２０１１年４月 西北工业大学学报 ・ Ａｐｒ． ２０１１ 第２９卷第２期 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｎｏｒｔｈｗｅｓｔｅｒｎ Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｖｏ１．２９ Ｎｏ．２ 基于支持向量机的鲁棒波束形成 林关成，李亚安，金贝利 （西北工业大学航海学院，陕西西安７１００７２） 摘 要：针对传统的最优波束形成对基阵的微小扰动非常敏感，使得最优波束形成器在导向向量存在 误差时性能下降。为了改善最优波束形成器的鲁棒性，在对基于结构风险最小化原理的支持向量机 （Ｓｕｐｐｏ￣Ｖｅｃｔｏｒ Ｍａｃｈｉｎｅ，ＳＶＭ）算法分析的基础上，通过纳入附加的不等式约束来修改传统的线性约 束最小方差价值函数，提出基于支持向量机的鲁棒波束形成方法。同时，为了减轻二次规划技术所带 来的高计算成本，凸优化过程采用迭代重加权最小二乘算法来实现。与传统的最优波束形成算法相 比，新方法能够提高最优波束形成对误差的鲁棒性。数值仿真实验表明：在无失配的理想情形和有失 配的实际情形下，基于支持向量机的波束形成算法在期望信号阵列响应误差方面增加了鲁棒性，特别 是在高信噪比或干扰信号数目较多的情况下，取得了满意的效果，为提高波束形成器的鲁棒性提供了 一种新的有效途径。 关键词：波束形成，阵列，信噪比，支持向量机，鲁棒性 文献标识码：Ａ 文章编号：１０００－２７５８（２０１１）０２－０２５１－０６ 机（Ｓｕｐｐｏ￣Ｖｅｃｔｏｒ Ｍａｃｈｉｎｅ）算法 进行分析比较， 中图分类号：ＴＰ２７３．２３ 波束形成是阵列信号处理的重要组成部分，它 在雷达、声纳以及无线通信等领域得到了广泛应用。 随着优化算法的发展，最优波束形成能够获得高于 常规波束形成的阵增益，能根据接收数据不断更新 通过纳入附加的不等式约束来改写最小方差波束形 成问题，提出一种基于支持向量机的鲁棒波束形成 方法，为提高波束形成器的鲁棒性提供一种新的 途径。 加权向量，使波束形成器的响应收敛到一个统计最 优的解，具有较好的方位分辨力和较强的干扰抑制 能力。由于阵元位置误差和通道误差等原因造成假 定的信号方向响应向量与实际失配，这使得最优波 束形成器的性能严重下降。另一方面，在大多数情 况下，观测数据中往往含有信号成分，由此所构成的 数据协方差矩阵会使最优波束形成器的性能对方向 １ 阵列波束形成的信号模型 考虑一个有 个阵元，且阵元间距为ｄ的均匀 线列阵，其窄带波束形成器的输出为 Ｙ（ｋ）＝’．，“ （｜ｊ｝） （１） 向量失配变得异常敏感¨Ｊ，尤其在信噪比较高时其 性能下降更为严重。 为了减小最优波束形成对各种误差失配引起的 性能下降，近年来出现了大量的方法来提高最优波 束形成的鲁棒性 ｌ３ Ｊ。最常用的鲁棒波束形成方法 式中 （ｋ）＝［ ，（ｋ），…，ｘＭ（｜ｉ｝）］ ∈Ｃ 是阵列观 测值的复向量，ｗ＝［Ｗ 一，ＷＭ］ ∈Ｃ 是波束形 成器的复加权向量，（・） 和（・）“分别表示矩阵的 转置和共轭转置。则在瞬时时间ｋ的观测值向量表 示为 （ ）＝ （后）＋ （尼）＋ （后） Ｎｉ 是对角加载波束形成 ，即对数据协方差矩阵的对 角元素另外附加一定的值。