南关区第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

南关区第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 在空间中，下列命题正确的是（ ） A．如果直线m∥平面α，直线n⊂α内，那么m∥n

B．如果平面α内的两条直线都平行于平面β，那么平面α∥平面β D．如果平面α⊥平面β，任取直线m⊂α，那么必有m⊥β 2． 如果双曲线经过点P（2，A．x2﹣

=1 B．

﹣

C．如果平面α外的一条直线m垂直于平面α内的两条相交直线，那么m⊥α

），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（ ） =1 C．

﹣

=1 D．

﹣

=1

3． 如果集合 A,B，同时满足AB1,2,3,4，AB=1,A1,B1,就称有序集对

A,B为“ 好集对”. 这里有序集对A,B是指当AB时，A,B和B,A是不同的集对， 那么

“好集对” 一共有（ ）个

A．个 B．个 C．个 D．个 4． 已知A．0

B．2

C．4

，则f{f[f（﹣2）]}的值为（ ） D．8

5． 函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）

A．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0 C．a＜0，b＜0，c＜0，d＞0

B．a＞0，b＜0，c＜0，d＞0 D．a＞0，b＞0，c＞0，d＜0

2＋ai

6． 设a，b∈R，i为虚数单位，若＝3＋bi，则a－b为（ ）

1＋iA．3 C．1

B．2 D．0

7． 沿一个正方体三个面的对角线截得几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（ ）

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精选高中模拟试卷

A． B． C． D．

8． 半径R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ ） A．

πR3

B．

πR3

C．

πR3

D．

πR3

9． 在极坐标系中，圆的圆心的极坐标系是( )。

ABCD

10．如图所示，在三棱锥PABC的六条棱所在的直线中，异面直线共有（ ）111]

A．2对 B．3对 C．4对 D．6对

11．如图，正六边形ABCDEF中，AB=2，则（

﹣）•（+）=（ ）

A．﹣6 B．﹣2 C．2 D．6

12．对于函数f（x），若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一三角形的三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数”，已知函数f（x）=A． C． D．

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是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（ ）

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二、填空题

13．设双曲线

﹣

=1，F1，F2是其两个焦点，点M在双曲线上．若∠F1MF2=90°，则△F1MF2的面积

6

）展开式的中间项，若f（x）≤mx在区间[

是 ． 14．设f（x）是（x2+

，

]上恒成立，则实数m的取值范

围是 ．

15．若

16．已知函数f(x)

的展开式中含有常数项，则n的最小值等于 ．

2tanx，则f()的值是_______，f(x)的最小正周期是______. 21tanx3【命题意图】本题考查三角恒等变换，三角函数的性质等基础知识，意在考查运算求解能力． 17．设有一组圆Ck：（x﹣k+1）2+（y﹣3k）2=2k4（k∈N*）．下列四个命题： ①存在一条定直线与所有的圆均相切； ②存在一条定直线与所有的圆均相交； ③存在一条定直线与所有的圆均不相交； ④所有的圆均不经过原点．

其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．

18．已知双曲线

的一条渐近线方程为y=x，则实数m等于 ．

三、解答题

19．如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．

（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；

（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；

（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．

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20．设函数f（x）=|x﹣a|﹣2|x﹣1|． （Ⅰ）当a=3时，解不等式f（x）≥1；

（Ⅱ）若f（x）﹣|2x﹣5|≤0对任意的x∈[1，2]恒成立，求实数a的取值范围．

21．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲1111]

如图，点C为圆O上一点，CP为圆的切线，CE为圆的直径，CP3.

16，求CE的长； 5（2）若连接OP并延长交圆O于A,B两点，CDOP于D，求CD的长.

（1）若PE交圆O于点F，EF第 4 页，共 16 页

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22．已知奇函数f（x）=（Ⅰ）求c的值；

（c∈R）．

（Ⅱ）当x∈[2，+∞）时，求f（x）的最小值．

23．现有5名男生和3名女生．

（1）若3名女生必须相邻排在一起，则这8人站成一排，共有多少种不同的排法？ （2）若从中选5人，且要求女生只有2名，站成一排，共有多少种不同的排法？

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24．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣（1）求ω，φ；

（2）将y=f（x）的图象向左平移θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象，若y=g（x）图象的一个对称点为（

，0），求θ的最小值．

，

]时，方程f（x）=m有两个不等根，求m的取值范围．

＜φ＜

）的部分图象如图所示；

（3）对任意的x∈[

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南关区第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参） 一、选择题

