中考压轴题2 二次函数综合共10页

就组成了函数ƒ的图象。

（1）若点A的坐标为（1，0）。

①求抛物线l的表达式，并直接写出当x为何值时，函数ƒ的值y随x的增大而增大； ②如图2，若过A点的直线交函数ƒ的图象于另外两点P，Q，且S△ABQ=2S△ABP，求点P的坐标；

（2）当2＜x＜3时，若函数f的值随x的增大而增大，直接写出h的取值范围。

2. 已知直线y=2x+m与抛物线y=ax+ax+b有一个公共点M（1，0），且a＜b．

2

（Ⅰ）求抛物线顶点Q的坐标（用含a的代数式表示）； （Ⅱ）说明直线与抛物线有两个交点； （Ⅲ）直线与抛物线的另一个交点记为N．

（ⅰ）若﹣1≤a≤﹣，求线段MN长度的取值范围； （ⅱ）求△QMN面积的最小值．

3. 如图，已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点B(-2,0)，点C(8,0)，与y轴交于点A.

(1)求二次函数y=ax2+bx+4的表达式；

(2)连接AC,AB，若点N在线段BC上运动(不与点B，C重合)，过点N作NM∥AC，交AB于点M，

当△AMN面积最大时，求N点的坐标；

(3)连接OM，在(2)的结论下，求OM与AC的数量关系.

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y A M B O

N C 2

x

4. 如图，抛物线y=ax+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C；

（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；

（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC=S△ABD？若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；

（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长．

5. 已知抛物线y1=ax+bx-4（a≠0）与x轴交于点A（-1，0）和点B（4，0）．

2

（1）求抛物线y1的函数解析式；

（2）如图①，将抛物线y1沿x轴翻折得到抛物线y2，抛物线y2与y轴交于点C，点D是线段BC上的一个动点，过点D作DE∥y轴交抛物线y1于点E，求线段DE的长度的最大值；21（3）在（2）的条件下，当线段DE处于长度最大值位置时，作线段BC的垂直平分线交DE于点F，垂足为H，点P是抛物线y2上一动点，⊙P与直线BC相切，且S⊙P：S△DFH=2π，求满足条件的所有点P的坐标．

6. 如图，已知抛物线y=ax﹣2

2

ax﹣9a与坐标轴交于A，B，C三点，其中C（0，3），∠BAC

的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N．

（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；

（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P的坐标； （3）证明：当直线l绕点D旋转时，

+

均为定值，并求出该定值．

2

7. 我们知道，经过原点的抛物线可以用y=ax+bx（a≠0）表示，对于这样的抛物线：

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（1）当抛物线经过点（﹣2，0）和（﹣1，3）时，求抛物线的表达式； （2）当抛物线的顶点在直线y=﹣2x上时，求b的值；

（3）如图，现有一组这样的抛物线，它们的顶点A1、A2、…，An在直线y=﹣2x上，横坐标依次为﹣1，﹣2，﹣3，…，﹣n（n为正整数，且n≤12），分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为B1、B2，…，Bn，以线段AnBn为边向左作正方形AnBnCnDn，如果这组抛物线中的某一条经过点Dn，求此时满足条件的正方形AnBnCnDn的边长．21教育网

8. 如图，已知直角坐标系中，A、B、D三点的坐标分别为A（8，0），B（0，4），D（﹣1，

0），点C与点B关于x轴对称，连接AB、AC． （1）求过A、B、D三点的抛物线的解析式；

（2）有一动点E从原点O出发，以每秒2个单位的速度向右运动，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点P，交线段CA于点M，连接PA、PB，设点E运动的时间为t（0＜t＜4）秒，求四边形PBCA的面积S与t的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；

（3）抛物线的对称轴上是否存在一点H，使得△ABH是直角三角形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由

9. 如图，直线y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣x+bx+c

2

经过点A，B．

（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；

（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．

①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标； ②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．

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10. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=x+bx+c交x轴于A、B两点，

2

交y轴于点C，直线y=x﹣3经过B、C两点． （1）求抛物线的解析式；

（2）过点C作直线CD⊥y轴交抛物线于另一点D，点P是直线CD下方抛物线上的一个动点，且在抛物线对称轴的右侧，过点P作PE⊥x轴于点E，PE交CD于点F，交BC于点M，连接AC，过点M作MN⊥AC于点N，设点P的横坐标为t，线段MN的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，连接PC，过点B作BQ⊥PC于点Q（点Q在线段PC上），BQ交CD于点T，连接OQ交CD于点S，当ST=TD时，求线段MN的长．

11. 在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+1交y轴于点B，交x轴于点A，抛物线y=﹣x+bx+c