但常规对角加载方法却 无法根据失配的大小获得最优的对角加载量。 因此，对基于结构风险最小化原理的支持向量 收稿日期：２０１０－０６－０３ ＝ｓ（ ）口（ ）＋∑ｉｊ（ｋ）ａ（Ｏｊ）＋Ｊｌ（ ）（２） 基金项目：声纳技术国防重点实验室基金资助 作者简介：林关成（１９７４一），西北工业大学博士研究生，主要从事信号与信息处理的研究。 ・２５２・ 西北工业大学学报 第２９卷 式中 为干扰信号的个数，ｓ（ｋ）和 （ｋ）分别是信 号和干扰的符号采样，０ 和 ， ＝１，…， 分别是信 号和干扰的到达角，相应的阵列流形向量是ａ（０ ） 和口（ ）。 变换为：＇．，“Ｒ ｗ： 天 。相应地，信号模型中的参 数也要进行重新定义。 通过最小化波束形成器的输出功率，可以得到 ｍｉｎ 袁 假定Ｒ 是阵列快拍向量的Ｍ×Ｍ的理想协方 差正定矩阵，其形式如下 Ｎｉ Ｒ ＝ 口（ ）ａ（ ）“＋∑ｔＪ Ｉ ｒ￣ａ（Ｏｊ）ａ（Ｏｊ）“＋Ｑ （３） 式中 和 ， ＝１，…， 分别是信号ｓ（ｋ）￣ｉｊ（ｋ） 的能量谱，Ｑ是噪声协方差矩阵。在实际应用中，理 想的协方差矩阵不可能得到，因此常用样本协方差 矩阵詹来代替 １ Ⅳ 食 ＝ （Ｉｉ｝） （后）“ （４） 式中Ⅳ为观测到的快拍个数。 线性约束最小方差波束形成器的经典方法是在 期望的波达方向线性约束条件下最小化阵列的输出 功率，即 ｍｉｎ’．，“Ｒ ｗ ｓ．ｔ．Ｗ“ａ（ ＝ｇ （５） 式中复常数ｇ在期望的波达方向决定了阵列的 响应。 ２基于支持向量机的阵列鲁棒波束 形成 ２．１支持向量机鲁棒价值函数 为了增加在感兴趣的信号（Ｓｉｇｎａｌ Ｏｆ Ｉｎｔｅｒｅｓｔ， ＳＯＩ）方向向量失配时的鲁棒性，通过引入附加不等 式约束的价值函数来修改常规最小方差波束形成问 题，由此所产生的价值函数等价于支持向量机回归 的形式。 假定一个正侧向信号的到达角为０ ，ｉ＝１，…， Ｐ，其采样波束图在［一９０。，９０。］。以ＳＯＩ的波达方向 为中心，定义一个主瓣波束宽度为２Ａ的角。则期 望波束形成器的响应为 ， ＩＲｅ（ｇ）＋ｊＩｍ（ｇ）， １ ０ 一０ Ｉ≤△… ｄ １ ０‘ｂ ， Ｉ． 一 ｌ＞△式中△为可能的信号失配误差，Ｒｅ（．）和Ｉｍ（．）分 别代表一个标量、向量或矩阵的实部和虚部。 为了应用所提出的新方法，必须对优化问题在 实变量条件下进行重新改写。为此，阵列的输出功率 （ ）一ｄ￡≤占 ｊ一 （ｉ）≤ （７） 上式中 为一个正常数 ＝［Ｒｅ（＇．， ）Ｉｍ（ｗ ）］， 【Ｌ ）ＲＩｍｅ（Ｒ， Ｒ；－ Ｉｅｍ（（ＲＲ ￣） Ｊ ‘，：｛ ， ２Ｐ， １ ｆＲｅ（ｄｉ）， ｉ＝１，…，Ｐ 。 Ｊｉｍ（ｄ ），ｉ＝Ｐ＋１，…，２Ｐ。 为了避免上述优化问题无解，引人正松驰变量 和量后，最小化问题可变为 ＝÷ 蠢 ＋ｃ∑［（ ） ＋（ ） ］ 面（ ）一ｄｆ≤ ＋ ｄ 一 霜（ ）≤ ＋ ， ≥０ （８） 上式中ｃ≥０是在输出功率和惩罚失配大于８之间 的一个折衷常数；松驰变量的指数ｍ表示可以施加 线性或二次的惩罚。 上述优化问题可以转化为 １ ２｜ｐ ｍ ｉｎ Ｊ＝寺 ＋ｃ ２ ｌ １ ＬＴ（ｕ ） （９） 上式中“ ＝ｌ 一 面（ｉ）ｌ，约束条件为 ｒ ｒＩ ｕ一占Ｉ ， Ｉ Ｈ Ｉ≥ Ｌ 一１ ０． Ｉ“ｆ＜ 由上可知，前述的优化问题等价于支持向量机 回归，其规一化项 就是Ｖａｐｎｉｋ的 不敏感损失函 数 】。