2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高二上学期期末考试数学试卷及解析

数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A. B. 【答案】C 【解析】 【分析】

求解出集合的取值范围，利用交集定义求解. 【详解】由则

得：

或

，即

或

， C.

，则 D.

（ ） 或

本题正确选项： 2.设A. C.

， B. D.

，

则（ ）

【答案】D 【解析】 【分析】 根据【详解】

，即

又

又

本题正确选项： 3.曲线

- 1 - / 16

单调性，可得

在

，再验证上单调递增

可得最终结果.

在点（1，0）处切线的倾斜角为，则（ ）

A. 2 B. C. -1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】 求导得，代入

，可得切线斜率，即

的值.

【详解】由题意得：代入又

，可得切线斜率，得

本题正确选项： 4.已知定义在R上的函数在下列区间中，函数

的图像是连续的，且其中的四组对应值如下表，那么

不一定存在零点的是（ ）

2 -1 3 2 5 0 x A.

B.

1 3 C. D.

【答案】D 【解析】 【分析】

根据零点存在定理，依次判断各个选项。又为的子集，则区间有零点，则区间也必有零点；

上有零点，则

上必有零点 上必有零点 上必有零点 上不一定存在零点

上必有零点；由此可得结果.

在

上必有零点

【详解】由题意可得：又

，

又

，

本题正确选项：

在在在在

【点睛】本题主要考查零点存在定理，关键在于需要明确当

- 2 - / 16

，不能得到

区间内一定无零点的结论，需要进一步判断.

，若

，则

（ ）

5.已知函数

A. 1 B. -1 C. -2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】 判断

的奇偶性，通过奇偶性求得函数的值.

【详解】由题意得：即又可得：

为奇函数

本题正确选项： 6.在

，

，

定义域为

，关于原点对称

这三个函数中，当时，恒

成立的函数的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 试题分析：函数

只有在区间

和

上的函数图象是上凸型的，才能满足在区间

＞

，由于函数

条件，函数

上的函数图象是都下凹型的，故不满足

在区间上的函数图象是上凸型的，满足条件，故选选B．

考点：函数的图象与性质． 7.已知函数A.

B.

在 C.

上存在零点，则实数a的取值范围是（ ） D.

【答案】C 【解析】

- 3 - / 16

【分析】 确定

定义域后，可知函数

在定义域内单调递增；根据零点存在定理，求得的

取值范围. 【详解】①当又即②当函数

时，值域为

在

上单调递增 ，函数

存在零点

时，

在，函数

上单调递增 存在零点

，只需

综上所述：本题正确选项： 8.函数A. 【答案】A 【解析】 【分析】 求解出

，将

在

存在两个不同的极值点

B.

C.

，则实数a的取值范围是（ ）

D.

上有两个不等实根，转化为二次函数图像与轴有两个

交点，通过二次函数图像得到不等式，求解出的范围. 【详解】由题意得：设可知

，又

，

在

上存在两个不同零点

存在两个不同的极值点等价于

由此可得：，即

本题正确选项：

【点睛】本题考查导数与极值的关系，解题关键在于通过求导将极值点个数问题转化为二次函数在区间内的零点个数问题，确定二次函数图像主要通过以下三个方式：①判别式；②对称轴；③区间端点值符号.

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9.已知函数，则“”是“的值域与的值域相同”的（ ）

A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 通过

求得函数

的值域；再根据时，

，则时，

值域为

，

时，与时，

，不合题意

值域相同

值域为

值域为

值域为，

的值域，求得

值域.

【详解】①当可得：设当

可得：②由题意可知，设当即当

，则即时，即值域为若

与

值域相同，则

与

值域相同，则

与

综上所述：若由此可知，“

”是“值域相同”的充分不必要条件

本题正确选项： 10.已知函数正确的是（ ） A. B. C.

在在在

单调递增 单调递减 单调递减，

单调递增 ，记

，当

时，

，则对于下列结论

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D. 在单调递增，单调递减

【答案】A 【解析】 【分析】 判断出【详解】又

，

的单调性，利用复合函数单调性推得结果.

