分面围成的正十二面体

3、体心立方——原点和8个近邻格点连线的垂直平分面围成的正八面体，和沿立方轴的6个次近邻格点连

线的垂直平分面割去八面体的六个角，形成的14面体（八个面是正六边形，六个面是正四边形）

四、常见晶体结构的原胞和晶胞

1、简立方

简立方结构的晶体，结点只分布在立方体的顶角上，即简立方的一个顶角为8个原胞共有，一个原胞只包含一个格点。如下图所示，简立方的原胞和晶胞是统一的。若立方体的边长为a ，则简立方的原胞和晶胞表示为：

123a a a i

a b a j a c a k →→

→

→→

→→→→?==??====?

3123()a a a a →→→

Ω=??=原胞和晶胞的体积相等：

2、体心立方

如图所示是体心立方晶胞和原胞基矢的一种选取方法，格点位于晶胞的顶角和体心上，原胞和晶胞基矢不再统一。容易看出，若立方体的边长为 a ，晶胞基矢然为：

a a i

b a j

c a k →

→

→

→→→?=??=??=??

一个晶胞包含18

8+1=2个格点，晶胞的体积应为原胞体积 的2倍。晶胞的边长就是立方体的边长，也称为晶格常数。

原胞：在体心立方晶格中，可以由一个立方体顶点到最近的三个体心得到晶格基矢123a a a →

→

→

,,，以它们为棱形成的平行六面体构成原胞。

原胞基矢为：

()

()

()

12

3222a a i j k a a i j k a a i j k ?=+-??

=-+??

=-++??

3123()2,a a a a →→→

Ω=??=原胞体积为：是晶胞体积的一半

3、面心立方

如图所示是面心立方晶胞和原胞基矢的一种选取方法，格点位于晶胞的顶角和面心上。每个晶胞有八个顶角和六个面心，包含11

882

+?=个格点。晶胞基矢然为： 3a 2

a

简立方的原胞和晶胞

1a

→

a a i

b a j

c a k →

→

→

→→→?=??=??=??

原胞基矢为：

123()2()2()2a a j k a a k i a a i j →→→→

→→→→→?=+

=+??

=+??

3123()14a a a a →→→

Ω=??=原胞体积为：为晶胞体积的

4、 六角密排

六角密排晶格的原胞基矢选取

一个原胞中包含A 层原子和B 层原子各一个，共两个原子。

5、晶列和晶面指数

一、晶列和晶向指数 1、晶列和晶向指数

晶列：由于晶体的周期性结构，布拉菲格子的格点可以看成分列在一系列相互平行的直线上，而无遗漏，这样的直线系称为晶列。

晶向：同一格子可以形成方位不同的晶列，晶列的取向称为晶向。 晶向指数：一组能表示晶列方向的数称为晶向指数。

晶向指数可根据晶列上格点的周期性，用如下的方法来表标志：

取晶列直线上一格点为坐标原点，该晶列上另一格点相对该点的位矢为：

332211''''a l a l a l R l ++=

123123123',',',,,l l l l l l l l l 将化为互质的整数记作[]，即称为该晶向的指数，又称为晶列指数。遇到

，负数，负号记在数的上方。 注

：

123l l l 不同的基矢坐标，其晶向指数的表示不同。等价的方向用表示。

二、 晶面和密勒指数 1、晶面指数和密勒指数

晶面:布拉菲格子的格点，也可以看成分列在相互平行、间距相等的平面上而无遗漏，这些包含格点的平面称为晶面。

晶面指数: 能够标志晶面取向的一组数，称为晶面指数。

要描写一个平面的方位，就是要找出一个坐标系中表示该平面的法线方向，或给出该平面在三个坐标轴上截距。显然，根据基矢取坐标系时，晶面指数也有两种标志方法。

(1) 固体物理学原胞——晶面指数 (2) 结晶学原胞——密勒指数

为了标志一个晶面，通常选取某一个格点为原点，以基矢123,,a a a 为坐标，并取

123,,a a a 为沿着三个坐标轴的天然长度

设某一族晶面的面间距为d ，它的法线方向的单位矢量为n 。则在这族晶面中，离开原点的距离为d μ的晶面的方程式为

X n d μ?= （1）

其中μ为整数，X 是晶面上任一点的位置矢量

设此晶面与三个坐标轴的交点的位矢分别为123,,ra sa ta 。

依次代入（1）式就得到：()()()112233cos ,cos ,cos ,ra a n d sa a n d ta a n d

μμμ=??

