复变函数疑难问题分析

复变函数疑难问题分析

f(z)z2sin1z，Dz|z11。

1. 设

1）函数f(z)在区域D中是否有无限个零点？2） 若上小题的答案是肯定的，是否与解析函数零点的孤立性相矛盾？为什么？

答： 有无限个零点。可以具体写出其所以零点； 不矛盾。因为这无限多个零点均为孤立零点；不可以展开为洛朗级数。因为z0为非孤立的奇点。

2. “函数sinz在z平面上是有界的”是否正确？

sinz在z平面上无界。

eizeizeizeizsinz|sinz|||(y)ziy(y0)2i2i这是因为，令，则

3. “函数e为周期函数” 是否正确？

zez是以2ki为周期的函数。因为zC，ez2kieze2kiez1ez，k为整数

4. “f(z)z是解析函数” 是否正确？

f(z)z在z平面上不解析。因为f(z)zxiy，所以u(x,y)x，v(x,y)y

1

vuuv1010yy所以x，，，x

uv11y，所以u(x,y)，v(x,y)在z平面上处处不满足C.R.条件 但是x所以f(z)z在z平面上不解析。

5.根据教材中建立起球面上的点（不包括北极点N）复平面上的点间的一一对应，试求解下列问题。

22,,1)（1）复球面上与点22对应的复数；

(（2）复数1+i与复球面上的那个点；

（3）简要说明如何定义扩充复平面。

解：（1）建立空间直角坐标系（以O点为原点，SON为z轴正半轴），则过点

xP(22,,1)22与点N(0,0,2)的直线方程为

22i对应。

22y22z222(,,1)1。当z0时，xy2，所以22与复数

xyz2222xy(z1)1相(1,1,0)1i112（2）复数的空间坐标为。则直线方程与球面222(,,)交，其交点为333，N(0,0,2)

2

（3）z平面上以个模为无穷大的假想点一北极N相对应，复平面上加上后称为扩充复平面。

6．说明复变函数可微性与解析性的关系。

复变函数wf(z)在点z0处可导，又称为可微，而f(z)在z0处的某个邻域内任一点处均可导（可微），则称f(z)在z0处是解析的。

所以（1）wf(z)在点z0处可导(可微)，但不一定在z0处是解析的，

（2）f(z)在z0处解析是指在z0处的某个邻域内任一点处均可导，

（3）f(z)在区域D内可微与在区域D内解析是等价的。

1z在区域D：0z1上解析且有无穷多个零点，但在区域D上fz不恒

7．

fzsin等于零，这与解析函数零点孤立性定理相矛盾吗？为什么？

11zlimz0kz在区域D，0z1内有无穷多个零点k，但kk，但0D，而区

f(z)sin1z在

f(z)sin域D是去心邻域，f(z)在z0点无意义，所以f(z)在z0处是不解析的，也即

D内解析也有无穷多个零点，但也不恒等于0，与零点孤立性定理不矛盾。

8.复级数么?

an1n与

bn1n都发散,则级数

(an1nbn)和

abn1nn发散.这个命题是否成立?为什

3

1111ai,bin2n2nnnnn1n1n1n1答.不一定．反例: 发散

22(ab)i(ab)nnnn2nn1n1n1n1n发散； 但收敛；

anbn[(n1n111)]24nn收敛.

9.下列说法是否正确?为什么?

(1)每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛.

(2) 每一个幂级数的和函数在它的收敛圆内可能有奇点.

答: (1) 不正确,因为幂级数在它的收敛圆周上可能收敛,也可能发散.

(2) 不正确,因为收敛的幂级数的和函数在收敛圆周内是解析的.

10. 为什么区域|z|R内解析且在区间(R,R)取实数值的函数f(z)展开成z的幂级数时，展开式的系数都是实数？

因为当z取实数值时，f(z)与f(x)的泰勒级数展开式是完全一致的，而在|x|R内，

f(x)的展开式的系数都是实数。所以，在区域|z|R内，f(z)展开成z的幂级数时，它的系

数都是实数。

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z11.由 1zzz2z3...z z1111zz2...

z因为1zzz10,所以有结果...111z3z2z11zz2z3...0

请解释错误的原因。

zzz2答:因为1zz3...要求z1

z而1z11z1z2...要求z1

z所以,在不同区域内1zzz1...111z6z2z11zz2z3...0

12.z0是函数

f(z)1cos(1/z)的孤立奇点吗？为什么？

解: 因为

f(z)1cos(1z)的奇点有z0

1zkππ2z1(kkππ0,1,2,...)2

z1所以在z0的任意去心邻域，总包括奇点

kππ2，当k时，z=0。5

11从而z0不是cos(z)的孤立奇点.