与

在

在

上单调递增

上单调递增 在

上单调递增

根据复合函数单调性可知：又

，

与

在

上单调递增 在

上单调递增

根据复合函数单调性可知：以此类推，可知本题正确选项：

在

上单调递增

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题：本大题共7小题。 11.是虚数单位，设

，则z=______，

_____.

【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 将化简为【详解】则

的形式，求得结果.

【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题. 12.已知函数

，则

_____，

_____.

【答案】 (1). (2). 【解析】

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【分析】 将

代入

，求得

，再代入解析式求出

的值.

【详解】由题意得：

【点睛】本题考查根据分段函数解析式求解函数值，关键是根据自变量的取值代入不同的解析式中. 13.设条件

，

，若p是q的充分条件，则m的最大值为____，

若p是q的必要条件，则m的最小值为____. 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】

求解出条件中的取值范围，根据条件类型，得到与的关系，建立不等式，求解出结果. 【详解】由是的充分条件 的最大值为 是的必要条件 的最小值为

【点睛】本题考查根据充分条件和必要条件求解参数取值范围问题，属于基础题. 14.已知函数___.

【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 根据

时，

可求得的值；再利用

求得单调递增区间.

，设x=1是

的极值点，则a=___，

的单调增区间为

得：

【详解】由题意可得：

是

的极值点

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即令

，可得

的单调递增区间为

【点睛】本题主要考查导数与极值、单调性之间的关系，要明确极值点即为导函数等于零的点，属于基础题. 15.已知偶函数【答案】 【解析】 【分析】 利用

的特点，赋值

即可.

可求得

，从而可推得函数的周期为，将

对任意

都有

，则

___.

利用周期转化为【详解】

又令即：

可得，

是定义在上的偶函数

为周期为的函数

【点睛】本题考查函数性质的综合应用，关键在于能够通过赋值的方式将已知关系式变成函数周期的表达式，得到函数的周期. 16.函数范围为_____. 【答案】【解析】 【分析】

通过函数解析式，确定函数的奇偶性和单调性，将利用恒成立的思想来解决. 【详解】当

时，

，即

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，若对于在意实数，，则实数a的取值

转化为，再结合单调性，

为上的奇函数

又当当

在上单调递增 时，时，

在上单调递增

原不等式可转化为：

本题正确结果：

，即恒成立

【点睛】本题解题的关键在于利用函数解析式求解出分段函数的单调性和奇偶性，然后利用单调性将不等式转化为自变量之间的关系. 17.已知函数的取值范围为____. 【答案】【解析】 【分析】 通过的范围，得到

的图像与取值范围；设

，根据图像可知，若有两个不同解；若

，每个的

，若方程

在

内有两个不同的解，则实数m时，每个的取值对应唯一的，即取值对应两个不同的的，即围. 【详解】当

时，

图像如下：

有唯一解即可。根据图像，求得的取值范

设当

，则

与

图像只有一个交点

时，若方程有两个不同解，只需

当时，若方程有两个不同解，需与图像有两个交点，不合题意

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当时，若方程有两个不同解，需

与图像有两个交点

综上所述：本题正确结果：

【点睛】本题主要考查了利用三角函数的范围，求出与二次函数有关的复合函数的值域问题.易错点在于将函数转化为二次函数后，忽略了与的对应关系，错误的认为只需

与

在

上有两个交点即可，从而错误求得部分结果.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18.记函数（1）求M； （2）若

，求实数a的取值范围.

；（2）

的定义域为M，

的定义域为N.

【答案】（1）【解析】 【分析】

（1）真数必须大于零，得到不等式，求出；（2）求解出集合，利用关于的不等式组，求解得到结果. 【详解】（1）即：（2）即：若即：

，则

定义域要求：

定义域要求：

得到

【点睛】本题考查函数定义域以及集合间的关系，关键在于通过集合关系，确定两个集合端点值的大小关系. 19.（1）若函数（2）设函数

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. 在在

上的最大值为3，求a的值； 上的最小值为

，求

的表达式.