=??

=?

取123,,a a a 为沿三个坐标轴的天然的长度单位，则得： ()()()123111

cos ,:cos ,:cos ,::a n a n a n r s t

= （2）

所以，晶面的法线方向与三个坐标轴（基矢）之间夹角的余弦之比等于晶面在三个坐

标轴上的截距的倒数之比。说明用方向余弦和截距标志晶面是等价的。

证明,,r s t 必为有理数：

因为在该族晶面中有三个晶面必过123,,a a a 的端点所对应的格点。设123,,a a a 的端点上的格点分别在离原点123,,h d h d h d 的晶面上，这里123,,h h h 都是整数。

按照（1）式，对这三个晶面分别有：11a n h d →→

=，22a n h d →→

=，33a n h d →→

=。 其中n →

是这族晶面公共法线的单位矢量。

所以有：()()()111222333cos ,cos ,cos ,a a n h d a a n h d a a n h d

=??

=??

=?

用天然长度之后

()()()123123cos ,:cos ,:cos ,::a n a n a n h h h = （3）

即晶面族的法线方向与三个基矢之间夹角的余弦之比等于三个整数之比。

比较（2）式和（3）式，容易看出,,r s t 分别是两个整数之比，必为有理数。这就是阿羽依的有理指数定律：任一晶面的截距 r 、s 、t 必是一组有理数。

证明整数123,,h h h 互质：

方程（1）中，取1μ=，得第一晶面满足的方程组：()()()1122233

1

cos ,1

cos ,1

cos ,a n d h a a n d h a n d h ?===?? （4）

设第一晶面某一个格点的格矢为112233l R l a l a l a =++，其中123,,l l l 为整数。将格矢代入方程（1），有

()()()112233cos ,cos ,cos ,l a n l a n l a n d ++= （5）

由（4）和（5）得 1122331l h l h l h ++= （6） 如果123,,h h h 不是互质数，而是有公因子m ,m 一定是大于1的整数。

令112233',','h mh h mh h mh ===,123',','h h h 为互质整数则（6）式可写为()112233'''1m l h l h l h ++=（7）在（7）式中，括号内为非零整数，则此式不成立。所以123,,h h h 必为互质数。

显然，这组互质的整数可用来表示晶面的法线方向，就称它们为该族晶面的面指数，习惯上用圆括号表示，记为()123,,h h h 。 2、求晶面指数的方法

对于给定的晶面族，以基矢123,,a a a 为坐标系，求出任意一个晶面在坐标轴上的截距，将截距取倒数并化为互质的整数123,,h h h ，记为()123,,h h h ，就是该晶面族的晶面指数。

密勒指数:用结晶学原胞基矢构成坐标系, 得到的晶面指数, 称之为密勒指数，用()hkl 表示。 注：同一族晶面，在不同坐标系中求得的指数往往是不同的。

（1）面指数可正可负，当晶面在基矢坐标轴正方向相截时，截距系数为正，在负方向相截时，截距系数为负。

（2）同一晶体中面间距相同的晶面族，由于在垂直于晶面的方向上，其宏观性质相同，所以称为同族晶面族，并以大括号表示之。

6、晶体的对称性

一、晶体的对称性与对称操作 1、晶体的平移对称性

一个晶格，在平移格矢112233l R l a l a l a →

→

→

→

=++（123,,l l l 为整数）之后，结果与原来晶格完全一样，特性也完全相同，这种性质称为晶体的平移对称性。

晶体的平移对称性，概括了晶体的周期性，也就是说，在晶格中，位置矢量r →表示的格点和位置矢量r R →→

+ 表示的格点情况完全相同，相应的物理性质也完全相同。 2、 三维晶体的正交变换 （1）转动

如图，使晶体绕直角坐标 x 1 轴转动θ角，则晶体中的点'

'

'

123123(,,)(,,)x x x x x x →

变换关系为112233

23''cos sin 'sin cos x x x x x x x x θθθθ

=??

