有限元变分原理

1有限元变分原理

有限元是求解偏微分方程的数值方法，在数学上属于变分法范畴，是古典的Ritz－Galerkin方法与分片多项式插值的结合。古典的Ritz－Galerkin方法的试函数是求解域内的连续函数，有限元法的试函数是分片多项式。作为变分法的试函数产生了很大区别：古典的Ritz－Galerkin方法的试函数要求域内的连续或平方可积且满足位移边界条件，试函数定义在泛函分析的Hilbert空间，或称为内积空间。有限元法的试函数要求在单元域内连续或平方可积，且不用考虑位移边界条件，因为有限元是以节点位移参数为未知数，可以直接代入位移边界条件，但是单元间出现了连续性条件，即所谓的平面和三维弹性问题的C0连续，和薄板问题的C1连续等，相对古典的Ritz－Galerkin方法的试函数是一种广义函数。有限元试函数定义在泛函分析的Sobolev空间，或称为广义导数空间。

2 分片检验

2.1分片检验

长期以来在有限元收敛理论中的分片检验成为关注的焦点，同时也是一个疑难症。分片检验所以倍受关注，是因为它不仅可以用于检验单元的收敛性还可以用于构造收敛单元，而且十分方便。分片检验的研究大致经历了如下三个里程。第一，1965年Irons提出了不协调元的分片检验条件(Patch Test) [1,2]，这是一个通过数值计算检验单元的收敛性的方法，可以通过对一小片有限元问题的数值计算检验单元的收敛性，也是有限元法中最实用的检验单元收敛性的方法，但是，作为一种数值检验的方法，在数学和力学原理上的提法都不够严密，而有限元的单元收敛性又是不能回避的问题。鉴于这个方法的有效性和实用性，人们一直对其开展系列的理论研究工作。1972年Strang首先给出分片检验的数学描述[3]，后来，这个条件被解释成对一个单元的约束条件，称之为单体条件[4]，这个条件使

1

用很方便，可以做为单体的约束条件构造单元函数，但是，对这个分片检验一直缺少严格的数学证明。第二，1980年Stummel基于严格的数学理论，建立了不协调元收敛的充分必要条件-广义分片检验[5]，并且，通过举反例证明Irons的分片检验即不充分也不必要[6]。这个严格的理论是整体条件，而非单体条件，应用很困难，只限于用于少量单元的检验，而且需要有相当的泛函分析基础，对于大多数单元无法得到应用，更是无法用于指导构造不协调元，因此深入研究实用的不协调元收敛性条件是十分必要的。

此间，还推出了一些实用的充分条件，例如，F-E-M检验[7] 和 IPT 检验[8]等，1995年建立了C0 类非协调元收敛准则—强分片检验(SPT) [9]，1997年基于加权 Sobolev 空间理论，建立了轴对称非协调元收敛准则—强分片检验(ASPT) [10]。但是，数学的严格理论(例如，广义分片检验)难以在力学中应用，实用的力学准则(例如，分片检验)又缺少严格的数学基础。有限元的发展特别需要分片检验能成为一种实用的先验性收敛准则，即可用于检验单元收敛性又可用于指导设计收敛的单元，而不是象广义分片检验和现在的各种收敛性充分条件需要对单元逐个进行收敛性检验。

虽然，分片检验研究还存在上述数学上的困难，但是，在力学应用上已经被接受，对数学上给出的通过分片检验但不收敛的反例在力学界反映强烈，多数持不同的意见[11，12]。第三，最近（2001年），王鸣对分片检验数学提法做出重要的发展[13]，阐明了分片检验做为一个收敛准则提法的充分必要条件是通过分片检验的单元函数还应满足弱超逼近性（weak superapproximation）和弱连续性（weak continuity）。王鸣验证了文[6]列举的通过分片检验但不收敛的反例不满足这两个条件。王鸣的工作可以结束人们对分片检验条件的种种疑惑，但是，还没有明确单元函数的弱超逼近性和弱连续性的力学意义，距离建立完整力学提法还有一步之遥。是否力学上在构造单元时已经蕴含了这些条件，例如，构造单元位移函数除协调性外一般都要求含刚体和常应变模式和无多余零能模式。目前，关于有限元收敛性和分片检验的研究还仅限于二维/三维（2D./3D.）弹性力学和薄板问题，