1． 【答案】 C

【解析】解：对于A，直线m∥平面α，直线n⊂α内，则m与n可能平行，可能异面，故不正确；

对于B，如果平面α内的两条相交直线都平行于平面β，那么平面α∥平面β，故不正确； 对于C，根据线面垂直的判定定理可得正确； 故选：C．

对于D，如果平面α⊥平面β，任取直线m⊂α，那么可能m⊥β，也可能m和β斜交，；

【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用，考查了空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系，同时考查了推理能力，属于中档题．

2． 【答案】B

【解析】解：由双曲线的一条渐近线方程为y=x，

22

可设双曲线的方程为x﹣y=λ（λ≠0），

代入点P（2，λ=4﹣2=2，

），可得

22

可得双曲线的方程为x﹣y=2，

即为﹣=1．

故选：B．

3． 【答案】B 【解析】

试题分析：因为AB1,2,3,4，AB=1,A1,B1，所以当A{1,2}时，B{1,2,4}；当

A{1,3}时，B{1,2,4}；当A{1,4}时，B{1,2,3}；当A{1,2,3}时，B{1,4}；当A{1,2,4}时，B{1,3}；当A{1,3,4}时，B{1,2}；所以满足条件的“好集对”一共有个，故选B.

考点：元素与集合的关系的判断.

【方法点晴】本题主要考查了元素与集合关系的判断与应用，其中解答中涉及到集合的交集和集合的并集运算与应用、元素与集合的关系等知识点的综合考查，着重考查了分类讨论思想的应用，以及学生分析问题和解答

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问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题，本题的解答中正确的理解题意是解答的关键.1111]

4． 【答案】C 【解析】解：∵﹣2＜0 ∴f（﹣2）=0

∴f（f（﹣2））=f（0） ∵0=0

∴f（0）=2即f（f（﹣2））=f（0）=2 ∵2＞0

2

∴f（2）=2=4

即f{f[（﹣2）]}=f（f（0））=f（2）=4 故选C．

5． 【答案】A

【解析】解：f（0）=d＞0，排除D， 当x→+∞时，y→+∞，∴a＞0，排除C，

2

函数的导数f′（x）=3ax+2bx+c，

则f′（x）=0有两个不同的正实根， 则x1+x2=﹣

＞0且x1x2=

＞0，（a＞0），

∴b＜0，c＞0，

2

方法2：f′（x）=3ax+2bx+c，

由图象知当当x＜x1时函数递增，当x1＜x＜x2时函数递减，则f′（x）对应的图象开口向上， 则a＞0，且x1+x2=﹣∴b＜0，c＞0， 故选：A

6． 【答案】

2＋ai

【解析】选A.由＝3＋bi得，

1＋i

2＋ai＝（1＋i）（3＋bi）＝3－b＋（3＋b）i， ∵a，b∈R，

＞0且x1x2=

＞0，（a＞0），

2＝3－b∴，即a＝4，b＝1，∴a－b＝3（或者由a＝3＋b直接得出a－b＝3），选A. a＝3＋b

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7． 【答案】A

【解析】解：由已知中几何体的直观图，

我们可得侧视图首先应该是一个正方形，故D不正确； 中间的棱在侧视图中表现为一条对角线，故C不正确； 而对角线的方向应该从左上到右下，故B不正确 故A选项正确． 故选：A． 题的关键．

8． 【答案】A

，所以V=

【点评】本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，其中熟练掌握简单几何体的三视图的形状是解答此类问

【解析】解：2πr=πR，所以r=，则h=故选A

9． 【答案】B 【解析】10．【答案】B 【解析】

，圆心直角坐标为（0,-1），极坐标为，选B。

试题分析：三棱锥PABC中，则PA与BC、PC与AB、PB与AC都是异面直线，所以共有三对，故选B．

考点：异面直线的判定．

11．【答案】D

【解析】解：根据正六边形的边的关系及内角的大小便得：

=

2+2=6． 故选：D．

【点评】考查正六边形的内角大小，以及对边的关系，相等向量，以及数量积的运算公式．

12．【答案】D

【解析】解：由题意可得f（a）+f（b）＞f（c）对于∀a，b，c∈R都恒成立， 由于f（x）=

=1+

，

=

=2+4﹣

①当t﹣1=0，f（x）=1，此时，f（a），f（b），f（c）都为1，构成一个等边三角形的三边长，

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满足条件．

②当t﹣1＞0，f（x）在R上是减函数，1＜f（a）＜1+t﹣1=t， 同理1＜f（b）＜t，1＜f（c）＜t，

由f（a）+f（b）＞f（c），可得 2≥t，解得1＜t≤2． ③当t﹣1＜0，f（x）在R上是增函数，t＜f（a）＜1， 同理t＜f（b）＜1，t＜f（c）＜1，