参数ｃ和 的优化值依赖于阵元数、噪声级、 需要的旁瓣级和假定的波达方向（ＤＯＡ）估计误差。 在噪声环境下，当干扰占主导地位时，通过设置较低 的ｃ值来增加算法的抗干扰能力。 ２．２基于支持向量机的最优解 根据统计学习理论 ］，将基于结构风险最小化 原理的支持向量机算法应用于阵列波束形成，在 第２期 林关成等：基于支持向量机的鲁棒波束形成 ・２５３・ ＳＯＩ方向向量中施加不等式约束，同时在期望信号 方向上允许有一定的误差，以此来提高最小方差波 束形成的鲁棒性 。 为了阐述方便，先以线性 不敏感损失函数（即 ｍ＝１）为例来推导最优化问题的解。 （ ，ａ）＝一÷∑∑・． ２Ｐ ２．ｐ ｉ＝ｌ Ｊ＝Ｉ ［（ — ）（ 一 ） （ ） 厅（ ）］一 ２Ｐ ２Ｐ ∑（ａ ＋Ｏｌｉ）＋∑（ａ —Ｏｌｉ） ＋ ｉ＝１ ：１ 通过分析上述支持向量机鲁棒价值函数，最小 化问题（８）等价于在约束条件下寻找．．，，使得由松 ∑（ｌ ａ ） ＋寺∑（一 ） ‘＝Ｉ ２Ｐ 驰变量 和 定义的∑（基＋ ）最小化。要求解 带有不等式约束的优化问题，在约束条件中引入变 量的对偶集后，寻找如下拉格朗日泛函的鞍点 ． １ ～ （ ， ， ， ，ａ， ， ）＝÷ Ｒ 一 ２Ｐ ２Ｐ ∑（１ ｙ ＋亍 手 ）＋Ｇ∑（：１ 十 ）一 ＝２Ｐ ∑ （ｉ＝Ｉ 一 （ ）＋ ＋ ）一 ∑＆ （ （ｉ）一、ｄ 十ｓ＋｝ ） （１ｏ） 式中Ｃ≥０， ≥０，ａ≥０， ≥０， ≥０为拉格朗日 乘子。 对上述拉格朗日泛函关于 ， 和 求其极小 点，得到 ＯＬ＝０ （ ） 厅（ ） ＯＬ＝０ ＝Ｃ一 ， １，…，２Ｐ 差＝０ ＝Ｃ ， 一，２Ｐ…） 将（１１）式各项代人（１０）式中，可以得到 １ ２．ｐ ２Ｐ （ ， ）＝一÷∑∑・ ［（ — ）（ — ） Ｔ（ ） 二＿ ａ（ｊ）］一 ∑（ ｉ＋ ）＋∑（＆ｉ—ＯＬｉ） （１２） 约束条件为：０≤ ｉ， ≤Ｇ。 通过对上述凸泛函式（１２）采用迭代重加权最 ／／￣ｚ．乘（ＩＲＷＬＳ）算法 ｍ 求最大值，可以解得拉格 朗日乘子 和ａ 。 对于二次 不敏感损失函数（即ｍ＝２），其求 解过程类似于线性ｓ不敏感损失函数。推导过程中， 通过最大化如下的凸泛函来求出拉格朗日系数 和ａ．。 根据（１１）式，利用计算得到的拉格朗日系数 和ａ 以及协方差矩阵，就可以获得最优波束形成器 的权向量’．，。因而，波束形成器的复系数形如 Ｗ ＝面（ ）＋ｊ历（ｉ＋ ） ｉ＝１，…， ３仿真实验及结果分析 为了评价所提出的基于ＳＶＭ的鲁棒波束形成 方法，分别在没有方向向量失配的理想情况下和有 方向向量失配的实际情况下进行了计算机仿真。 假定一个有１Ｏ个阵元，阵元间距为半波长的均 匀线列阵，所有信号都是来自远场的平面波信号，噪 声为具有单位方差的空间白高斯噪声。信号的信噪 比（Ｒ ）即ＳＯｌ的功率设为 ＝１０ ｄＢ，信号的干 噪比（ＩＮＲ）即干扰信号的功率设为 ＝３０ ｄＢ。实 际信号源的波达方向０ ＝０。，而干扰信号的波达方 向分别为０．＝一３０。，Ｏｚ＝３０。，０ ＝７０ＯＯ为了计算协 方差矩阵詹 ，快拍数设为Ｎ＝１００。对于以下所有的 情形，每个点是５ ０００次独立仿真的平均。 为了达到比较的目的，仿真实验中增加了传统 的ＭＶＤＲ波束形成器，用ＭＶＤＲ—ＳＯＣ来表示，选定 的波束旁瓣域为 ：［一９０。