2

经过点B，与直线y=﹣+1交于点C（4，﹣2）． （1）求抛物线的解析式；

（2）如图，横坐标为m的点M在直线BC上方的抛物线上，过点M作ME∥y轴交直线BC于点E，以ME为直径的圆交直线BC于另一点D，当点E在x轴上时，求△DEM的周长．

（3）将△AOB绕坐标平面内的某一点按顺时针方向旋转90°，得到△A1O1B1，点A，O，B的对

应点分别是点A1，O1，B1，若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的坐标．12. 如图，抛物线y=x+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于

2

点D，交x轴于点E，已知OB=OC=6． （1）求抛物线的解析式及点D的坐标；

（2）连接BD，F为抛物线上一动点，当∠FAB=∠EDB时，求点F的坐标；

（3）平行于x轴的直线交抛物线于M、N两点，以线段MN为对角线作菱形MPNQ，当点P在x轴上，且PQ=MN时，求菱形对角线MN的长．

13. 如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为（10，0），抛物线y=ax+bx+4过点B，

2

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C两点，且与x轴的一个交点为D（﹣2，0），点P是线段CB上的动点，设CP=t（0＜t＜10）．

（1）请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；

（2）过点P作PE⊥BC，交抛物线于点E，连接BE，当t为何值时，∠PBE=∠OCD？ （3）点Q是x轴上的动点，过点P作PM∥BQ，交CQ于点M，作PN∥CQ，交BQ于点N，当四边形PMQN为正方形时，请求出t的值．

14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B两点的坐标分别为（﹣4，0），（4，0），C

（m，0）是线段A B上一点（与 A，B点不重合），抛物线L1：y=ax2+b1x+c1（a＜0）经过点A，C，顶点为D，抛物线L2：y=ax2+b2x+c2（a＜0）经过点C，B，顶点为E，AD，BE的延长线相交于点F．

（1）若a=﹣，m=﹣1，求抛物线L1，L2的解析式； （2）若a=﹣1，AF⊥BF，求m的值；

（3）是否存在这样的实数a（a＜0），无论m取何值，直线AF与BF都不可能互相垂直？若存在，请直接写出a的两个不同的值；若不存在，请说明理由．

15. 如图，某日的钱塘江观潮信息如表：

按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地之间的距离s（千米）与时间t（分钟）的函数关系用图3表示，其中：“11：40时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点A（0，12），点B坐标为（m，0），曲线BC可用二次函数s=世纪教育网版权所有

（1）求m的值，并求出潮头从甲地到乙地的速度；

（2）11：59时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以0.48千米/分的速度往甲地方向去看潮，问她几分钟后与潮头相遇？

（3）相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀

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t+bt+c（b，c是常数）刻画．21

2

加速，而单车最高速度为0.48千米/分，小红逐渐落后，问小红与潮头相遇到落后潮头1.8千米共需多长时间？（潮水加速阶段速度v=v0+

（t﹣30），v0是加速前的速度）．

16. 在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根，比如对于方程

，操作步骤是：

第一步：根据方程系数特征，确定一对固定点A（0，1），B（5，2）;

第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A，另一条直角边恒过点B；

第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x轴上点C处时，点C 的横坐标m即为该方程的一个实数根（如图1）

第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x轴上另一点D处时，点D 的横坐标为n即为该方程的另一个实数根。

(1)在图2 中，按照“第四步“的操作方法作出点D（请保留作出点D时直角三角板两条直角边的痕迹）

(2)结合图1，请证明“第三步”操作得到的m就是方程

的一个实数根；

(3)上述操作的关键是确定两个固定点的位置，若要以此方法找到一元二次方程

的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；

(4)实际上，（3）中的固定点有无数对，一般地,当 ， ， 怎样的关系时，点P（ ， ），Q（

， 与a，b，c之间满足

， ）就是符合要求的一对固定点？

2

17. 如图所示，顶点为（，﹣）的抛物线y=ax+bx+c过点M（2，0）．

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（1）求抛物线的解析式；

（2）点A是抛物线与x轴的交点（不与点M重合），点B是抛物线与y轴的交点，点C是直线y=x+1上一点（处于x轴下方），点D是反比例函数y=（k＞0）图象上一点，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，求k的值．

18. 如图1，直线y=x+1与抛物线y=2x相交于A、B两点，与y轴交于点M，M、N关于x轴对

2

称，连接AN、BN．

（1）①求A、B的坐标；②求证：∠ANM=∠BNM；

（2）如图2，将题中直线y=x+1变为y=kx+b（b＞0），抛物线y=2x变为y=ax（a＞0），其他条件不变，那么∠ANM=∠BNM是否仍然成立？请说明理由．