由f（a）+f（b）＞f（c），可得 2t≥1，解得1＞t≥综上可得，

≤t≤2，

，2]，

．

故实数t的取值范围是[故选D．

【点评】本题主要考查了求参数的取值范围，以及构成三角形的条件和利用函数的单调性求函数的值域，同时考查了分类讨论的思想，属于难题．

二、填空题

13．【答案】 9 ．

【解析】解：双曲线

222

可得c=a+b=13，

=1的a=2，b=3，

，∠F1MF2=90°，

﹣

又||MF1|﹣|MF2||=2a=4，|F1F2|=2c=2在△F1AF2中，由勾股定理得： |F1F2|2=|MF1|2+|MF2|2

=（|MF1|﹣|MF2|）2+2|MF1||MF2|，

22

即4c=4a+2|MF1||MF2|， 2

可得|MF1||MF2|=2b=18，

即有△F1MF2的面积S=|MF1||MF2|sin∠F1MF2=×18×1=9． 故答案为：9．

【点评】本题考查双曲线的简单性质，着重考查双曲线的定义与a、b、c之间的关系式的应用，考查三角形的面积公式，考查转化思想与运算能力，属于中档题．

14．【答案】 [5，+∞） ．

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【解析】二项式定理．

【专题】概率与统计；二项式定理．

，

]上恒成立，求得x2在区间[

=x3．

，

，

]

32

【分析】由题意可得 f（x）=x，再由条件可得m≥x 在区间[

上的最大值，可得m的范围． 【解答】解：由题意可得 f（x）=由f（x）≤mx在区间[

2

由于x在区间[

x6

，]上恒成立，可得m≥x2 在区间[

]上恒成立，

，]上的最大值为 5，故m≥5，

即m的范围为[5，+∞）， 故答案为：[5，+∞）． 题，属于中档题． 15．【答案】5 【解析】解：由题意令

=0，得n=

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，函数的恒成立问

rn﹣r

的展开式的项为Tr+1=Cn（x6）（r

）=Cnr=Cnr

，当r=4时，n 取到最小值5

故答案为：5．

【点评】本题考查二项式的性质，解题的关键是熟练掌握二项式的项，且能根据指数的形式及题设中有常数的条件转化成指数为0，得到n的表达式，推测出它的值．

16．【答案】3，.

xk2tanx2tan2xf()tan3【解析】∵f(x)，∴，又∵，∴f(x)的定义域为221tanx331tan2x0k)(k,k)，kZ，将f(x)的图象如下图画出，从而

244442可知其最小正周期为，故填：3，. (k,k)(k,第 11 页，共 16 页

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17．【答案】 ②④

【解析】解：根据题意得：圆心（k﹣1，3k），

圆心在直线y=3（x+1）上，故存在直线y=3（x+1）与所有圆都相交，选项②正确； 考虑两圆的位置关系，

圆k：圆心（k﹣1，3k），半径为两圆的圆心距d=两圆的半径之差R﹣r=

2

（k+1）﹣

k2，

2

（k+1），

圆k+1：圆心（k﹣1+1，3（k+1）），即（k，3k+3），半径为

=

k2=2

k+

，

，

任取k=1或2时，（R﹣r＞d），Ck含于Ck+1之中，选项①错误； 若k取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，选项③错误；

22424

将（0，0）带入圆的方程，则有（﹣k+1）+9k=2k，即10k﹣2k+1=2k（k∈N*），

因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在k使上式成立，即所有圆不过原点，选项④正确． 则真命题的代号是②④． 故答案为：②④

