专题06 指数与指数函数 (解析版)

【名师预测】

有关指数幂运算、指数函数的基本性质在江苏高考中常以填空题出现，同时，指数函数与导数结合的解答题为高频考点，常常作为一种载体与其他函数结合考查，重点考查指数函数的图象与性质，以及与指数函数有关的综合函数的单调性、奇偶性以及与不等式的知识点的综合考查，难度较大。

【知识精讲】

一．有理数指数幂

(1)幂的有关概念 ①正分数指数幂：

nan＝am(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)． ②负分数指数幂： a

－

m

m

n＝m＝

11naman(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．

③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质 ①aras＝ars(a＞0，r，s∈Q)；

＋

②(ar)s＝a(a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)． 二．指数函数的图象与性质

1．指数函数的概念

一般地，函数ya(a0,且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R. 注意：指数函数ya(a0,且a1)的结构特征 (1)底数：大于零且不等于1的常数； (2)指数：仅有自变量x； (3)系数：ax的系数是1.

2．指数函数ya(a0,且a1)的图象与性质

xxxrs

y＝ax a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 值域 R (0，＋∞) 过定点(0,1) 当x＞0时，y＞1； 性质 x＜0时，0＜y＜1 在区间(－∞，＋∞)上是增函数 3．有关指数型函数的性质 (1)求复合函数的定义域与值域

x形如yaf的函数的定义域就是f(x)的定义域．

xx求形如yaf的函数的值域，应先求出f(x)的值域，再由单调性求出yaf的值域．若a的范

当x＞0时，0＜y＜1； x＜0时，y＞1 在区间(－∞，＋∞)上是减函数 围不确定，则需对a进行讨论．

求形如yfa的函数的值域，要先求出uax的值域，再结合yfu的性质确定出

xyfax的值域．

(2)判断复合函数yfa的单调性

xu令u=f(x)，x∈[m，n]，如果复合的两个函数ya与ufx的单调性相同，那么复合后的函数

yafx在[m，n]上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，那么复合函数yafx在[m，

n]上是减函数． (3)研究函数的奇偶性

一是定义法，即首先是定义域关于原点对称，然后分析式子f(x)与f(−x)的关系，最后确定函数的奇偶性．

二是图象法，作出函数的图象或从已知函数图象观察，若图象关于坐标原点或y轴对称，则函数具有

奇偶性．

【典例精练】

考点一 指数幂的化简与求值

例1． 化简与求值：

（1）222（2）aa33723350214120.01；

0.5a3a1. 0【解析】（1）222237233313514120.0172230.51411211611 49100431015323121212（2） aaaaaa3aaaa372312aa7616aa

8643【方法点睛】指数幂运算的一般原则

(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．

(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． 考点二 指数函数的图象及应用

例2． 若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________． 【解析】作出曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示：

由图象可得：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]． 故答案为：[－1,1].

1例3．已知函数y3x1.

（1）作出该函数的图象； （2）由图象指出函数的单调区间．

1【解析】（1）y3xx11x1，x1，其图象由两部分组成： 3x13，x1x1向左平移11一部分是：y(x0) ――→y1个单位

33(x1)；

另一部分是：y3(x0) ――→y31个单位

x向左平移

x1(x1)，函数图象如图所示：

（2）由图象知函数的单调递增区间是(－∞，－1]，单调递减区间是(－1，＋∞)． 【方法点睛】指数函数图象的画法及应用

1

－1，. (1)画指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，a

(2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．

(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解． 考点三 指数函数的性质及应用

例4．已知a＝3π，b＝eπ，c＝e3，则a，b，c的大小关系为________．

【解析】由y＝ex是增函数，得b＝eπ＞c＝e3，由y＝xπ是增函数，得a＝3π＞b＝eπ，故c＜b＜a. 故答案为：c＜b＜a.

例5． 设a,b352522,c，则a,b,c的大小关系为________． 553525【解析】对于函数y()x，在其定义域上是减函数，

253222，，即bc. 5555在同一平面直角坐标系中画出函数y()x和函数y()x的图象，可知∴bca. 故答案为：bca.

3525352535252，即ac. 525x22,x2例6． 若函数fx的最小值为f(2)，则实数a的取值范围为________．

log2(xa),x2【解析】当x2时， f(x)2∴f(x)的最小值为f(2)1

x222x，单调递减.

当x＞2时， f(x)log2xa单调递增，若满足题意，只需log2xa1恒成立，即xa2恒成立.

∴a(2x)max ∴a≥0.