13. 函数

12z(z1)f(z)1z(z1)2在z1处有一个二级极点，但根据下面罗朗展开式：

111, z113(z1)(z1)(z1).

我们得到“z1又是f(z)的本性奇点”，这两个结果哪一个是正确的？为什么?

解: 不对, z=1是f(z)的二级极点,不是本性奇点.所给罗朗展开式不是在0z11内得到的

在0z11内的罗朗展开式为

1111111(z1)(z1)2...222z(z1)zz1(z1)(z1)z1

14. 如何证明当y时，|sin(xiy)|和|cos(xiy)|都趋于无穷大？

1iziz1yxieeeeyxi2i2i

证明：

sinz1sinzeyxieyxi2yxieyeyxiey ∴e而

sinz≥1yxieeyxi1eyey22

6

yy当y时，e0，e有|sin(xiy)|．

当y时，ey，ey0有|sin(xiy)|．

同理得

cosxiy1yxieeyxi2≥1yeey2

所以当y时有|cos(xiy)|．

15. 设函数f(z)在0|z|1内解析，且沿任何圆周C：|z|r，0r1的积分为零，问

f(z)是否需在z0处解析？试举例说明之。

解： 不一定。如令的积分

f(z)1|z|r，0r1z2，则其在0|z|1内解析，且沿任何圆周C：

Cf(z)dz|z|r1dz0z2

但显然

f(z)1z2在z0处不解析。

16.设f(z)在 单连通区域D内解析，且不为零，C为D内任何一条简单光滑闭曲线，问积分

Cf(z)dzf(z)是否为零？为什么？

解： 等于零。因f(z)在D内解析，故f(z)具有各阶导数且仍为解析函数，从而f(z)在

f(z)D内也解析，又因在D内f(z)0，故f(z)在D内解析，从而在C上及C的内部也解析，

7

于是由Cauchy-Gourssat定理，有

f(z)Cf(z)dz0

x3y3ix3y3f(z)22,z017. 设xy,z00 f(z)在原点是否满足CR条件，是否可微？x3y3x,y0,0x3y3x,y0,0ux,yx2y2v解：

x,yx2y20x,y0,0

0x,y0,0

(x,0)u(0,0)

ux(0,0)limux0xlimxx0x1，

同理

uy(0,0)vx(0,0)vy(0,0)0。

从而在原点f(z)满足CR条件。

又

ff(z)(uiv)(ux(0,0)ivx(0,0)zz

(1i)(x)3(y)3(1i)z=(x)3(y)3z

当z沿yx0时

8

ff(z)(1i)3z2(x)

故f(z)在原点不可微

18. 在数学分析中，要构造一个处处连续又处处不可微的例子是一件非常困难的事情，而在复变函数中，这样的例子却几乎是随手可得，请举出一个例子．

例如： f(z)z在z平面上处处不可微．

证明：不难看出f(z)z在z平面上处处连续，但对于任意一点z0．

f(z0z)f(z0)z0zz0z0zz0zzzzz

当z取实数趋于零时，上述极限为1，而当z取纯虚数趋于零时，上述极限为1，因此上述极限不存在，即f(z)在点z0不可导，由z0的任意性知f(z)在点z平面上处处不可微．

19. “若u(x,y)和v(x,y)均为调和函数，则f(z)u(x,y)iv(x,y)为解析函数”是否正确？

yx2y2 都是调和函数，但

22u(x,y)xy 解：不正确。例如： ，

v(x,y)f(z)u(x,y)iv(x,y)不是解析函数。

事实上，

ux2x,uy2y,uxx2,uyy2，

2xyx2y2vx2,vy22222(xy)(xy)

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6x2y2y36x2y2y3vxx2,vyy23223(xy)(xy)

uxxuyy0;vxxvyy0

uvy这表示u(x,y),v(x,y)是调和函数。但x，即不满足C—R条件，从而

f(z)u(x,y)iv(x,y)不是解析函数。

20. 指出下列推导过程中的错误：

设z0，则

22(z)z（1） 因为；

22（2） 所以Ln(z)Lnz；

（3） 于是有Ln(z)Ln(z)LnzLnz；

（4） 所以2Ln(z)2Lnz；

（5） 故得Ln(z)Lnz。

解：推理步骤1）--3）是正确的，但3）至4）是错误的。

LnzLnz可视为由两个相同数集Lnz各取一个元素相加所得的和的数集。而2Lnz只是数集Lnz中每一数的两倍所成的数集。2Lnz仅是LnzLnz的一个真子集。

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事实上，

Lnzln|z|i(argz2k)，Ln(z)ln|z|i(argz(2k1)),k0,1,...