=-??=+?

变换关系用矩阵表示，则为

'11'22'3310

00cos sin 0sin cos x x x x x x θθθθ

=- ? ??? ??? ??

可以用变换矩阵A 具体代表这一转动操作。

1

00

0cos sin 0sin cos θ

θθθ??

=- ? ??

A 1A = （2）中心反演

取中心为原点，经过中心反演后，图形中的一点123(,,)x x x 变成123(,,)x x x ---

变换关系为11

223

3'''x x x x x x

=-??

=-??=-?

变换矩阵100010001A -?? ?

=- ? ?-??

1A =-

（3）镜像

以30x =面作为镜面，镜像对称操作是将123(,,)x x x 变

成

123(,,)x x x -

变换关系为11223

3'''x x x x x x

=??

=??=-?

直角坐标的转动

变换矩阵 100010001A ?? ?

= ? ?-??

1A =-

三、对称元素

对称元素是对称操作所依赖的几何要素，如点、线和面等。 分类

1、n 度旋转轴：晶体绕某一固定轴旋转2n θπ=角度后，能够自身重合的操作称为旋转对称操作。对称

元素是该操作所依赖的旋转轴，称为n 度（或者n 重、n 次）旋转对称轴，其中n 只能取1,2,3,4,6五个值，熊夫利符号用n C 表示， 国际符号用n 表示。

2、反映和镜面：晶体沿某一平面反映后能与自身重合的操作，称为反映对称操作，该操作所依赖的平面，

称为镜面（或对称面），用σ（或m ）表示。 3、n 度象转轴：晶体绕某一固定轴旋转角度2n θπ=，同时对垂直于此轴的某一镜面进行反映，晶体能

自身重合，这样的操作称为象转对称操作。该操作所依赖的旋转轴，称为n 度象转轴，用n S 表示。象转操作是旋转和反映的复合操作，显然：n n h h n S C C σσ==

4、中心反演：二度象转轴(n S )这一对称操作（旋转180后，再反映)称为中心反演。中心反演操作常用I (或

i )表示。对称元素是二度象转轴和镜面的交点，称为对称中心。22h I S C σ==

5、旋转-反演轴：如果晶体绕某一对称轴旋转角度2n θπ=后，再经过中心反演，能够自身重合，则称该

轴为n 度旋转-反演轴，用n 表示。

6、n 度螺旋轴：一个n 度螺旋轴是指晶体绕轴每转2n θπ=角度后，再沿该轴的方向平移T n →

的l 倍，晶

体能够恢复到原来的状态。其中，n 只能取1，2，3，4 和 6 五个值；l 为小于 n 的整数，

T →

是轴向的周期矢量。

7、滑移反映面：一个滑移反映面是指晶体经过该面的镜像操作后，再沿平行于该平面的某个方向平移T n

→

的距离，晶体能够恢复到原来的状态。其中，n 只能取2和4，T →

是平移方向上的周期矢量。

在习惯上，常把以下八种对称操作称为基本的对称操作：1,2,3,4,6,,,4i m

五、 典型例题

1、证明不存在5度及6度以上的旋转对称轴。 [解]：如下图所示：

一晶面上的晶列

B A 、是同一晶列上O 格点的最近邻格点。如果绕通过O 点的并垂直于纸

面的转轴顺时针旋转θ角，则'A 点格点转到A 点，若此时晶格自身重合，'A 点处原来必有一格点。如果再绕通过O 点的转轴逆时针旋转θ角，则晶格又恢复到未转动时的状态，但逆时针旋转θ角，则B 点格点转到'B 处，说明'B 处原来必定有一格点。可以把