，一１５。］ｕ［１５。，９０。］， 约束角沿着旁瓣域均匀分布，个数为６０。为了表述 方便，对基于线性和二次的 一不敏感损失函数的 支持向量机波束形成器分别用ＳＶＹｌ—Ｌｉｎ和ＳＶＭ． Ｑｕａｄ来表示。对于所提出的ＳＶＭ波束形成器，决 定不确定域的参数是△，仿真中设为２。。在 ［一９０。，９０。］之间进行均匀采样，采样角均匀分布 在［一９０。，９Ｏ。］之间的采样个数Ｐ ：２０，而采样角 均匀分布在［一９０。，一２。］和［２。，９０。］之间的采样 个数Ｐ，＝４０。此外，控制参数Ｇ和 分别取为１ 和０．００１。 ３．１无失配理想情形下的数值仿真 在源方向向量确切信息均已知的理想情形下， 首先仿真了信噪比等于１０ ｄＢ的单个波束图，如图 ・２５４・ 西北工业大学学报 第２９卷 １所示。为了达到统一的增益，即在ＳＯＩ实际方向 够看出，当Ｒ 值超过１２ ｄＢ时，无论干扰个数多 上的无偏响应，波束图作了一定的扩展。训练数据 中因为有期望信号的存在使得波束形成器的性能相 比于无期望信号时有所退化。从图１中可以观察 到，当信号方向向量确切知道时，所有的波束图在干 扰的波达方向上具有空值并且对ＳＯ１保持无畸变响 应。但是，相对于其它鲁棒方法，ＭＶＤＲ响应表现出 较高的旁瓣级，这就导致在意外干扰或者噪声功率 少，ＳＶＭ—Ｌｉｎ方法相对于其余的波束形成器均能达 到一个较好的性能。对于这种无失配的情形，ＳＶＭ・ Ｑｕａｄ方法在ＳＮＲ项上有相似的性能，特别是在很 高的ＳＮＲ值时。从图３中可以看出，当有效快拍数 不足时，基于ＳＶＭ的技术要比ＭＶＤＲ—ＳＯＣ方法更 加便利。最后仿真了信干噪比Ｒ 与阵列现存干 扰个数的关系，如图４所示。对于这种特殊情况，干 增加的情况下有深度退化。虽然ＳＶＭ波束形成器 扰信号来自于波达方向 ＝［３０。，５Ｏ。，６０。，７Ｏ。， 在干扰方向上没有表现出更深的空值，但是ＳＶＭ— ８０。，１００。，１２０。，１４０。，１６０。］。从图４中可以看出， Ｌｉｎ波束图却大大降低了旁瓣级而主瓣宽度却只有 ＭＶＤＲ—ＳＯＣ方法在无失配的理想情形下， ｓＩＮＲ基本 轻微地增加。信干噪比Ｒ 与信噪比Ｒ 和快拍 保持不变，其性能比基于ＳＶＭ的方法要好。 数的对比关系分别如图２和图３所示。从图２中能 ∞ ＼ 醛 蜜 角度／（。） ＲＳｌＮＲ 干扰个数 图１信噪比为１０ ｄＢ的波束图 图２ Ｒｓｉｒ￣ 与Ｒ蜊 的对比关系 图３ Ｒ 与快拍数的对比关系 ３．２有失配实际情形下的数值仿真 致ＭＶＤＲ的性能下降，而基于ＳＶＭ的波束形成器 在ＳＯＩ的波达方向上有２。失配的实际情形下， 在期望信号方向形成高增益波束，并在干扰信号方 首先仿真了信噪比等于１０ ｄＢ的单个波束图，如图 向形成零陷以抑制干扰信号。信干噪比Ｒ 与信 ５所示。仿真中所用的其余参数和以前情况下的一 噪比Ｒ 和快拍数的对比关系分别如图６和图７所 致。为了实现在ＳＯＩ实际方向上的无偏响应，波束 示。从图６中能够看出，随着 的增大，ＳＶＭ—Ｌｉｎ 图作了规格化处理。从图５中可以观察到，当信号 波束形成器的Ｒ刚 值逐渐趋于平稳。而ＳＶＭ—Ｑｕａｄ ＳＯＩ方向向量有轻微失配时，源信号会被解释为一 波束形成器的Ｒ刚 值也基本保持不变。