︵︵
1. 如图，AB是⊙O的直径，点C、E是⊙O上的点，且AC＝EC，连接AC、BE，并延长交于点D，已知AB＝2AC＝6.
（1）求DC的长； （2）求EC︵
的长．
解：（1）如解图，连接BC，
∵ AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°，CB⊥AD， ∵AC︵＝EC︵， ∴∠ABC＝∠DBC， ∴△ABD为等腰三角形，
第1题图
第1题解图
∵AB＝2AC＝6， ∴DC＝AC＝3；
（2）如解图，连接OC、OE， ∵AB＝2AC＝6，∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝30°，OC＝OE＝3， ∴∠DBC＝∠ABC＝30° ∴∠COE＝2∠DBC＝60°， ∴lEC＝
︵
60×π×3
＝π. 180
2. 如图，AB为圆O的直径，CD⊥AB于点E，交圆O于点D，OF⊥AC于点F. 1
（1）求证：OF＝2BD；
（2）当∠D＝30°，BC＝1时，求圆中阴影部分的面积．
第2题图
（1）证明：如解图，连接OC，
第2题解图
∵OF⊥AC，OA＝OC， ∴AF＝FC，
1
∵OA＝OB，∴OF是△ABC的中位线，∴OF＝2BC， ︵︵
∵AB⊥CD，∴BC＝BD， ∴BC＝BD， 1
∴OF＝2BD；
（2）解：∵∠D＝30°， ∴∠A＝∠D＝30°， ∴∠COB＝2∠A＝60°， ∴∠AOC＝120°， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， 在Rt△ABC中，BC＝1， ∴AB＝2，AC＝3， 11由（1）可知OF＝2BC＝2， ∵∠COB＝60°，OB＝OC， ∴△BOC是等边三角形， ∴OA＝OB＝BC＝1，
1113120πOA2π
∴S△AOC＝2AC ·OF＝2×3×2＝4，S扇形AOC＝360＝3， π3
∴S阴影＝S扇形AOC－S△AOC＝3－4.
3.如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB于点E，AM⊥BC于点M，交CD于点N，连接AD.
（1）求证：AD＝AN；
（2）若AB＝42，ON＝1，求⊙O的半径．
第3题图
（1）证明：∵∠BAD与∠BCD是同弧所对的圆周角， ∴∠BAD＝∠BCD， ∵AE⊥CD，AM⊥BC， ∴∠AEN＝∠AMC＝90°， ∵∠ANE＝∠CNM， ∴∠BAM＝∠BCD， ∴∠BAM＝∠BAD， 在△ANE与△ADE中，
∠BAM＝∠BAD
， AE＝AE
∠AEN＝∠AED
∴△ANE≌△ADE(ASA)， ∴AN＝AD；
（2）解：∵AB＝42，AE⊥CD, 1
∴AE＝2AB＝22， 又∵ON＝1，
∴设NE＝x，则OE＝x－1，NE＝ED＝x，OD＝OE＋ED＝2x－1， 如解图，连接AO，则AO＝OD＝2x－1，
第3题解图
∵△AOE是直角三角形，AE＝22，OE＝x－1，AO＝2x－1， ∴(22)2＋(x－1)2＝(2x－1)2， 4
解得x1＝2，x2＝－3(舍)，
∴AO＝2x－1＝3，即⊙O的半径为3.
4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连接EF. （1）求证：∠1＝∠F；
5
（2）若sinB＝5，EF＝25，求CD的长．
第4题图
（1）证明：如解图，连接DE. ∵BD是⊙O的直径， ∴∠DEB＝90°. ∵E是AB的中点， ∴DA＝DB， ∴∠1＝∠B. ∵∠B＝∠F， ∴∠1＝∠F；
第4题解图
（2）解：∵∠1＝∠F， ∴AE＝EF＝25， ∴AB＝2AE＝45.
在Rt△ABC中，AC＝AB·sinB＝4， ∴BC＝AB2－AC2＝8. 设CD＝x，则AD＝BD＝8－x.
在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2＋CD2＝AD2， 即42＋x2＝(8－x)2，解得x＝3， ∴CD＝3.
