第八章弹性体的应力和应变

428.1.1 一钢杆的横截面积为5.010m，所受轴向外力如图所示，试

44F810N，F610N21之间的应力.，

计算A、B，B、C和C、D

F35104N ，F43104N。

[解 答]

建立坐标系O-x，水平向右为正方向，作垂直于Ox的假想截面

s1,s2,s3于AB间E处，BC间G处，CD间H处. s1s2s35.0104m2

vvvvF以杆的全部为隔离体。受力1,F2,F3,F4

vvvvv杆所受合力F=F1F2F3F4

X

vvvFF轴上投影：12F3F40 合力为零，杆平衡。

vvsF11在以杆的AE部为隔离体，受力，面外侧对它的应力1

vFvˆ111.2108ns1根据平衡方程

v821.210(N/m)为拉应力。 由于1与X轴同向，1在以杆的AG部为隔离体，经过同样分析可得：

20.4108(N/m2)为压应力

最后以杆的AH部为隔离体，经过同样分析可得：

30.6108(N/m2)为拉应力。

8.1.2利用直径为0.02m的钢杆CD固定刚性杆AB.若CD杆内的应力

71610Pa.问B处至多能悬挂多大重量max不得超过（不计杆自重）.

[解 答]

vvF,T以杆AB为隔离体。受力，建

xCvT立坐标系Axy,z轴如图。根据刚体平衡0.8mv时Mi0，在z轴方向投影方程为：

1.6F1.00.81.00.822D1.0m0.6mBvFyAT0

得到F=0.39T

722对CD，因max1.610(N/m),故Tmaxmaxr 4F0.39T1.9610(N) maxmax所以

-428.1.3图中上半段为横截面等于4.010m且杨氏模量1042为6.910Pa的铝制杆，下半段是横截面为1.010m且10杨氏模量为19.610Pa的钢杆，又知铝杆内允许最大

73mvF2m 应力为7.810Pa，钢杆内允许的最大

7应力为13.710Pa.不计杆的自重，求杆下端所能承担的最大负荷以及

在此负荷下杆的总伸长量.

[解 答]

对于铅杆允许最大内力为

Fmax1max1s13.12104(N)

对于钢杆允许最大内力为

Fmax2max2s21.37104(N)

4所以杆的最大承受能力是：1.3710(N)

4根据胡克定律。在力F1.3710(N)的作用下铅杆伸长量为Vl1

QVlFlFY11 故 Vl11s1l1s1Y1

同理钢杆的伸长量为所以总的伸长量

Vl2Fl2s2Y2

Fl1Fl22.103(m)s1Y1s2Y2

VlVl1Vl28.1.4 电梯用不在一条直线上的三根钢索悬挂.电梯质量为500kg.最大负载极限5.5kN.每根钢索都能承担总负载，且其应力仅为允许应力的70%，若电梯向上的最大加速度为g/5,求钢索的直径为多少？将钢索看作圆柱体，且不计其自重，取钢的允许应力为6.010Pa.

[解 答]

vvvWW(mm)g212以电梯和最大负载为物体系，受力1

8由牛顿第二定律：

F(m1m2)g=(m1m2)F(m1m2)6g5g5

对某根钢索，根据题意

max6.0108(N/m2)dFmax()2max2Q0.7FmaxFFd()2max0.72(m1m2)6g456.15103(m)

d0.7max

8.1.5 (1)矩形横截面杆在轴向拉力作用下拉伸应变为.此材料的泊松系数为.求证杆体积的相对改变为

xOvF VV0(12). V0

V0表示原来体积，V表示变形后的体积.

（2）上式是否适用于压缩？

10 （3）低碳钢杨氏模量为Y19.610Pa，泊松系数0.3，受

到的拉应力为1.37Pa，求杆体积的相对改变.

[解 答]

（1）设杆长为l0，横截面积的二边长为a0,b0。变，为长应变）

拉伸时〉0，1〈 0 故1

vv0(1)l0(11)a0(11)b0l0a0b0v0l0a0b0

1，（1为横向应

(1)(11)21(1)(1222)1(展开略去2项)2(12)

（2）压缩时0,10,仍有1 所以上式对压缩时亦适用 （3）根据胡克定律Y 所以

Y

VV0(12)2.81012Y 故V

8.1.6 （1）杆受轴向拉力F，其横截面为S，材料的重度（单位体积物质的重量）为，试证明考虑材料的重量时，横截面内的应力为

(x)FxS

（2）杆内应力如上式，实证明杆的总伸长量等于

Fll2VlSY2Y

[解 答]

（1）建立坐标系o—x如图，在x处

作垂直于ox 轴假想截面s,以x0到x=x的一段杆为隔离体，

rrˆ受拉力F,重力W=-rsxi,s

面外侧内力

vˆˆxsiPxsn

vvvF由平衡方程 WP0

Frxsxs0

则

(x)Frxs

（2）根据胡克定律:则

(x)Yl(x)Y,FnVlYsl0

Vldl(x)Vx→dxY

dl所以

(x)0Flrl2dxYsY2Y（l为杆长）

8.2.1 在剪切材料时，由于刀口不快，该钢板发生了切变。钢板的横截面积为S90cm。二刀口间的垂直距离为d0.5cm。当剪切力为

F7105N时，求

2（1）钢板中的切应力， （2）钢板的切应变，

（3）与刀口相齐的两个截面所发生的相对滑移。已知钢的剪切模量

N81010Pa。

[解 答]

（1） S90cm， 剪切力F710N。根据切应力定义：

钢板中的切应力为

F7.78107(N/m2)s

25（2）根据剪的胡克定律N

钢板的切应变

N9.7104(rad)

（3）根据剪切应变的定义

Vld，则

Vld4.9106(m)

8.3.1 一铝管直径为4cm，壁厚1mm，长10m，一端固定，而另一端作用一力矩50Nm，求铝管的扭转角。对同样尺寸的钢管在计算一

1010遍。已知铝的剪切模量N2.6510Pa，钢的剪切模量为N8.010Pa

[解 答]

设管直径为D，壁厚为d，管长为l，外力矩为M。 根据切应力的定义，注意到D?d有： 切应力

M12MD/2DdD2d

根据剪切的胡克定律

N2MND2d

则扭转角

4l4lMD/2D3dN

10（1）对于铝管取N2.6510得：

4lM0.376(rad)3DdN

10（2）对于钢管取N810得：

4lM0.124(rad)3DdN

8.3.2 矩形横截面长宽比为2:3的梁，在力偶矩作用下发生纯弯曲。各以横截面的长和宽作为梁的高度，求同样力偶矩作用下曲率半径之比。

[解 答]

设梁横截面长为a02d,宽b03d。根据公式

Y3d(2d)3R112M 有

Y2d(3d)3R212M，

R14所以 R29

k=112MRYbh3

8.3.3 某梁发生纯弯曲，两长度为L，宽度为b，厚度为h，弯曲后曲率半径为R，材料杨氏模量为N，求其总形变势能。

[解 答]

建立坐标系O—z，竖直向下为z轴正方向，原点O位于中性

1E0Y2P2层内。因压缩拉伸弹性势能密度。

所以对于dz一层：

Vl(Rz)Rz，原长L=R

则

VlzzLRR

故

dEP1zY()2Lbdz2R

因此总形变势能为：

1z2YLbh3EP=dEPY()Lbdz-h/2-h/22R24R2

h/2h/2