2

而止于轴对称问题[10]。

分片检验原来的提法是将对应常应力状态的位移做为检验函数，并由此限定至少包含一个内点的用被检验单元分割的任意一小片（图2.3）的边界位移，如果求得的小片有限元解为检验函数的精确解，则称被检验的单元通过常应力分片检验。

显然，这是一个通过数值计算检验单元收敛性的方法。当初提出的分片检验是用于检验不协调元的收敛性，后来又被用于检验混合/杂交元的收敛性。由于当初的分片检验只是强调数值计算检验的方法，没有明确对单元本身的限制，后来在数学上引起的对分片检验的批评[6]和相关的争议都是与此有关。按王鸣 [13]对分片检验的研究结果，被检验的单元函数的补充条件是被检验的单元满足弱超逼近性和一定的弱连续性。

3

node coordinates

xi yi

1 0.02

2 0.03

3 0.08

4 0.08

E=105 t=0.01

4

0.04 0.18 0.16 0.08 =0.25

y0.240.121432x图2.3. 分片检验网格

下面，证明单体条件是常应力分片检验的充分条件，并根据力学原理解释了被检验的单元函数的弱连续性和弱超逼近性条件，为分片检验提供一个力学理论基础。

2.2 单体条件是通过分片检验的充分条件

上述单体条件是单元函数的约束条件，下面将证明单体条件是通过常应力分片检验的充分条件。

分片检验的有限元方程有两种表示方法，一种是由分片检验对应的常应力求出相应的边界力并转化为节点外力，另一种是直接代入分片检验函数对应的边界节点位移，可以证明当单元满足刚体位移条件时，两种方法是等价的，但是，前者可以自动检查刚体位移条件，而后者便于实施。

有限元列式为，

B*qBhqBcq (12)

其中，

5

BhBB0，

BqDTu,B011~dsBdv,BqRTucVeVe (13)

显然，

veBhdv0 (14)

由此，单元刚度矩阵被分解为两个部分，将（14）代入分片检验条件的无外力作用的有限元方程，得，

qcee(kk)qche0 (15)

n其中，

TkceBcCBcdvve，

eTkhBhCBhdvve分别为对应“常应变“和高阶应变“的单元刚度

矩阵，qc为对应分片检验位移函数限定的边界节点位移向量（按冲大数方法求解qc还应做相应的处理）。当方程（15）满秩时，解存在且唯一。显然，代入qqc，如果（15）式成立，则通过分片检验，即，

qcee(kk)qchce0 (16)

n对于检验函数边界位移有

~u*uc，代入精确的积分公式，得，

由于

*DTucVe*~dsDTucdvRTuVe (17)

为常应变，得，

6

*ucF1~dsRTuVe (18)

T其中，DFI。

由于单体条件（8）式等价的（6）式，位移函数总可以分解为，

**u*ucuh (19)

其中，

*ucF11T~*RudsuuFDTudvu*hVeVe，，c为等于分片检验函数的单元位移函数

*uh（含刚体位移和常应变部分），是单元位移函数的高阶部分，而且

VE*DTuhdv(DTuVe1DTudv)dv0Ve。值得注意的是对于一般的不协调元不能保证如上的分

解。

由（19）式，得，

**DTu*DTucDTuh (20)

当位移函数为分片检验函数时，由（20）式得

u**uc*DTuh0。

这样，由（12）式代入qqc得，

Bhqc0 (21)

eTkhqcBhCBhqcdv0Ve (22)

7

但是，为了保证方程（15）满秩，

khe在方程中是不可缺少的。

除了给定的边界位移为qqc，由于（18）式是分片检验函数在单元内的一个精确表达式，由此生成的小片内部节点的有限元方程满足

kqemecc0 (23)

