函数单调性、奇偶性总结

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〔一〕函数单调性 1.增函数、减函数

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1x2时，都有

f(x)f(x)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数； 12如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1x2时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数. f(x)f(x)12注意：求函数的单调区间，必须先求函数的定义域. 2、增、减函数的性质：

增函数： x1x2f(x)f(x) 12减函数： x1x2f(x)f(x) 12 式子的变形：

设x那么 xa,b,xx1212(xx)(fx)f(x)01212f(x)f(x)12上是增函数； 0f(x)在a,bxx12f(x)f(x)12(xxf)(x)f(x)0上是减函数. 0f(x)在a,b1212xx123、判断函数单调性的方法步骤：

利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

1)、取值： 设任意两个实数x1,x2有， 2)、作差：f(x1)f(x2)；

3)、变形：通常方法：因式分解；配方；分母有理化； 4)、定号：即判断差f(x1)f(x2)的正负；

5)、下结论：即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性． 取值→作差→变形→定号→下结论

x1,x2∈D，且x1x2；

f(x)x3x例：证明函数 在R上是增函数.

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一些重要函数的单调性：

1、一次函数的图象y=kx+b的单调性：

（1）当k>0时，函数在R上是增函数 〔2〕当k<0时，函数在R上是减函数 2、反比例函数的图象yk(k0)的单调性： x〔1〕当k>0时，函数在,0,0,上是减函数 〔2〕当k<0时，函数在,0,0,上是增函数 3、二次函数的图象yaxbxc(a0)的单调性

2〔1〕当a>0时，函数在,bb,上是增函数 上是减函数, 在2a2abb,上是减函数 上是增函数,在2a2a〔2〕当a<0时，函数在, 例题：

偶函数f(x)在区间0,)单调增加，那么满足f(2x1)＜f()的x 取值X围是: () 变式：二次函数的根本性质例1、函数那么实数

2f()xxtx2在[1，2]上是单调递增函数，

13t的取值X围是_________

二、两个函数和差乘除单调性和复合函数的单调性

1、如果函数f(x)在区间D上是增〔减〕函数，函数g(x)在区间D上是增(减)函数；函数F(x)=f(x)+g(x)在D上为增(减)函数。 归纳为：同加，单调性不变

2、对于复合函数yfg(x)的单调性，必须考虑yf(u)和ug(x)的单调性，从而得到yfg(x)的单调性。

1）ug(x)增 yf(u)增 复合函数yfg(x)增

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2）ug(x)减 yf(u)减 复合函数yfg(x)增 3）ug(x)增 yf(u)减 复合函数yfg(x)减 4）ug(x)减 yf(u)增 复合函数yfg(x)减

归纳为：同增异减。研究函数的单调性，首先考虑函数的定义域，要注意函数的单调区间是函数定义域的某个区间。

函数的奇偶性的归纳总结

一、知识要点： 1、函数奇偶性的概念

一般地，对于函数f(x)，如果对于函数定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

一般地，对于函数f(x)，如果对于函数定义域内任意一个x，都有f(x)f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数。

注意：定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。 2、按奇偶性分类，函数可分为四类：

奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、既是奇又是偶函数. 3、奇偶函数的图象：

奇函数图象关于原点成中心对称的函数，偶函数图象关于y轴对称的函数。 4、函数奇偶性的性质：

①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称〔也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称〕。

②常用的结论：假设f(x)是奇函数，且x在0处有定义，那么f(0)＝0。

③奇函数在关于原点对称的区间上假设有单调性，那么其单调性完全一样，最值相反。奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a偶函数在关于原点对称的区间上假设有单调性，那么其单调性恰恰相反，最值一样。偶函数f(x)在区间[a,b]〔0≤a④假设函数g(x)，f(x)，f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的，那么u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，y=f[g(x)]是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= f[g(x)]是偶函数。

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复合函数的奇偶性特点是：“内偶那么偶，内奇同外〞. 5、判断函数奇偶性的方法：

⑴、定义法：对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有fxfx〔或或fxfx0〕函数f〔x〕是偶函数；