+. 故答案为：0，例7． 如果函数y＝a2x＋2ax－1(a＞0，a≠1)在区间[－1,1]上的最大值为14，则a的值为________． 【解析】令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2. 1

当a＞1时，因为x∈[－1,1]，所以t∈a，a. 1又∵函数y＝(t＋1)2－2在a，a上单调递增， ∴ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(负值舍去)． 1

a，. 当0＜a＜1时，因为x∈[－1,1]，所以t∈a1

a，上单调递增， 又∵函数y＝(t＋1)2－2在a121

＋1－2＝14，解得a＝(负值舍去)． ∴ymax＝a31

综上，a＝3或a＝. 31

故答案为：3或3. (2a)x1， x1例8．已知函数f(x)x满足对任意x1＜x2，都有f (x1)＜f (x2)成立，那么实数a的取

a， x1值范围是________．

【解析】∵函数f (x)满足对任意x1＜x2，都有f (x1)＜f (x2)成立 ∴函数f (x)在定义域上是增函数

a＞1，

a＞1，∴即

32－a＋1≤a，a≥2，2－a＞0，

a＜2，

3

∴≤a＜2. 23

故答案为：2，2.

例9．已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常数且a＞0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)． （1）试确定f(x)；

1x1x（2）若不等式a＋b－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围． 【解析】(1)∵f (x)＝b·ax的图象过点A(1,6)，B(3,24)

a＝6， ①b·∴3，即②÷①得a2＝4. b·a＝24， ②

又∵a＞0且a≠1 ∴a＝2，b＝3 ∴f (x)＝3·2x.

1x1x

1x＋1x在(－∞，1]上恒成立． （2）由（1）知＋－m≥0在(－∞，1]上恒成立可转化为m≤ab231x1x

令g(x)＝2＋3，则g(x)在(－∞，1]上单调递减. 115∴m ≤ g(x)min＝g(1)＝＋＝. 2365－∞，. 故所求实数m的取值范围是6

【方法点睛】应用指数函数性质的常见3大题型及求解策略

题型 比较幂值的大小 简单指数不等式 指数型函数的性质 求解策略 (1)能化成同底数的先化成同底数幂再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小 先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解 与探究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致 注意：在探究指数型函数的单调性时，当底数与“1”的大小关系不明确时，要分类讨论．

【名校新题】

一、填空题

1．（2019·扬州期中考试）函数 的定义域为_______． 【解析】由二次根式有意义，得： ，即 . ∵ 在R上是增函数 ∴x2，即定义域为： . 故答案为： .

2．（2019·清江中学第二次调研）函数 的定义域为_____________. 【解析】由题得 >0，则

.

∴函数的定义域为 ， 故答案为： .

3．（2019·海门第二次调研）设 且 集合 若 则

______. 【解析】∵A B ∴ = ， =-1 ∴b=-2,a=

故答案为： .

x14．（2019·扬州期末考试）已知集合M{2,1,0}，Nx2，则M2xx1

N________．

111【解析】N为不等式2的解集，由指数函数的性质，可得，即x＜-1，

222则M∩N＝2.

故答案为：2．

5．（2018·姜堰中学第一次学情监测）已知函数fx是定义在R上的周期为2的奇函数，当0x1时，

fx8x，则f__________．

311911【解析】由题意f()f()f()832．

33319故答案为：2.

12

6．（2019·苏州中学检测）函数f(x)＝3x＋1的值域为________．

1u2【解析】令u＝x2＋1，可得f(u)＝是减函数，而u＝x＋1的值域为[1，＋∞). 312

0，1. ∴函数f(x)＝x＋1的值域为331

0，. 故答案为：3

1x2－2x＋6

7．（2019·无锡调研）函数f (x)＝的单调递增区间是________． 2

【解析】设u(x)＝x2－2x＋6＝(x－1)2＋5，对称轴为x＝1，则u(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.

1x又∵y＝2在R上单调递减

1 x2－2x＋6∴f (x)＝在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． 2故答案为：(－∞，1).

1x－38．（2018·启东中学检测）满足4＞16的x的取值范围是________． 1x－3【解析】∵4＞16 1x－31－2

∴4＞4

1x∵函数y＝4在定义域上是减函数 ∴x－3＜－2，即x＜1. 故答案为：(－∞，1).

a－9．（2019·徐州调研）若函数f (x)＝ax1(a＞1)在区间[2,3]上的最大值比最小值大，则a＝________.

2

【解析】∵函数f (x)＝ax1(a＞1)在区间[2,3]上为增函数

－

∴f (x)max＝f (3)＝a2，f (x)min＝f(2)＝a. a3

由题意可得a2－a＝，解得a＝. 223

故答案为：. 2

2x2，x110．（2019·苏州5月调研）已知函数f(x)，若f[f(0)]2，则实数a的值是

loga(x1)，x1_______．

【解析】∵f(0)223 ∴f[f(0)]f(3)loga2 ∵f[f(0)]2 ∴loga22 ∵a0 ∴a＝2 故答案为：2. 二、解答题

11．（2019·盐城期中）已知 的值域为集合A， 定义域为集合B，其中 ． （1）当 ，求 ；

（2）设全集为R，若 ，求实数 的取值范围． 【解析】（1）

若 则 或

若 则 或 ，此时 成立. 综上所述，实数 的取值范围为 . 12．（2018·苏州调研）已知函数f(x)＝3x＋λ·3x(λ∈R)．

－

0（1）若f(x)为奇函数，求λ的值和此时不等式f(x)＞1的解集； （2）若不等式f(x)≤6对x∈[0,2]恒成立，求实数λ的取值范围． 【解析】（1）函数f(x)＝3x＋λ·3x的定义域为R.