5.如图，在△ABC中，AB＝BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F. （1）判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）当BD＝6，AB＝10时，求⊙O的半径.
第5题图
解：（1）AC与⊙O相切．
理由如下：连接OE.如解图， ∵BE平分∠ABD. ∴∠OBE＝∠DBE， ∵OE＝OB， ∴∠OBE＝∠OEB，
∴∠OEB＝∠DBE， ∴OE∥BD，
∵AB＝BC，D是AC中点， ∴BD⊥AC，∴OE⊥AC， ∴AC与⊙O相切；
第5题解图
（2）设⊙O半径为r.则AO＝10－r， 由(1)知，OE∥BD， ∴△AOE∽△ABD， AOOE10rr∴AB＝BD，即，
1061515
∴r＝4，即⊙O半径是4. 6.如图，AB是⊙O的直径，点D是AE上的一点，且∠BDE＝∠CBE，BD与AE交于点F.
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BD平分∠ABE，延长ED、BA交于点P，若PA＝AO，DE＝2，求PD的长．
第6题图
（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∴∠EAB＋∠EBA＝90°，
∵∠BDE＝∠EAB，∠BDE＝∠CBE， ∴∠EAB＝∠CBE， ∴∠ABE＋∠CBE＝90°， ∴CB⊥AB， ∵AB是⊙O的直径， ∴BC是⊙O的切线； （2）解：∵BD平分∠ABE， ∴∠ABD＝∠DBE， 如解图，连接DO，
第6题解图
∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠OBD， ∵∠EBD＝∠OBD， ∴∠EBD＝∠ODB， ∴OD∥BE， PDPO∴PE＝PB， ∵PA＝AO， ∴PA＝AO＝OB， PO2∴PB＝3， PD2∴＝， PE3PD2∴＝， PD＋DE3∵DE＝2， ∴PD＝4.
7.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F. （1）求证：DF是⊙O的切线； 2
（2）若AE＝4，cosA＝5，求DF的长．
第7题图
（1）证明：如解图，连接OD， ∵OB＝OD， ∴∠ODB＝∠B， 又∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B， ∴∠ODB＝∠C， ∴OD∥AC， ∵DF⊥AC， ∴∠DFC＝90°，
∴∠ODF＝∠DFC＝90°， ∵OD是⊙O的半径， ∴DF是⊙O的切线；
第7题解图
（2）解：如解图，过点O作OG⊥AC，垂足为G，
1
∴AG＝2AE＝2. AG22
∵cosA＝OA＝OA＝5， ∴OA＝5，
∴OG＝OA2AG2＝21， ∵∠ODF＝∠DFG＝∠OGF＝90°， ∴四边形OGFD为矩形， ∴DF＝OG＝21.
8. 如图，直线DP和⊙O相切于点C，交直径AE的延长线于点P，过点C作AE的垂线，交AE于点F，交⊙O于点B，作□ABCD，连接BE，DO，CO.
第8题图
（1）求证：DA=DC； （2）求∠P及∠AEB的度数.
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∵CB⊥AE， ∴AD⊥AE，
∴∠DAO＝90°，
又∵直线DP和⊙O相切于点C， ∴DC⊥OC， ∴∠DCO＝90°，
∴在Rt△DAO和Rt△DCO中， DO＝DO， AO＝CO
∴Rt△DAO≌Rt△DCO(HL)， ∴DA＝DC；
（2）解：∵CB⊥AE，AE是⊙O的直径， 1
∴CF＝FB＝2BC，
又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC， 1
∴CF＝2AD， 又∵CF∥DA， ∴△PCF∽△PDA，
PCCF111∴PD＝AD＝2，即PC＝2PD，DC＝2PD. 由（1）知DA＝DC， 1
∴DA＝2PD，
∴在Rt△DAP中，∠P＝30°.
∵DP∥AB，
∴∠FAB＝∠P＝30°， 又∵∠ABE＝90°，
∴∠AEB＝90°－30°＝60°.