其中，m 为与指定的某个内部节点的相关单元个数。方程（16 13）得证。

由此可以看出精化元法可以将单元函数，单元应变和单元刚度矩阵分解为两个部分，分别对应常应变和高阶应变，一定通过分片检验。单体条件是分片检验的充分条件，但是，

1~dsRTu只满足单体条件不一定能保证单元的逼近性质，如果只用应变Ve计算应变能，虽然

可以通过分片检验，但是，由于有伪零能模式存在，仍不能保证单元收敛。单元收敛的条件是除了满足单体条件外，单元函数还应包含刚体位移，常应变模式和无伪零能模式。

3 增强型分片检验

增强型分片检验是将对应满足域内平衡的最低阶非零应力状态的位移做为检验函数，并由此限定至少包含一个内点的用被检验单元分割的任意一小片的边界位移，如果求得的小片有限元解为检验函数的精确解，则称被检验的单元通过增强型分片检验。作为收敛条件，被检验的单元函数还要满足一定的弱连续性条件和含刚体模式而无伪零能模式及满足平衡方程的最低阶非零应变模式(或称保证收敛的基本应变模式)。

对于非齐次微分方程问题，最低阶应力项选为非零常应力，由非齐次微分方程确定的

8

其他应力就不再是常应力，因此，单元函数的协调条件将是连续性要求更高的新的协调条件。

对于齐次阶微分方程问题，常应力可以自然满足域内平衡，增强型分片检验蜕化为常应力分片检验条件。因此，增强型分片检验是分片检验的一个统一提法。

下面，提出一个新的放松连续性的变分原理并由此推出新的单体条件，进一步证明新的单体条件是增强型分片检验的充分条件，为增强型分片检验提供一个力学理论基础。

3.1 变分原理和增强型单体条件

新的放松连续性条件的不协调元的变分原理的泛函为，

mp1T~)ds)W((Ve2(DuN)TC(DTuN)TPTN)dvVeTaT(uue1n (24)

~ 是用节点位移其中，u 是无连续性要求的用节点位移参数表示的单元位移函数； u参数表示的单元边界位移，它应包含刚体位移和保证收敛的基本应变模式；n 是单元个数;

N,PT分别为,参数表示的保证收敛的基本应变和应力， N和P是插值矩阵；D是几

何方程算子；C 是弹性常数矩阵; Ta 是对应基本应力的边界力，它可表示为是单元边界的方向余弦矩阵；W 是外力功。

TaRP; R

将

Ve(RP)Tuds(P)TDTudv(DsP)TudvVeVe 代入泛函(24), 得，

*mp(Ve1~ds)W((DTuN)TC(DTuN)(P)T(DTuN)(DsP)Tu)dv(RP)TuV2ee (25)

9

其中，Ds是平衡方程算子；

由

*mp0T,得

~ds)H1((PTDTu(DsP)Tu)dv(RP)TuVeVe (26)

其中，

HVPTNdve.

记

DTuNDTu*，其中的位移u*为，

u*uM 其中一定存在一个M， 使得 DTMN。

将 (26) 式代入 (27) 式，得单元位移函数，

u*uMH1((PTDTu(DT~VsP)Tu)dv(RP)uds)eVe 应变为

DTu*DTuNH1(~V(PTDTu(DsP)Tu)dv(RP)Tuds)eVe 由（26），得，

10

(27)

(28)

(29)

Ve~ds)dvPTDTudvPT(NDTu)dvPTNH1((PTDTu(DsP)Tu)dvPTRTuVeVeVeVe~ds(DP)Tu)dvPTRTusVeVe (30)

T(30)式两边乘以，并记aP得

VeTTaDTu*dvTaTu*ds(Dsa)u*dvVeVe (31)

当a为检验函数时，应当满足域内平衡，则有

T~dsaDTu*dvTaTuVeVe (32)

这就是增强型分片检验单体条件。式中，u为单元位移，可以是协调位移，也可以是

*不协调位移，u是单元边界公共位移，对于协调元则等于单元位移的边界值，对于不协调元则与单元位移u无关，a为单元内的满足平衡方程的应力，Ta为对应a的单元边界力。

~增强型单体条件的力学解释：单元位移（协调/不协调）产生的应变与任意的满足域内平衡的应力所做的内功等于单元边界上对应的边界力与单元边界公共位移所做的功。这是单元的内功和外功相等的条件，单元的内位移和边界位移可以是不一致的。