格点看成分布在一族相互平行的晶列上，由图

可知，''B A 晶列与AB 晶列平行。平行的晶列具有相同的周期，若设该周期为a ，则有

''2|cos |A B a ma θ==

其中m 为常数，由余弦的取值范围可得

|cos |12m

θ=

≤

于是可得可以看出 θ 的取值只能是2

2,,,,

3

23ππ

πππ，故n 只能取1，2，3，4 和6 五个值。也就是说，

不可能有5度及6度以上的旋转对称轴。

2、证明：任何点群中两个二重旋转轴之间的夹角只能是30、45、60、和90。

证明：设想一个群包含两个二重轴2和'2，如图所示，它们之间的夹角用θ表示。考虑先后绕2和'

2转动π，称它们为A 操作和B 操作。显然，与它们垂直的轴上的任意点N ，先转到'N ，最后又转回到原来的位置N ，这表明B 、A 相乘得到的操作：C=BA.不改变这个轴，因此只能是一个绕垂直2和'

2的轴的转动。C 的转角可以这样求出：2轴在操作A 中显然未动，经操作B 将转到图中所示''

2的位置，2和''

2的夹角是2θ，表明C 的转角是2θ。因为C 也必须是点群操作之一，2θ只能等于60，90，120，180。从而我们可以得到结论，任何点群中两个二重轴之间的夹角只能是30、45、60、和90。

3、什么是布拉菲格子（布格子）？画出氯化钠晶体的结点所构成的布格子。为什么说金刚石结构是复式格子？

答：布拉菲格子（或布拉菲点阵）是格点在空间中周期性重复排列所构成的阵列。布拉菲格子是一种数学

抽象，即点阵的总体，其特点是每个格点周围的情况完全相同。在实际工作中，常是以具体的粒子（原子、离子等）做格点，如果晶体由完全相同的一种原子组成，则由这些

原子所组成的格子，称为布拉菲格子。其形式和阵点所组成的格子相同。

氯化钠晶体的结点所构成的布格子实际上就是面心立方格子。每个原胞中包含一个格点。

金刚石虽然是由同种原子——碳组成，但两种原子在晶体中所处的位置不同，它是由两种碳原子组成的面心立方套构而成的，所以金刚石是复式格子。

4、什么是固体物理学原胞和结晶学原胞

答：固体物理学原胞也叫原胞，它是一个平行六面体，是晶格的最小重复单元，只反映晶格的周期性。对布拉菲格子，原胞中只含一个阵点。其特点是：结点只在平行六面体的顶点上，内部和面上皆不含任何结点。

结晶学原胞也称晶胞（lattice cell ）。在结晶学上，除要反映晶格的周期性以外，同时还要反映其对称性，因此，通常取最小重复单元的几倍作为晶胞。其特点是：结点不仅在晶胞的顶角上，也可以在体心和面心上。 5、体心立方元素晶体，［111］方向上的结晶学周期为多大？实际周期为多大？

答：对于晶胞，基矢为a →，b →，c →，格矢为R h a k b l c →→→→

=++，因此，体心立方元素晶体［111］方向上的（a 为立方体的边长）2a 。

6、基矢为1a a i →

→

=，2a a j →

→

=，3()2a a i j k →

→→→=++ 的晶体为何种结构? 若33()22

a a a j k i →→→→=++, 又为何

种结构? 为什么?

解：由所给的基矢可以求出晶体的原胞体积为 3

123()2

a a a a →

→

→

Ω=??=

从原胞的体积判断，晶体结构为体心立方。

而原胞的取法不止一种，我们可以根据线性变换的条件，

3131123()2()

2()2a u a a i j k a v a a i j k a a a a i j k μ→→→→→→→→→

→→→→→→→→→→?=-=-++

=-=-+??

=+-=+-??

正是体心立方结构的常见的基矢的表达式。

若33()22a a a j k i →

→→→

=++, 3123()2a a a a →→→Ω=??=

，仍为体心立方结构。 7、以堆积模型计算由同种原子构成的同体积的体心和面心立方晶体中的原子数之比. 解：设原子的半径为R , 体心立方晶胞的空间对角线为4R , 晶胞的边长为4, 晶胞的体积为