9.如图，AB为⊙O的直径，CB，CD分别切⊙O于点B，D，CD交BA的延长线于点E，CO的延长线交⊙O于点G，EF⊥OG于点F. （1）求证：∠FEB＝∠ECF； （2）若BC＝6，DE＝4，求EF的长．
第9题图
（1）证明：∵EF⊥OG，BC是⊙O的切线， ∴∠CBA＝∠EFC＝90°，
∴∠EOF＋∠FEB＝90°，∠BOC＋∠BCO＝90°， ∵∠EOF＝∠COB， ∴∠FEB＝∠BCO， ∵CB，CD是⊙O的切线， ∴∠ECF＝∠BCO， ∴∠FEB＝∠ECF；
（2）解：如解图，连接OD，则OD⊥CE， ∵CB，CD为⊙O的切线，BC＝6，DE＝4， ∴CD＝BC＝6，
∴CE＝CD＋DE＝6＋4＝10，
在Rt△CBE中，根据勾股定理得BE＝CE2－BC2＝102－62＝8， 设OD＝x，则OE＝8－x，
在Rt△ODE中，根据勾股定理得OE2＝OD2＋ED2，即(8－x)2＝x2＋42， 解得x＝3，则OE＝5.
在Rt△ODC中，根据勾股定理得OC＝CD2＋OD2＝62＋32＝35， ∵∠EOF＝∠COB，∠EFO＝∠CBO， ∴△EFO∽△CBO， EFOEEF5∴CB＝OC，即6＝，
35解得EF＝25.
第9题解图
10.如图，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD.过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P.
（1）求证：PD是⊙O的切线； （2）求证：△PBD∽△DCA；
（3）当AB＝6，AC＝8时，求线段PB的长．
第10题图
（1）证明：∵圆心O在BC上， ∴BC是⊙O的直径， ∴∠BAC＝90°. 如解图，连接OD. ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAC＝2∠DAC. ∵∠DOC＝2∠DAC， ∴∠DOC＝∠BAC＝90°. 即OD⊥BC. ∵PD∥BC， ∴OD⊥PD.
又OD是⊙O的半径， ∴PD是⊙O的切线；
第10题解图
（2）证明：∵PD∥BC， ∴∠P＝∠ABC. 又∠ABC＝∠ADC， ∴∠P＝∠ADC.
∵∠PBD＋∠ABD＝180°，∠ACD＋∠ABD＝180°， ∴∠PBD＝∠ACD. ∴△PBD∽△DCA；
（3）解：∵△ABC是直角三角形， ∴BC2＝AB2＋AC2＝62＋82＝100. ∴BC＝10.
∵OD垂直平分BC， ∴DB＝DC.
∵BC是⊙O的直径， ∴∠BDC＝90°.
在等腰直角三角形BDC中，DC＝DB＝52. ∵△PBD∽△DCA，
PBBD∴DC＝CA，
DC·BD52×5225
即PB＝CA＝＝4.
8
11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是AC的中点，OE交CD于点F.
︵（1）若∠BCD＝36°，BC＝10，求BD的长； （2）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （3）求证：2CE2＝AB·EF.
第11题图
（1）解：如解图，连接OD，
第11题解图
∵∠BCD＝36°，
∴∠BOD＝2∠BCD＝2×36°＝72°， ∵BC是⊙O的直径，BC＝10， ∴OB＝5，
72π×5︵
∴lBD＝180＝2π；
（2）解：DE是⊙O的切线；理由如下： ∵BC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝180°－∠BDC＝90°， 又∵点E是线段AC中点， 1
∴DE＝2AC＝EC， 在△DOE与△COE中，
OD＝OCOE＝OE， DE＝CE
∴△DOE≌△COE(SSS)． ∵∠ACB＝90°，
∴∠ODE＝∠OCE＝90°， ∵OD是⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线；
（3）证明：由（2）知，△DOE≌△COE， ∴OE是线段CD的垂直平分线， ∴点F是线段CD中点，
1
∵点E是线段AC中点，则EF＝2AD， ∵∠BAC＝∠CAD，∠ADC＝∠ACB， ∴△ACD∽△ABC，
ACAD
则AB＝AC，即AC2＝AB·AD， 而AC＝2CE，AD＝2EF， ∴(2CE)2＝AB·2EF， 即4CE2＝AB·2EF， ∴2CE2＝AB·EF.
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