高中物理 专题6.4 万有引力理论的成就(讲)(提升版)(含解析)新人教版必修2

※知识点一、计算地球的质量 1．原理

若不考虑地球自转的影响，地面上质量为m的物体所受的重力近似等于地球对物体的引力。 2．关系式：mg3．结果

GMm R2gR25.961024kg 地球的质量为：MG★思考讨论

卡文迪许在实验室测量出了引力常量G的值，从而“称量”出了地球的质量，你知道他是怎样“称量”地球质量的吗？

★特别提醒

gR2

1．利用M＝“称量”地球质量的方法可以推广到其他天体(如月球)质量的确定，只不过RG应是该天体的半径，g应是该天体表面的重力加速度．

2．在用万有引力等于向心力列式求天体的质量时，只能求出中心天体的质量，而不能求出环绕天体的质量．

【典型例题】

【例题1】1789年英国著名物理学家卡文迪许首先估算出了地球的平均密度．根据你学过的知识，能否知道地球密度的大小． 【审题指导】

本题实际是要求进行估算，因而如何挖掘题目中的隐含条件是关键．而我们学过的知识中能与地球质量、密度相联系的应首先想到万有引力定律，何况题设中提到了“卡文迪许”呢． 【答案】5.5×10 kg/m

【解析]】 设地球质量为M，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，忽略地球自转的影响，根据万有引力定律得g＝2 3

3

GMR ①

1

※知识点二、计算天体的质量 1．计算太阳的质量

(1)原理：将行星的运动近似看做匀速圆周运动，行星做圆周运动的向心力由万有引力来提供。

Mmmv22mr2m()2r (2)关系式：G2rrT42r3(3)结果： M

GT22．其他行星的质量计算

利用绕行星运转的卫星，若测出该卫星与行星间的距离和转动周期，同样可得出行星的质量。 一、天体质量和密度的计算

情景及求解思路 结果 Mm①已知所求星体的半径R及其表面的重力加速度g，则G2＝mg R天体质量的计算 gR2M＝ Grv2①M＝ Gr3ω2②M＝ G4πr③M＝2 23②质量为m的行星绕所求星体做匀速圆周运动，万有引力提供行星所需Mmv22π22的向心力，即G2＝m＝mωr＝m()r rrTGT3πrρ＝23 3GTR天体密度的计算 ρ＝＝ V43πR3MM当星球绕中心天体表面运行时，r＝R： 3πρ＝2 GT★特别提醒 (1)利用万有引力提供向心力的方法只能求解中心天体的质量，而不能求出做圆周运动的行星或卫星的质量。

2

(2)要注意R、r的区分。R指中心天体的半径，r指行星或卫星的轨道半径。 二、天体运动的分析与计算

利有万有引力定律解决天体运动的基本方法 (1)掌握一个模型

天体(包括卫星)的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型。 (2)记住两组公式

2

Mmv24π2

G2＝m＝mωr＝m2r＝ma rrTGMmmg＝2(g为星体表面处的重力加速度)

R即GM＝Rg，该公式通常被称黄金代换。 (3)理解四个重要的物理量 ①线速度v

2

Mmv2

由G2＝m得v＝

rrGM， r可见，r越大，v越小；r越小，v越大。 ②角速度ω

由G2＝mωr得ω＝ Mmr2

GM， r3

可见，r越大，ω越小；r越小，ω越大。 ③周期T

Mm2π2

由G2＝mr得T＝2π

rT

r3， GM可见，r越大，T越大；r越小，T越小。 ④向心加速度an 由G2＝man得an＝2，

可见，r越大，an越小；r越小，an越大。

利用上述结论可以对行星运动的线速度v、角速度ω、周期T以及向心加速度an等进行定性分析，也可以进行定量计算。

三、应用万有引力定律分析计算天体运动的问题 1．两条思路

(1)万有引力提供天体运动的向心力

质量为m的行星绕质量为M的星体在半径为r的轨道上做匀速圆周运动时，由牛顿第二定律及

MmrGMrMmv22π22

圆周运动知识得G2＝man＝m＝mωr＝m()r。

rrT(2)黄金替换

3

质量为m的物体在地球(星体)表面受到的万有引力等于其重力，即G2＝mg。可以得到：GM＝

MmRgR2

由于G和M(地球质量)这两个参数往往不易记住，而g和R容易记住。所以粗略计算时，一般都采用上述代换，这就避开了万有引力常量G值和地球的质量M值，非常方便。 【典型例题】

【例题2】已知万有引力常量是G，地球半径R，月球和地球之间的距离r，同步卫星距地面的高度h，月球绕地球的运转周期T1，地球的自转周期T2，地球表面的重力加速度g.某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M的方法：

23

Mm2π24πh同步卫星绕地心做圆周运动，由G2＝m()h得M＝.

hTGT2(1)请判断上面的结果是否正确，并说明理由．如不正确，请给出正确的解法和结果． (2)请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果． 【审题指导】

1.同步卫星是指和地球自转周期相同的卫星，其特点是相对地面静止．同步卫星做圆周运动的轨道半径为卫星到地心的距离．

2．利用地球半径和地面的重力加速度可计算地球质量． 3．利用月球绕地球做匀速圆周运动可计算地球质量． 【答案】 (1)不正确 M＝

4π

2

R＋hGT22

3

4πrgR (2)M＝ 2或M＝

232

GT1G

【针对训练】1976年10月，剑桥大学研究生贝尔偶尔发现在星空中有一个奇怪的放射电源，它每隔1．337s发出一个脉冲讯号。贝尔和他的导师曾认为他们和外星人接上了头，后来大家认识到，事情没有那么浪漫，这类天体被定名为“脉冲星”，“脉冲星”的特点是脉冲周期短，且周期高度稳定，这意味着脉冲星一定进行准确的周期运动，自转就是一种很准确的周期运动。 已知蟹状星云的中心星PS0531是一颗脉冲星，其周期为0.331s，PS0531的脉冲现象来自自转，设阻止该星离心瓦解的力是万有引力，估计PS0531的最小密度 【答案】1．3×10kg/m

4

12

3

【解析】脉冲星周期即为自转周期。脉冲星高速自转不瓦解的临界条件为：该星球表面的某块物质m所受星体的万有引力恰等于向心力。

设PS0531脉冲星的质量为M，半径为R，最小密度为ρ，体积为V。

Mm4π2

则：G2＝m2R

RTM43

又ρ＝，而V＝πR，解得：

V3

3π3×3.143123

ρ＝2＝－112kg/m≈1．3×10kg/m

GT6.67×10×0.331※知识点三、发现未知天体 1．海王星的发现

英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道。1846年9月23日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。 2．其他天体的发现

近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体。 ★思考讨论

1．哪颗行星被称为“笔尖上发现的行星”？ 提示：“笔尖上发现的行星”是海王星．

2．海王星、冥王星的发现在物理学史上具有什么样的价值？

提示：海王星、冥王星的发现最终确立了万有引力定律的地位，也成为科学史上的美谈．

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