所以

LnzLn(z)

21. 在复变函数中，e也可以象实分析中的e既可看成以e为底的指数函数，也可以看成数e的x次幂哪样理解吗？

zxzxzee(cosyisiny)，一般e不能，在复变函数中，表示复变指数函数的一个符号，即

用符号expz表示，习惯上还是用e表示，但是，这里的e没有幂的含意。e作为指数函数

zzzzxee(cosyisiny)是一单值解析函数。作为e的ez与的次幂有很大的差别。作为指数函数

z次幂，按照乘幂定义

ezexp(zLne)exp[z(lne2ki)]

=exp[z(12ki)]expzexp(2kzi),k0,1,2,...

一般情况下，它是多值的。

22.实分析中的微分中值定理具有重要的理论意义和应用价值，它能推广到复变函数中来吗？

答 不能.我们以罗尔（Rolle）定理为例来说明不能推广到复变函数中的原因.罗尔定

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理告诉我们，若函数yf(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)可导，并且f(a)f(b)，则至少存在一点(a,b)，使得f()0.由于复变函数wf(z)是定义在z平面中集合上的函数，它的连续性与可导性都要求函数定义在一点的某个邻域上或某个区域上，仅在实轴（或虚轴）的某个区间上不能讨论它的连续性与可导性.况且由于复数不能比较大小，所以在复平面上（除实轴或虚轴外）不能定义通常的区间，即使将罗尔定理中的前面两个条件放宽为f(z)在z平面某个区域D内解析，将条件“f(a)f(b)”改为在D内的某线段的两个端点

z1与上相等，即

z2f(z1)f(z2)zzf(z)e，结论也不一定成立.例如，设，根据指数函数e的周

zzzzki(e)e0，罗尔定理不成立. eekz期性，对任何，（为整数），但是

23.对于复变对数函数，当正整数n1时，等式

1Lnzn

nLnzLnz，

nLnnz不成立，为什么？

答 由于复变对数函数是无穷多值函数，所以上面两个等式成立应当理解为等式两端可能取得的函数值的全体是相同的.但当n为大于1的正整数时，上述等式两端所取得的函数值的全体并不相同，现以n2时为例来说明.设zre，则

i2Lnz2lnri(24l),l0,1,2,.

222i又由zre得

Lnz2lnr2i(22m),m0,1,2,.

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所以，它们的实部相等，但虚部可能取得的值却不尽相同.例如，对于l的各值，2lnz的虚部中的系数为

0,4,8,12,,

2Lnzm而对的各值，的虚部中的系数则为

0,2,4,6,8,10,12,,

22LnzLnz所以等式左端可能取的值只是右端可能取的值的一部分，不完全相等，因

此该等式不成立.

读者可用类似的方法说明另一等式也不成立.

24.为什么要研究解析函数与调和函数的关系？

答 调和函数是流体力学、电磁学和传热学中经常遇见的一类重要的函数.例如，不可压缩的平面定常的无源无旋流速场的流函数与势函数、平面静电场的力函数与势函数以及热流场的流函数与温度分布函数等都是调和函数.因此，在场论中通常把无源无旋的向量场

22202xy叫作调和场.因为调和函数满足拉普拉斯方程，所以，拉普拉斯方程的边值问题

实际上就是调和函数的边值问题（即求一个二元实变函数(x,y)，使它在已知区域内调和，并且在区域的边界上满足已知条件）.例如，若已知某平面无源无旋流速场在区域边界上的流速，求区域内部流速的分布情况就属于调和函数的边值问题.

由于解析函数的实部和虚部都是调和函数，因此，利用解析函数的理论和方法研究调

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和函数的性质，可以得到调和函数的许多重要有趣的结果.读者可以利用解析函数的平均公式就可以得到调和函数的平均公式；利用解析函数的柯西积分公式，就可以得到调和函数的泊松（Poisson）积分公式；利用解析函数的最大模原理，也可以得到调和函数的极值原理（在区间D内部恒为常数的调和函数在D内不能取得它的最大值或者最小值）.调和函数的这些性质在研究拉普拉斯边值问题中起着关键的作用.

因此，研究解析函数与调和函数的关系，为解析函数在实际问题中的应用奠定了基础.

25.如果幂函数n1cznn在z34i处条件收敛，那么你能够求出该级数的收敛半径吗？

答 能.根据阿贝尔定理，如果在z00处幂级数收敛，那么对一切满足zz0的点z，该幂级数绝对收敛.因此，既然已知该幂级数在z034i处条件收敛，那么，对满足

z34i5 的一切点z，它是绝对收敛的.