－

∵f(x)为奇函数

∴f (－x)＋f (x)＝0对∀x∈R恒成立， 即3x＋λ·3x＋3x＋λ·3x＝(λ＋1)(3x＋3x)＝0对∀x∈R恒成立.

－

－

－

∴λ＝－1

1＋51－5－

由f(x)＝3x－3x＞1，得(3x)2－3x－1＞0，解得3x＞或3x＜(舍去)

22

1＋5

. ∴不等式f(x)＞1的解集为xx＞log3

2

λ－

（2）由f(x)≤6，得3x＋λ·3x≤6，即3x＋x≤6.

3

λ

令t＝3x∈[1,9]，则问题等价于t＋≤6对t∈[1,9]恒成立，即λ≤－t2＋6t对t∈[1,9]恒成立.

t令g(t)＝－t2＋6t，t∈[1,9].

∵g(t)在[1,3]上单调递增，在[3,9]上单调递减， ∴当t＝9时，g(t)有最小值g(9)＝－27， ∴λ≤－27，即实数λ的取值范围为(－∞，－27]．

13．（2018·南京调研）已知二次函数f(x)＝mx2－2x－3，关于实数x的不等式f(x)≤0的解集为[－1，n]． （1）当a≥0时，解关于x的不等式ax2＋n＋1＞(m＋1)x＋2ax；

9＋

（2）是否存在实数a∈(0,1)，使得关于x的函数y＝f(ax)－3ax1在x∈[1,2]上的最小值为－？若存在，求2实数a的值；若不存在，请说明理由．

【解析】（1）由f(x)＝mx2－2x－3≤0的解集为[－1，n]知，关于x的方程mx2－2x－3＝0的两根为－1和n，



且m＞0，则



m＝1，∴ n＝3.

2

－1＋n＝，m3

－1×n＝－，m

∴原不等式可化为(x－2)(ax－2)＞0.

①当a＝0时，原不等式化为(x－2)×(－2)＞0，解得x＜2；

x－2＞0，且2＜2，解得x＞2或x＜2； ②当0＜a＜1时，原不等式化为(x－2)·aaa

③当a＝1时，原不等式化为(x－2)2＞0，解得x∈R且x≠2；

x－2＞0，且2＞2，解得x＜2或x＞2. ④当a＞1时，原不等式化为(x－2)·aaa

综上所述，当a＝0时，原不等式的解集为{x|x＜2}； 2

x＞或x＜2； 当0＜a≤1时，原不等式的解集为xa





2

x＞2或x＜. 当a＞1时，原不等式的解集为xa





（2）假设存在满足条件的实数a.

由（1）知f(x)＝x2－2x－3，y＝f(ax)－3ax1＝a2x－(3a＋2)ax－3.

＋

3a＋2

令ax＝t，a2≤t≤a，则y＝t2－(3a＋2)t－3，此函数图象的对称轴为t＝. 2∵a∈(0,1)

3a＋25

∴a2＜a＜1,1＜＜，

22

∴函数y＝t2－(3a＋2)t－3在[a2，a]上单调递减

9

∴当t＝a时，y取得最小值，最小值为y＝－2a2－2a－3＝－ 231

∴a＝－(舍去)或a＝.

22

1

故存在满足条件的a，a的值为.

2

14．（2018·盐城中学期末）已经函数fxx23x3ex的定义域为2,t，设

f2m,ftn

（1）试确定t的取值范围，使得函数fx在2,t上为单调函数 （2）求证：mn （3）若不等式

fxex7x2kxlnx1（为k正整数）对任意正实数x恒成立，求k的最大值.（解答

过程可参考使用以下数据ln71.95,ln82.08）

【解析】（1）因为fxx23x3exxx1ex. 令fx0,得:x1或x0；令fx0，得:0x1. ∴fx在,0,1,上递增，在0,1上递减.

要使fx在2,t为单调函数，则2t0. ∴t的取值范围为2,0

（2）证明：∵fx在,0,1,上递增，在0,1上递减 ∴fx在x1处取得权小值e 又∵f213e 2e∴fx在2,的最小值为f2，从而当t2时， f2ft，即mn. （3）

fxex7x2kxlnx1等价于x24x1kxlnx1，即xk14klnx0. x记gxxk1kx1xk1k1. 4klnx，则gx122xxxx由gx0 得xk1.

∴gx在0,k1上单调递减，在k1,上单调递增 ∴gxgk1k6klnk1

∴gx0对任意正实数x恒成立，等价于k6klnk10，即1记hx16lnk10 k661lnk1，则hx20 kxx1∴hx在0,上单调递减， 又∵h62ln70,h7∴k的最大值为6

13ln80 7