对于轻微 个干扰同时在ＳＯｌ方向上分配了一个空值，从而导 的失配，基于ＳＶＭ的波束形成器在高 ｓＮＲ值时表现 干扰个数 角度／（。） ＲｓｍＲ 图４ Ｒ刚 与现有干扰个数的对比关系 图５信噪比为ｌ０ ｄＢ的波束图 图６ Ｒｓｌｔ￣ 与‰ 的对比关系 第２期 林关成等：基于支持向量机的鲁棒波束形成 ・２５５・ 出比其它的波束形成器更好的鲁棒性。从图７中可 以看出，与无失配情况下一样，ＳＶＭ—Ｑｕａｄ和ＭＶＤＲ－ ＳＯＣ方法操作相似。当快拍数较少时，ＳＶＭ—Ｑｕａｄ 波束形成器具有很小的优势。最后仿真了信干噪比 。 在这种特殊情况下，干扰信号来自于波达方向 ： ［３０。，５０。，６Ｏ。，７０。，８０。，１００。，１２０。，１４０。，１６０。］。从 图８中可以看出，ＭＶＤＲ．ＳＯＣ方法在存在失配的实 际情形下，当干扰个数多于５个时，其 急剧下 降，而ＳＶＭ—Ｌｉｎ和ＳＶＭ—Ｑｕａｄ却基本保持不变。随 着干扰个数的增加，基于ＳＶＭ的波束形成器表现出 更好的性能。 与现存干扰个数的关系，如图８所示。 ４ 结论 快拍数 图７ Ｒ 与快拍数的对比关系 在讨论阵列信号波束形成模型的基础上，对基 于结构风险最小化原理的支持向量机算法进行分析 比较，通过纳人附加的不等式约束来改写传统的最 小方差波束形成问题，提出了基于支持向量机的鲁 棒波束形成方法。在支持向量回归过程中，分别讨 论了线性和二次的ｅ不敏感损失函数，并最终归结 为凸优化问题。为了减轻二次规划技术所带来的高 计算成本，最优化过程采用迭代重加权最／ｂ－－乘算 法来实现。数值仿真实验表明，在无失配的理想情 形和有失配的实际情形下，基于支持向量机的波束 形成技术相比传统的鲁棒波束形成技术而言，在期 望信号方向形成高增益波束，并在干扰信号方向形 成零陷以抑制干扰信号，增加了阵列响应误差的鲁 棒性，特别是在高信噪比和干扰信号数目较多的情 况下，取得了令人满意的效果。 图８ Ｒ 与现有干扰个数的对比关系 参考文献： ［１］Ｈｏｐｐｅ Ｅｌｉｚａｂｅｔｈ，Ｒｏａｎ Ｍｉｃｈａｅ１．Ｎｏｎ－Ｌｉｎｅａｒ Ａｄａｐｔｉｖｅ Ａｒｒａｙ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ ｆｏｒ Ａｃｏｕｓｔｉｃ Ｉｎｔｅｒｆｅｒｅｎｃｅ Ｓｕｐｐｒｅｓｓｉｏｎ．Ｊ Ａｃｏｕｓｔ Ｓｏｃ Ａｍ，２００９，１２５（６）：３８３５—３８４３ ［２］Ｌｉ Ｊ，Ｓｔｏｉｃａ Ｐ．Ｒｏｂｕｓｔ Ａｄａｐｔｉｖｅ Ｂｅａｍｆｏｒｍｉｎｇ．Ｎｅｗ Ｙ０ｒｋ：Ｗｉｌｅｙ，２００６ ［３］ Ｅｌｎａｓｈａｒ Ａ．Ｅｆｉｆｃｉｅｎｔ Ｉｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎ ｏｆ Ｒｏｂｕｓｔ Ａｄａｐｔｉｖｅ Ｂｅａｍｆｏｒｍｉｎｇ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｗｏｒｓｔ—Ｃａｓｅ Ｐｅｆｒｏｒｍａｎｃｅ Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｓ．ＩＥＴ Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃ，２００８，２（４）：３８１—３９３ ［４］ Ｍｅｓｔｒｅ Ｘ，Ｌａｇｕｎａｓ Ｍ Ａ．