对于微分方程的阶次是非齐次的问题，分片检验函数应预先满足平衡方程且对应最低阶的非零应力，分片检验函数可以通过平衡方程一般解求得。

将假定的位移u的（27）式代入单体条件（32）式，求得，就可以得到位移u的表达式（28），因此，位移u的表达式（28）和单体条件（32）式等价。

*** 11

3.2 单元函数的增强型弱连续性条件

将（29）式左乘PT并代入(DsP)=0积分后，可以得到单元间弱连续性条件，

TT*TT1TTTT~PDudvP(DuNH(PDudvPRuds))dvVEVeVeVe~dsPTRTuVe (33)

由分部积分公式，

TT*TT*PDudvPRudsVEVe (34)

将（34）代入（33）得，

~)ds0PTRT(u*uVe (35)

这就是单元间的增强型弱连续性条件。

~单元函数u和单元间的公共位移u都应当含刚体模式，u保证无多余零能模式，（29）式中的

~dsNH1RTuVe项提供了逼近应变的单元的应变基本模式，（

NH1DTudvVe）项是消出

TD不协调位移的应变u中影响收敛的基本应变模式。

3.3 增强型单体条件是通过增强型分片检验的充分条件

上述增强型单体条件是单元函数的约束条件，下面将证明增强型单体条件是增强型分片检验的充分条件。

12

有限元列式为，

B*qBhqBaq (36)

其中，

~dsBqDTu,B1NH1PTBdv,BaqNH1PTRTuVeVeBhBB1， (37)

显然，

vePTBhdv0 (38)

基于代入(DsP)=0的（29）式，单元刚度矩阵被分解为两个部分，代入增强型分片检验条件的无外力作用的有限元方程可表示为，

qa(kk)qe0 (39)

neaeh其中，

eTkaBaCBadvve1TeTTkh(BhCBh(BaCBhBhCBa))dvve2，分别为对应“基本应变“和

“高阶应变“的单元刚度矩阵，qa为对应分片检验位移函数限定的边界节点位移向量（按冲大数方法求解，对qa做了相应的处理）。当方程（39）满秩时，解存在且唯一。显然，当代入qqa时，如果（39）式成立，则通过增强型分片检验，即，

qaee(kk)qahae0 (40)

n 13

*ua单元内的分片检验函数式，得

可以用边界位移求得，边界位移

~u*ua代入精确的分部积分公

令

*uaMVe*~dsPTDTuadvPTRTuVe (41)

T，记NDM，代入（41 37）式，得，

*~dsuaMH1PTRTuVe (42)

其中，M,N,P分别对应分片检验函数，及其应变，应力的插值向量。（42）是增强型分片检验函数在单元内的一个精确表达式。

按与单体条件（32）式等价的（28）式，位移函数总可以分解为，

**u*uauh (43)

其中，

*ua为对应分片检验函数的单元位移函数，是不包含分片检验函数的单元位移

*uh函数的高阶部分。

由（43）式，得，

**DTu*DTuaDTuh (44)

显然，当位移函数为分片检验函数

*uhu**ua时，即在（39）式代入

*u*uc得

*DTuh0，由于

不包含分片检验函数

*ua，得，

14

Bhqa0 (45)

将（38）式左乘得，

TCBaqaveTPTBhdv0 (46)

是由检验函数确定的满足平衡方程的单元应力，可以记为CBaqaP，得，

Ve(CBaqa)TBhdv0 (47)

由（45）式和（47）式得，

1TeTTkhqa(BhCBh(BaCBhBhCBa))qadv0ve2 (48)

但是，为了保证方程（39）满秩，

khe在方程中是不可缺少的。

除了给定的边界位移为qqa，由于（42）式是分片检验函数在单元内的一个精确表达式，由此生成的小片内部节点的有限元方程满足

kqemeaa0 (49)

其中，m 为与指定的某个内部节点的相关单元个数。（40）式得证。

单体条件是分片检验的充分条件，但是，只满足单体条件不一定能保证单元的逼近性

15

质，如果只用应变

~dsMH1PTRTuVe计算应变能，虽然可以通过分片检验，但是，由于有伪

零能模式存在，仍不能保证单元收敛。单元收敛条件是除了满足增强型单体条件外，单元函数还应包含刚体位移和分片检验函数的应变模式，无伪零能模式和弱连续条件。

参考 文献

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