另一方面，由于该幂级数在z34i处是条件收敛的，所以，任何满足z5的点都不可能使得该幂级数收敛.否则，根据阿贝尔定理，该幂级数在z34i处绝对收敛，这与已知条件矛盾.

综上所述，幂级数n1cznn的收敛半径为5.

26.解析函数的泰勒展开式与高等数学中任意阶可导函数的泰勒展开式形式上完全一

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样，而且一些常见初等函数的泰勒展开式的形式也相同，因此认为泰勒级数这一节没有必要花时间再去学习，你如何看待？

答 这种看法是不对的！虽然解析函数展开为泰勒级数的理论和方法确有许多地方与高等数学中泰勒级数的理论和方法相同，但是，只要读者认真地钻研教材，就会发现它们之间仍存在着显著的差异。

（1）泰勒展开式定理成立的条件不同。在实变函数中，一个函数展开为泰勒级数，不仅要求该函数任意阶可导，而且还要求泰勒公式中余项的极限为零。这两个条件都是很难满足的，验证它们是否成立也不是一件容易的事。例如，用归纳法可以证明，函数

x12f(x)e,x0,0,x0

(n)f(0)0(n0,1,2,)，因此，它在x0处的泰勒级x0在处的各阶导数都存在，而且

数为

0nx000n0n!

显然该级数的和函数S(x)0。也就是说，该级数是函数S(x)0的麦克劳林展开式，而不是f(x)的麦克劳林展开式，f(x)不能展开为x的幂级数。终其原因，就是因为在x0的邻域内该函数的泰勒公式中的余项不趋于零。但在复变函数中就大为不同了，只要函数f(x)在区域D内解析，对于D内任一点z0，就一定存在z0的一个邻域，使f(x)在此邻域内展开为泰勒级数。这是因为解析函数具有任意阶导数，而且余项一定趋于零。

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（2）幂级数的和函数在收敛圆zz0R上至少有一个奇点。事实上，如果f(x)在此收敛圆上没有奇点，即处处解析，那么根据解析的定义，f(x)在此收敛圆上各点为中心的邻域内解析。这样，该幂级数的收敛区域就要扩大，除圆域zz0R外，还应加上圆周

C:zz0R上各点的邻域U(z)之并，即

{z|zz0R}zcU(z)，

这与收敛圆的概念矛盾。

即使对于在收敛圆上处处收敛的幂级数，其和函数仍可能在收敛点处不解析。例如，

zz2z3znf(z)2222123n设，则右端幂级数的收敛半径为

Rlimncnn12lim()1cn1nn.

zn122nnn1n1而且因为级数收敛，所以，级数在z1上处处绝对收敛。但由于

zz2zn1f(z)123n

当z沿实轴从圆z1内趋于1时，f(z)，说明f(x)在z1处既不可导也不解析，所以z1是f(x)的一个奇点。

利用这个结论，我们可以解释在实变函数的幂级数理论中一些不易理解的问题。例如，在实数范围内，展开式

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11x2x4(1)nx2n21x

1

2

仅当x1时才能成立，但等式左端的函数1x对于所有实数都是确定的，而且也是任12

意阶可导的，为什么会受到这个呢？实际上，如果将1x中的x换成z，在复平面内12

来考察函数1z，那么它有两个奇点zi，而且这两个奇点都在泰勒展开式

11z2z4(1)nz2n21z

的收敛圆z1上，右端级数的收敛半径只能等于1。因此，这两个奇点使级数

1x2x4(1)nx2n在x轴上的收敛区间不可能超越区间1,1。

27.保形映射在解决实际问题中有什么作用？

答 在本章的内容提要中已经给保形映射下了一个严格的定义，若函数wf(x)在区域

D内同时满足两个条件：(1)在D内每一点都是保角的；(2)在D内是一一的，则称wf(x)是

D内的保形映射。根据本章内容提要中的定理可知，在D内一一的解析函数wf(x)所构成

1zf(w)将区域G共形映射为区域Gf(D)D的映射将区域共形映射为区域，它的反函数

D。从而D内的一个任意小的曲边三角形映成区域G内的一个小曲边三角形。根据保角

性，它们的对应角相等；根据伸缩率的不变性，对应边也近似地成比例，因此，三角形与三角形近似地“相似”。正因为如此，我们把这种映射叫做共形映射或保形映射。共形映射在解决许多实际问题中有重要的应用。例如，为了研究飞机在飞行过程中气流对机翼所产生的升力，需要研究机翼剖面外部的速度分布问题，也就是通常所说的机翼剖面的绕流

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问题。

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