Ｆｉｎｉｔｅ Ｓａｍｐｌｅ Ｓｉｚｅ Ｅｆｆｅｃｔ ｏｎ Ｍｉｎｉｍｕｍ Ｖａｒｉａｎｃｅ Ｂｅａｍｆｏｒｍｅｒｓ：Ｏｐｔｉｍｕｍ Ｄｉａｇｏｎａｌ Ｌｏａｄｉｎｇ Ｆａｃｔｏｒ ｆｏｒ Ｌａｒｇｅ Ａｒｒａｙｓ．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ ｏｎ Ｓｉｎａｌｇ Ｐｒｏｃｅｓｓ，２００６，５４（１）：６９—８２ ［５］Ｄｏｎｇ Ｊｉａｎｍｉｎ，Ｗａｎｇ Ｒｕｏｐｅｎｇ．Ａ Ｎｏｖｅｌ Ｓｍｏｏｔｈ Ｓｕｐｐｏｒｔ Ｖｅｃｔｏｒ Ｍａｃｈｉｎｅ ｆｏｒ Ｃｌａｓｓｉｉｆｃａｔｉｏｎ ｎｄ ａＲｅｇｒｅｓｓｉｏｎ．Ｐｒｏｃ Ｉｎｔ Ｃｏ击Ｃｏｒｎ－ ｐｕｔ Ｓｃｉ Ｅｄｕｃ，ＩＣＣＳＥ，２００９，１２～ｌ７ ［６］Ｔｒａｆａｌｉｓ Ｔｈｅｏｄｏｒｅ Ｂ，Ｇｉｌｂｅｒｔ Ｒｏｂｉｎ Ｃ．Ｒｏｂｕｓｔ Ｃｌａｓｓｉｉｆｃａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎ Ｕｓｉｎｇ Ｓｕｐｐｏｒｔ Ｖｅｃｔｏｒ Ｍａｃｈｉｎｅｓ．Ｅｕｒ Ｊ Ｏｐｅｒ Ｒｅｓ， ２００６，１７３（３）：８９３—９０９ ［７］ Ｃｈｅｒｋａｓｓｋｙ Ｖｌａｄｉｍｉｒ，Ｍａ Ｙｕｎｑｉａｎ．Ａｎｏｔｈｅｒ Ｌｏｏｋ ａｔ Ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ Ｌｅａｒｎｉｎｇ ｈｅｏｒＴｙ ｎｄ ａＲｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ．Ｎｅｕｒａｌ Ｎｅｔｗｏｒｋ，２００９，２２ （７）：９５８～９６９ ［８］Ｘｕ Ｎａｎ，Ｃｈｒｉｓｔｏｄｏｕｌｏｕ Ｃ Ｇ，Ｍａｒｔｉｎｅｚ－Ｒａｍｏｎ Ｍ，Ｏｚｄｅｍｉｒ Ｔａｙｆｕｎ．Ａｎｔｅｎｎａ Ａｒｒａｙ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ ｆｏｒ Ｒａｄａｒ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ Ｕｓｉｎｇ Ｓｕｐ・ ・２５６・ 西北工业大学学报 第２９卷 ｐｏｒｔ Ｖｅｃｔｏｒ Ｍａｃｈｉｎｅｓ．ＩＥＥＥ Ａｎｔｅｎｎａｓ Ｐｒｏｐａｇ Ｓｏｃ ＡＰＳ Ｉｎｔ Ｓｙｍｐ，２００６，１２９５—１２９８ ［９］ Ｓｏｎｇ Ｘｉｎ，Ｗａｎｇ Ｊｉｎｋｕａｎ，Ｗａｎｇ Ｂｉｎ，Ｈａｎ Ｙｉｎｇｈｕａ．Ｒｏｂｕｓｔ Ａｄａｐｔｉｖｅ Ｂｅａｍｆｏｒｍｉｎｇ Ａｌｇｏｉｒｔｈｍ ｕｎｄｅｒ Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ． ＩＥＥＥ Ｉｎｔ Ｃｏｎｆ Ｍｅｃｈａｔｒｏｎｉｃｓ Ａｕｔｏｍ，２００９，２９８９～２９９３ ［１０］Ｐ６ｒｅｚ—Ｃｒｕｚ Ｆ，Ｂｏｕｓｏｆｉｏ—Ｃａｌｚ６ｎ Ｃ，Ａｒｔ６ｓ—Ｒｏｄｒｉｇｕｅｚ Ａ．Ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ＩＲＷＬＳ Ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ｔｏ ｔｈｅ Ｓｕｐｐｏｒｔ Ｖｅｃｔｏｒ Ｍａｃｈｉｎｅ ｏＳｌｕ－ ｔｉｏｎ．