对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有fxfx〔或

fx1fxfx1或fxfxfx0函数f〔x〕是奇函数；

判断函数奇偶性的步骤：

①、判断定义域是否关于原点对称； ②、比拟f(x)与f(x)的关系。 ③、扣定义，下结论。

⑵、图象法：图象关于原点成中心对称的函数是奇函数；图象关于y轴对称的函数是偶函数。，

⑶、运算法：几个与函数奇偶性相关的结论： ①奇函数+奇函数=奇函数；偶函数+偶函数=偶函数； ②奇函数×奇函数=偶函数；奇函数×偶函数=奇函数。 ③假设f(x)为偶函数，那么f(x)f(x)f(|x|)。 二、典例分析

1、给出函数解析式判断其奇偶性： 判断以下函数的奇偶性：

x(1x),(x0)(1).f(x)x22x1;(2)f(x)0,(x0)

x(1x),(x0))， 解：(1)f(x)函数的定义域是(，∵f(x)x22x1，∴f(x)(x)22x1x22x1f(x)， ∴f(x)x22x1为偶函数。 (2)函数的定义域为R

当x0时，x0,f(x)(x)(1x)x(1x)f(x);

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当x0时，x0,f(x)0f(x);

当x0时，x0,f(x)(x)1(x)x(1x)f(x).

综上可知，对于任意的实数x，都有f(x)f(x)，所以函数f(x)为奇函数。 练习题:

一、选择题：

1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是 A．y=2x＋1 B．y=3x2＋1 C．y=

〔 〕

2D．y=2x2＋x＋1 x2．函数f(x)=4x2－mx＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，

那么f(1)等于 〔 〕 A．－7 B．1 C．17 D．25

3．函数f(x)在区间(－2，3)上是增函数，那么y=f(x＋5)的递增区间是 〔 〕 A．(3，8) B．(－7，－2) C．(－2，3) D．(0，5)

ax1在区间(－2，＋∞)上单调递增，那么实数a的取值X围是 x211A．(0，) B．( ，＋∞)

224．函数f(x)=

〔 〕

C．(－2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

6．函数f(x)=8＋2x－x2，如果g(x)=f( 2－x2 )，那么函数g(x) 〔 〕 A．在区间(－1，0)上是减函数 B．在区间(0，1)上是减函数 C．在区间(－2，0)上是增函数 D．在区间(0，2)上是增函数

7．函数f(x)是R上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式|f(x＋1)|

＜1的解集的补集是 〔 〕

A．(－1，2) B．(1，4)

C．(－∞，－1)∪[4，＋∞〕 D．(－∞，－1)∪[2，＋∞〕

8．定义域为R的函数f(x)在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t，都有f(5＋t)＝f(5－t)，

那么以下式子一定成立的是 〔 〕 A．f(－1)＜f(9)＜f(13) B．f(13)＜f(9)＜f(－1) C．f(9)＜f(－1)＜f(13) D．f(13)＜f(－1)＜f(9) 9．函数f(x)|x|和g(x)x(2x)的递增区间依次是

A．(,0],(,1]B．(,0],[1,) C．[0,),(,1]

D[0,),[1,)

〔 〕

10．函数fxx22a1x2在区间,4上是减函数，那么实数a的取值X围是〔 〕 A．a≤3 B．a≥－3 C．a≤5 D．a≥3 11．f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a、b∈R且a＋b≤0，那么以下不等式中正确的选项是〔 〕

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A．f(a)＋f(b)≤－f(a)＋f(b)］ B．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b) C．f(a)＋f(b)≥－f(a)＋f(b)］ D．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)

12．定义在R上的函数y=f(x)在(－∞，2)上是增函数，且y=f(x＋2)图象的对称轴是x=0，那么 〔 〕 A．f(－1)＜f(3)B．f (0)＞f(3) C．f (－1)=f (－3) D．f(2)＜f(3) 二、填空题：

13．函数y=(x－1)-2的减区间是____． 14．函数y=x－21x＋2的值域为_____． 15、设yfx是R上的减函数，那么yfx3的单调递减区间为.