19. 已知二次函数y=﹣x+bx+c+1，

2

2

2

①当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程；

②若c=b2﹣2b，问：b为何值时，二次函数的图象与x轴相切？

③若二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，与y轴的正半轴交于点M，以AB为直径的半圆恰好过点M，二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F，且满足

DE1，求二次函数的表达式． EF31420. 定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时，它们对应的函数值互

为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例

x1x0如：一次函数y=x﹣1，它们的相关函数为y=．

x1x0（1）已知点A（﹣5，8）在一次函数y=ax﹣3的相关函数的图象上，求a的值；

（2）已知二次函数y=﹣x2+4x﹣．①当点B（m，）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值；

②当﹣3≤x≤3时，求函数y=﹣x2+4x﹣的相关函数的最大值和最小值；

（3）在平面直角坐标系中，点M，N的坐标分别为（﹣，1），（，1}），连结MN．直接

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1292121232写出线段MN与二次函数y=﹣x+4x+n的相关函数的图象有两个公共点时n的取值范围．

21. 《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：

2

【问题】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x﹣2）﹣经过原点O，与x轴的另一个交点为A，则a=

．

2

【操作】将图①中抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G，如图②．直接写出图象G对应的函数解析式． 【探究】在图②中，过点B（0，1）作直线l平行于x轴，与图象G的交点从左至右依次为点C，D，E，F，如图③．求图象G在直线l上方的部分对应的函数y随x增大而增大时x的取值范围．

【应用】P是图③中图象G上一点，其横坐标为m，连接PD，PE．直接写出△PDE的面积不小于1时m的取值范围．

22. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax+bx+c的开口向上，且经过点A（0，）

2

（1）若此抛物线经过点B（2，﹣），且与x轴相交于点E，F． ①填空：b= ﹣2a﹣1 （用含a的代数式表示）； ②当EF的值最小时，求抛物线的解析式；

（2）若a=，当0＜x＜1，抛物线上的点到x轴距离的最大值为3时，求b的值．

23. 如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y323xx83与x轴正半轴交1232

于点A，与y轴交于点B，连接AB，点M,N分别是OA,AB的中点.RtCDERtABO，且CDE始终保持边ED经过点M，边CD经过点N，边DE与y轴交于点H，边CD与y轴交于点G. （1）填空，OA的长是 ，ABO的度数是 度 （2）如图2，当DE//AB，连接HN

①求证：四边形AMHN是平行四边形；

②判断点D是否在抛物线的对称轴上，并说明理由；

（3）如图3，当边CD经过点O时（此时点O与点G重合），过点D作DO//OB，交AB延长线上于点O，延长ED到点K，使DKDN，过点K作KI//OB，在KI上取一点P，使得PDK45第 8 页

（若P,O在直线ED的同侧），连接PO，请直接写出的PO长.21教育名师原创作品 ．．

24. 如图，已知抛物线y=﹣x+bx+c与y轴相交于点A（0，3），与x正半轴相交于点B，对

2

称轴是直线x=1

（1）求此抛物线的解析式以及点B的坐标．

（2）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M、N同时停止运动．过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒． ①当t为何值时，四边形OMPN为矩形．

②当t＞0时，△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

25. 抛物线y=4x﹣2ax+b与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2）两点，与y轴交

2

于点C．

（1）设AB=2，tan∠ABC=4，求该抛物线的解析式；

（2）在（1）中，若点D为直线BC下方抛物线上一动点，当△BCD的面积最大时，求点D的坐标；

（3）是否存在整数a，b使得1＜x1＜2和1＜x2＜2同时成立，请证明你的结论．

26. 如图，已知抛物线y=ax+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）点M、N为抛物

2

线上的动点，过点M作MD∥y轴，交直线BC于点D，交x轴于点E． （1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；

（2）过点N作NF⊥x轴，垂足为点F，若四边形MNFE为正方形（此处限定点M在对称轴的右侧），求该正方形的面积；

（3）若∠DMN=90°，MD=MN，求点M的横坐标．

27. 如图，抛物线y=﹣x+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），

点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．

2

（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；

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（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；

（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标． 希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：

1、上帝说：你要什么便取什么，但是要付出相当的代价。

2、目标的坚定是性格中最必要的力量源泉之一，也是成功的利器之一。没有它，天才会在矛盾无定的迷径中徒劳无功。

3、当你无法从一楼蹦到三楼时，不要忘记走楼梯。要记住伟大的成功往往不是一蹴而就的，必须学会分解你的目标，逐步实施。

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