Ｎｅｕｒａｌ Ｃｏｍｐｕｔ，２００５，１７：７～１８ Ｐｒｏｐｏｓｉｎｇ ａ Ｎｅｗ ａｎｄ Ｍｏｒｅ Ｒｏｂｕｓｔ Ｂｅａｍｆｏｒｍｉｎｇ Ｍｅｔｈｏｄ Ｕｓｉｎｇ Ｓｕｐｐｏｒｔ Ｖｅｃｔｏｒ Ｍａｃｈｉｎｅｓ（ＳＶＭｓ） Ｌｉｎ Ｇｕａｎｃｈｅｎｇ， Ｌｉ Ｙａ ａｎ，Ｊｉｎ Ｂｅｉｌｉ （Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｍａｒｉｎｅ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｎｏｒｔｈｗｅｓｔｅｒｎ Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉ ａｌｌ ７１００７２，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｉｍ．Ｔｈｅ ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｆｕｌｌ ｐａｐｅｒ ｒｅｖｉｅｗｓ ｓｏｍｅ ｐａｐｅｒｓ ｉｎ ｔｈｅ ｏｐｅｎ ｌｉｔｅｒａｔｕｒｅ ａｎｄ ｔｈｅｎ ｐｒｏｐｏｓｅｓ ｗｈａｔ ｗｅ ｂｅｌｉｅｖｅ ｔｏ ｂｅ ａ ｎｅｗ ａｎｄ ｂｅｔｔｅｒ ｍｅｔｈｏｄ，ｗｈｉｃｈ ｉＳ ｅｘｐｌａｉｎｅｄ ｉｎ ｓｅｃｔｉｏｎｓ １ ａｎｄ ２． ｅｉｒ ｃｏｒｅ ｃｏｎｓｉｓｔｓ ｏｆ：（１） ｏｎ ｔｈｅ ｂａｓｉｓ ｏｆ ａｎａｌｙｚｉｎｇ ｔｈｅ ＳＶＭ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｔｈａｔ ｕｓｅｓ ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ ｒｉｓｋ ｍｉｎｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ，ｗｅ ｒｅｗｒｉｔｅ ｔｈｅ ｔｒａ・ ｄｉｔｉｏｎａｌ ｌｉｎｅａｒ ｃｏｎｓｔｒｍｎｅｄ ｍｉｎｉｍｕｍ ｖａｒｉａｎｃｅ ｃｏｓｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｂｙ ｉｎｔｒｏｄｕｃｉｎｇ ａｄｄｉｔｉｏｎａｌ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ；（２）ｗｅ ａｄｏｐｔ ａｎ ｉｔｅｒａｔｉｖｅ ｒｅ—ｗｅｉｇｈｔｅｄ ｌｅａｓｔ－ｓｑｕａｒｅｓ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ｔｏ ｒｅｄｕｃｅ ｔｈｅ ｈｉｇｈ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ ｃｏｓｔ ｉｎｃｕｒｒｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｑｕａｄ— ｒａｔｉｅ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ；ｏｕｒ ＳＶＭ—ｂａｓｅｄ ｂｅａｍｆｏｒｍｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄ ｃａｎ ｅｎｈａｎｃｅ ｔｈｅ ｒｏｂｕｓｔｎｅｓｓ ｏｆ ｏｐｔｉｍａｌ ｂｅａｍ・ ｆｏｒｍｉｎｇ ｏｆ ａｒｒａｙ ｓｉｇｎａｌ ａｇａｉｎｓｔ ｒａｎｄｏｍ ｅｒｒｏｒｓ．