16、函数f(x) = ax2＋4(a＋1)x－3在[2，＋∞]上递减，那么a的取值X围是__． 三、解答题：

17．f(x)是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f(〔1〕求f(1)的值．

〔2〕假设f(6)= 1，解不等式 f( x＋3 )－f(

x) = f(x)－f(y) y1) ＜2 ． x

18．函数f(x)=－x3＋1在R上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R上是增函数还是减

函数？试证明你的结论．

19．试讨论函数f(x)=1x2在区间［－1，1］上的单调性．

20．设函数f(x)=x21－ax，(a＞0)，试确定：当a取什么值时，函数f(x)在0，＋∞)上为

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单调函数．

21．f(x)是定义在(－2，2)上的减函数，并且f(m－1)－f(1－2m)＞0，XX数m的取值X围．

x22xa22．函数f(x)=，x∈［1，＋∞］

x1〔1〕当a=时，求函数f(x)的最小值；

2〔2〕假设对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试XX数a的取值X围．

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参考答案

一、选择题： CDBBD ADCCA BA

二、填空题：13. (1，＋∞)， 14. (－∞，3)，15.3,，,

21三、解答题：17.解析：①在等式中令xy0，那么f(1)=0．

②在等式中令x=36，y=6那么f(36)f(36)f(6),f(36)2f(6)2. 6故原不等式为：f(x3)f()f(36),即f[x(x＋3)]＜f(36)， 又f(x)在(0，＋∞)上为增函数，

1xx3011533故不等式等价于：00x.

2x0x(x3)3618.解析： f(x)在R上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：

设x1、x2∈(－∞，＋∞)， x1＜x2 ，那么f(x1)=－x13＋1， f(x2)=－x23＋1．

f(x1)－f(x2)=x23－x13=(x2－x1)(x12＋x1x2＋x22)=(x2－x1)［(x1＋

∵x1＜x2，∴x2－x1＞0而(x1＋

x2232

)＋x2］．

42x2232

)＋x2＞0，∴f(x1)＞f(x2)．

42∴函数f(x)=－x3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．

19.解析： 设x1、x2∈－1，1］且x1＜x2，即－1≤x1＜x2≤1．

f(x1)－f(x2)=1x1－1x2=

22(1x1)(1x2)1x11x22222=

(x2x1)(x2x1)1x11x222

∵x2－x1＞0，1x11x2＞0，∴当x1＞0，x2＞0时，x1＋x2＞0，那么f(x1)＞f(x2)． 当x1＜0，x2＜0时，x1＋x2＜0，那么f(x1)＜f(x2)．

故f(x)=1x2在区间［－1，0］上是增函数，f(x)=1x2在区间［0，1］上是减函数．

20.解析：任取x1、x2∈0，＋且x1＜x2，那么

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22-

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f(x1)－f(x2)=x11－x21－a(x1－x2)=

x1x2x11x21(1)当a≥1时，∵

2222x1x22222－a(x1－x2)

x11x21=(x1－x2)(－a)

x1x2x11x2122＜1，

又∵x1－x2＜0，∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)

∴a≥1时，函数f(x)在区间［0，＋∞)上为减函数． (2)当0＜a＜1时，在区间［0，＋∞］上存在x1=0，x2=∴0＜a＜1时，f(x)在［０，＋上不是单调函数 注： ①判断单调性常规思路为定义法； ②变形过程中

2a，满足f(x1)=f(x2)=1 1a2x1x2x11x2122＜1利用了x11＞|x1|≥x1;x21＞x2；

22③从a的X围看还须讨论0＜a＜1时f(x)的单调性，这也是数学严谨性的表达．

21.解析： ∵f(x)在(－2，2)上是减函数

∴由f(m－1)－f(1－2m)＞0，得f(m－1)＞f(1－2m)

1m32m12123121∴212m2,即m 解得m，∴m的取值X围是(－,)

22323m112m22m322.解析： (1)当a=

11时，f(x)=x＋＋2，x∈1，＋∞) 22xxx211x1=(x2－x1)＋1=(x2－x1)(1－2x22x12x1x2设x2＞x1≥1，那么f(x2)－f(x1)=x2＋

1) 2x1x2∵x2＞x1≥1，∴x2－x1＞0，1－

1＞0，那么f(x2)＞f(x1) 2x1x2可知f(x)在［1，＋∞)上是增函数．∴f(x)在区间［1，＋∞)上的最小值为f(1)=

7． 2x22xa(2)在区间［1，＋∞)上，f(x)=＞0恒成立x2＋2x＋a＞0恒成立

x设y=x2＋2x＋a，x∈1，＋∞)，由y=(x＋1)2＋a－1可知其在[1，＋∞)上是增函数，

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当x=1时，ymin=3＋a，于是当且仅当ymin=3＋a＞0时函数f(x)＞0恒成立．故a＞－3．

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