【点评】本题是一道综合题，要求学生会将直线的参数方程化为普通方程，会利用反证法进行证明，会利用数形结合解决实际问题．

18．【答案】 4 ．

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【解析】解：∵双曲线

的渐近线方程为 y= =2，m=4，

x，

x，是解题

又已知一条渐近线方程为y=x，∴故答案为4．

【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求得渐近线方程为 y=的关键．

三、解答题

19．【答案】

【解析】

【分析】（I）由已知中DE⊥平面ABCD，ABCD是边长为3的正方形，我们可得DE⊥AC，AC⊥BD，结合线面垂直的判定定理可得AC⊥平面BDE；

（Ⅱ）以D为坐标原点，DA，DC，DE方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，分别求出平面BEF和平面BDE的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角F﹣BE﹣D的余弦值；

（Ⅲ）由已知中M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．根据AM∥平面BEF，则直线AM的方向向量与平面BEF法向量垂直，数量积为0，构造关于t的方程，解方程，即可确定M点的位置． 【解答】证明：（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC． 因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD， 从而AC⊥平面BDE．…（4分）

解：（Ⅱ）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．

0

因为BE与平面ABCD所成角为60，即∠DBE=60°， 所以

．

，

，

．

，

． ，即

．

，B（3，3，0），C（0，3，0），

由AD=3，可知则A（3，0，0），所以

设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则令

，则=

．

为平面BDE的法向量，

因为AC⊥平面BDE，所以所以cos

．

．

．…（8分）

因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为（Ⅲ）点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）． 则． 因为AM∥平面BEF，

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所以=0，即4（t﹣3）+2t=0，解得t=2． 此时，点M坐标为（2，2，0）， 即当

时，AM∥平面BEF．…（12分）

20．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）f（x）≥1，即|x﹣3|﹣|2x﹣2|≥1 x

时，3﹣x+2x﹣2≥1，∴x≥0，∴0≤x≤1；

1＜x＜3时，3﹣x﹣2x+2≥1，∴x≤，∴1＜x≤； x≥3时，x﹣3﹣2x+2≥1，∴x≤﹣2∴1＜x≤，无解，… 所以f（x）≥1解集为[0，]．…

（Ⅱ）当x∈[1，2]时，f（x）﹣|2x﹣5|≤0可化为|x﹣a|≤3， ∴a﹣3≤x≤a+3，… ∴

，…

∴﹣1≤a≤4．…

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21．【答案】（1）CE4；（2）CD【解析】

613. 13试题分析：（1）由切线的性质可知ECP∽EFC，由相似三角形性质知EF:CECE:EP,可得CE4；（2）由切割线定理可得CP2BP(4BP)，求出BP,OP,再由CDOPOCCP,求出CD的值. 1 试题解析：

（1）因为CP是圆O的切线，CE是圆O的直径，所以CPCE，CFE90，所以ECP∽EFC,

0设CEx，EPx29，又因为ECP∽EFC，所以EF:CECE:EP，

所以x2165x29，解得x4. 考点：1.圆的切线的性质；2.切割线定理；3.相似三角形性质.

22．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），

∴

=﹣

=

，

比较系数得：c=﹣c，∴c=0， ∴f（x）=

=x+；

（Ⅱ）∵f（x）=x+，∴f′（x）=1﹣，

当x∈[2，+∞）时，1﹣

＞0，

∴函数f（x）在[2，+∞）上单调递增， ∴f（x）min=f（2）=．

【点评】本题考查了函数的奇偶性问题，考查了函数的单调性、最值问题，是一道中档题．

23．【答案】

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36

【解析】解：（1）先排3个女生作为一个整体，与其余的5个元素做全排列有 A3A6=4320种．

235

（2）从中选5人，且要求女生只有2名，则男生有3人，先选再排，故有C3C5A5=3600种

【点评】本题主要考查排列与组合及两个基本原理，排列数公式、组合数公式的应用，注意特殊元素和特殊位置要优先排．

24．【答案】

＜φ＜

）的部分图象，可得

【解析】解：（1）根据函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣•

=

，

求得ω=2．

再根据五点法作图可得2•

+φ=

，求得φ=﹣

，∴f（x）=2sin（2x﹣

）．

）的图

（2）将y=f（x）的图象向左平移θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）=2sin=2sin（2x+2θ﹣象，

∵y=g（x）图象的一个对称点为（故θ的最小正值为（3）对任意的x∈[

． ，

]时，2x﹣

∈[

，，

]，sin（2x﹣

，0），∴2•

+2θ﹣

=kπ，k∈Z，∴θ=

﹣

，

）∈，即f（x）∈，

∵方程f（x）=m有两个不等根，结合函数f（x），x∈[]时的图象可得，1≤m＜2．

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