Ｔｏ ａｐｐｒａｉｓｅ ｏｕｒ ｍｅｔｈｏｄ，ｓｅｃｔｉｏｎ ３ ｓｉｍｕｌａｔｅｓ ｔｈｅ ｕｎｉｆｏｒｍ ｌｉｎｅａｒ ａｒｒａｙ ｗｉｔｈ １０ ｓｅｎｓｏｒｓ ｉｎ ｔｈｅ ｉｄｅａｌ ｓｃｅｎａｒｉｏ ｏｆ ｎｏ ｍｉｓｍａｔｃｈ ａｎｄ ｔｈｅ ａｃｔｕａｌ ｓｃｅｎａｒｉｏ ｏｆ ｍｉｓｍａｔｔｃｈ ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ；ｔｈｅ ｓｉｍｕｌａ－ ｔｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔｓ，ｇｉｖｅｎ ｉｎ Ｆｉｇｓ．１ ｔｈｒｏｕｇｈ ８，ａｎｄ ｔｈｅｉｒ ａｎａｌｙｓｉｓ ｓｈｏｗ ｐｒｅｌｉｍｉｎａｒｉｌｙ ｔｈａｔ：（１）ｏｕｒ ＳＶＭ—ｂａｓｅｄ ｂｅａｍｆｏｒｍ－ ｉｎｇ ｍｅｈｔｏｄ ｅｎｈａｎｃｅｓ ｔｈｅ ｒｏｂｕｓｔｎｅｓｓ ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ ｄｅｓｉｒｅｄ ｓｉｎｇａｌ ａｒｒａｙ ｒｅｓｐｏｎｓｅ ｅｒｒｏｒｓ ｉｎ ａｎ ｉｄｅａｌ ｓｃｅｎａｒｉｏ ｏｆ ｎｏ－－ｍｉｓ・・ ｍａｔｃｈ ａｎｄ ａｎ ａｃｔｕａｌ ｓｃｅｎａｒｉｏ ｏｆ ｍｉｓｍａｔｃｈ ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ；（２）ｉｔ ａｃｈｉｅｖｅｓ ｓａｔｉｓｆａｃｔｏｒｙ ｒｏｂｕｓｔｎｅｓｓ ｅｓｐｅｃｉａｌｌｙ ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ ｃｏｎｄｉｉｔｏｎ ｏｆ ｈｉ．ｇｈ ｓｉｇｎａｌ ｔｏ ｎｏｉｓｅ ｒａｔｉｏ（ＳＮＲ）ｖａｌｕｅｓ ｏｒ ｗｉｔｈ ｎｕｍｅｒｏｕｓ ｉｎｔｅｒｆｅｒｅｎｃｅ ｓｉｇｎａｌｓ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｏｕｒ ＳＶＭ—ｂａｓｅｄ ｂｅａｍｆｏｒｍｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄ ｐｒｏｖｉｄｅｓ ａ ｎｅｗ ａｎｄ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ａｐｐｒｏａｃｈ ｔｏ ｅｎｈａｎｃｉｎｇ ｔｈｅ ｒｏｂｕｓｔｎｅｓｓ ｏｆ ａ ｂｅａｍｆｏｒｍｅｒ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｂｅａｍｆｏｒｍｉｎｇ；ａｒｒａｙｓ；ｓｉｇｎａｌ ｔｏ ｎｏｉｓｅ ｒａｔｉｏ；ｓｕｐｐｏｒｔ ｖｅｃｔｏｒ ｍａｃｈｉｎｅ（ＳＶＭ）；ｒｏｂｕｓｔｎｅｓｓ