【答案】（1）或；（2）

【解析】 【分析】

（1）根据对称轴位置，确定最大值的位置，然后依次验证得到的取值；（2）根据对称轴位置，确定最小值取值位置，得到【详解】由题意可得：（1）①当

，即

对称轴为时，

在

上单调递减

表达式.

，不合题意

②当

，即

时，

在

③当

为

当当综上所述：（2）①当

②当

，即

③当

即

时，

在

上单调递减；

上单调递增

时，

在

上单调递增

即或时，时，或 ，即

时，

在

上单调递减

，此时，此时

，符合题意 ，符合题意

时，

在

上单调递增

，不合题意 上单调递减；

上单调递增

综上所述：

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【点睛】本题考查二次函数图像问题，关键在于通过对称轴的不同位置，确定最值取得的具体点，得到所求结果. 20.已知函数（1）求曲线（2）若过点

在点

.

处的切线与x轴和y轴围成的三角形面积；

相切，求实数a的取值范围.

可作三条不同直线与曲线

【答案】（1）；（2）【解析】 【分析】 （1）对

求导，求得切线方程，解得与坐标轴的交点，从而得到三角形面积；（2）

与

有三个不同的交

通过假设切点，得到切线方程；将问题转化为点，通过图像交点求得取值范围. 【详解】（1）由题意得：即切线斜率

，可得切线方程为

，与轴交于

，则切线斜率

，整理得：

直线与轴交于三角形面积（2）设切点坐标为切线方程为：又过点设令

，解得

可解得：

在切线上，则可作

三条不同的切线，等价于，则，

与有三个不同的交点

【点睛】本题主要考查利用导数的几何意义求解切线方程的问题，要注意区分“在”某点的切线和“过”某点的切线的不同求法；解题关键在于将过某点作曲

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线切线条数问题转化为方程根的个数问题、函数图像交点问题来进行求解. 21.已知函数

（）当a=1，b=1时，求（2）若对于任意实数x，【答案】（1）【解析】 【分析】

（1）通过求导求得函数的单调性，从而求得函数值域；（2）通过对三个范围进行讨论，通过图像讨论，排除问题，最终求得所求最大值. 【详解】（1）由题意得：

当

时，

；当

在上单调递增 当

时，值域为（2）由题意得：①当此时②当当因此，③当令设

时，由时，时，

得：，

恒成立

，不等式不恒成立

；

时，

的情况；将

，

，

. 在

上的值域； 恒成立，求

的最大值.

；（2）

情况转化为二次函数

恒成立

不合题意 时，，即

在上单调递增

时，

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则时，；

时，

即即

综上所述：的最大值为

【点睛】本题考查了函数与导数的综合应用问题，难点在于求解最大值时，由于函数单调性不统一，需要通过假设零点的方式进行讨论，将问题转化为二次函数恒成立问题，利用判别式来进行求解，对学生转化与化归思想应用要求较高. 22.已知

，函数

在

，

上单调递减，求a的取值范围；

恒成立，求a的取值范围.

（1）若函数（2）

对任意

；（2）

【答案】（1）【解析】 【分析】

（1）将问题转化为在区间内恒成立即可求解；（2），首先要求区间

端点处满足要求，得到的一个范围；根据的范围可知存在零点，即有最小值

点，利用最小值与最大值之和小于等于零，得到不等关系，从而进一步确定的范围.

【详解】（1）由题意得：

即

在上单调递增；在上单调递增

在上单调递增 又即解得：

在

上单调递减，等价于

在

上恒成立

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（2）

由（1）知

在上单调递增，且

，

设即：则

在

时，

上单调递减；在

上单调递增

若又当当

，只需 即即

时，时，

即可

，解得：，解得：

综上所述：

【点睛】本题考查导数的恒成立问题，难点在于处理大，将其转化为最大值与最小值之差大于等于零，从而利用归到关于最大值的不等关系中，求得最终结果.

时，直接处理难度较自身所带范围，回

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