第2课 运动的图像 追及、相遇问题
1．解决运动学图像问题的关键是明确图像要素的物理意义 a．通过理解v－t图像的物理意义解决运动学问题 (1)(2014全国Ⅱ，6分)甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶。在t＝0到t＝t1的时间内，它们的v－t图像如图所示。在这段时间内( )
A．汽车甲的平均速度比乙的大 B．汽车乙的平均速度等于
v1＋v2
2
C．甲、乙两汽车的位移相同
D．汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大 答案：A
解析：根据v－t图像可以看出，在0～t1这段时间内，汽车甲的位移x甲大于汽车乙的位移
xx乙，故C项错误。根据v＝得，汽车甲的平均速度
t甲
大于汽车乙的平均速度
乙
，故A项
正确。作出初速度为v2、末速度为v1的匀减速直线运动的图线如图所示，由图可知汽车乙的位移x乙小于初速度为v2、末速度为v1的匀减速直线运动的位移，即汽车乙的平均速度小于
v1＋v2
2
，故B项错误。v－t图像的斜率反映了加速度的大小，因此汽车甲、乙的加速度大
小都逐渐减小，故D项错误。
(2)(2018改编，10分)一摩托车由静止开始在平直的公路上行驶，前20 s内摩托车做匀加速运动至速度达到30 m/s，20 s至45 s内摩托车做匀速直线运动，而后摩托车匀减速到停止用了30 s，求：
①摩托车在0～20 s这段时间内的加速度大小a； ②摩托车在0～75 s这段时间内的平均速度大小。 答案：①1.5 m/s(3分) ②20 m/s(7分) 解析：①加速度a＝
22
v1－v0
(2分) t解得a＝1.5 m/s(1分)
②根据题意作出0～75 s的v－t图像如图所示 则由图得0～75 s的位移
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x＝×30×(75＋25)m＝1 500 m(4分) x1 500＝＝m/s＝20 m/s(3分) t75
12
b．通过解读x－t图像的物理意义解决运动学问题
(3)(多选)(2013全国Ⅰ，6分)如图，直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的位置—时间(x－t)图线，由图可知( )
A．在时刻t1，a车追上b车
B．在时刻t2，a、b两车运动方向相反
C．在t1到t2这段时间内，b车的速率先减小后增加 D．在t1到t2这段时间内，b车的速率一直比a车大 答案：BC
解析：开始时a在b的前边，在时刻t1，a、b两车的位置坐标相同，故b车追上a车，故A项错误。在时刻t2，由两图线切线的斜率方向相反，知两车运动方向相反，故B项正确。由图知在t1到t2这段时间内，b车图线斜率先减小到0，再反向增大，则b车的速率先减小后增大，故C项正确。在t1到t2这段时间内，a车图线斜率始终大于0且大小不变，而b车的速率在某一时刻减小到0，所以b车的速率不是一直比a车大，故D项错误。 c．通过理解x与v的关系图像的物理意义解决运动学问题
(4)(2018改编，12分)研究表明，一般人的刹车反应时间，即图(a)中“反应过程”所用时间t0＝0.4 s，但饮酒会导致反应时间延长，在某次试验中，志愿者少量饮酒后驾车在试验场的水平路面上匀速行驶，从发现情况到汽车停止，行驶距离L＝39 m。减速过程中汽车位移x与速度v的关系曲线如图(b)所示，此过程可视为匀变速直线运动。求：
①减速过程汽车加速度的大小及所用时间；
②饮酒使志愿者的反应时间比一般人增加了多少？
2
答案：①8 m/s，2.5 s(6分) ② 0.3 s(6分)
解析：①设减速过程中汽车加速度的大小为a，所用时间为t，由题图(b)可得初速度v0＝ 72 km/h＝20 m/s，末速度vt＝0，位移x＝25 m，由运动学公式得 v20＝2ax①(2分)
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v0
t＝②(2分)
a①②联立解得 a＝8 m/s2③(1分) t＝2.5 s④(1分) ②设志愿者反应时间为
，反应时间的增加量为Δt，由运动学公式得
L＝v0＋x⑤(2分)
Δt＝
－t0⑥(2分)
⑤⑥联立解得Δt＝0.3 s⑦(2分)
d．理解直线运动的加速度、速度、位移、时间的关系，选择符合题意的运动学图像
(5)(多选)(经典题，4分)一物体做直线运动，其加速度随时间变化的a－t图像如图所示。下列v－t图像中，可能正确描述此物体运动的是( )
答案：AC
解析：在0～内，物体沿加速度方向做匀变速运动，v－t图像是倾斜的直线。在～T内，
22加速度为0，物体做匀速直线运动或处于静止状态，v－t图像是平行于t轴的直线。在T～
2T内，加速度反向，物体做匀变速直线运动，到2T时刻速度与初速度相同，v－t图像是向下倾斜的直线，故A项、C项均正确，B项、D项均错误。
(6)(2014福建理综，6分)如图所示，滑块以初速度v0沿表面粗糙且足够长的固定斜面，从顶端下滑，直至速度为零。对于该运动过程，若用h、s、v、a分别表示滑块的下降高度、位移、速度和加速度的大小，t表示时间，则下列图像最能正确描述这一运动规律的是
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( )
答案： B
解析：滑块沿斜面下滑过程中，受重力、支持力和滑动摩擦力作用，做匀减速直线运动，故速度—时间图像为向下倾斜的直线，故C项错误。滑块加速度保持不变，故D项错误。设滑12
块的加速度大小为a，则滑块的位移s＝v0t－at，s－t图像为开口向下的抛物线，故B项
2正确。设斜面倾角为θ，滑块下降高度h＝ssin θ，所以h－t图像也是开口向下的抛物线，故A项错误。
2．求解追及、相遇问题的关键是求两物体的相对位移
a．运用函数法、相对运动法和图像法解决速度小的物体追速度大的物体类型的题目
2
(7)(2018改编，14分)一辆汽车在平直公路上以3 m/s的加速度由静止开始行驶，此时在汽车前方18 m处一辆自行车正以6 m/s的速度匀速行驶，求：
①汽车开动后，追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？最远距离是多少？ ②经过多长时间汽车追上自行车，此时汽车的速度是多少？ 答案：①2 s，24 m(8分) ②6 s，18 m/s(6分) 解析：①两车相距最远时速度相等，即有 v汽＝ v自＝6 m/s(1分) 此时汽车运动的时间t1＝
v汽
＝2 s(2分) a此过程中自行车位移x自＝ v自t1＝12 m (2分) 12
汽车的位移x汽＝at1＝6 m (2分)
2故汽车追上自行车前两车的最远距离为 Δxmax＝x0＋x自－ x汽＝24 m(1分) ②汽车追上自行车时有 12
at＝v自t＋x0(3分) 2
解得t＝6 s(1分)
此时汽车的速度v＝at＝18 m/s(2分)
b．速度大的物体追速度小的物体类型的追及、相遇问题
(8)(经典题，8分)一辆客车以速度v1前进，司机发现前面在同一直线上有辆货车正在以v2匀速前进，且v2＜v1，货车车尾与客车车头距离为s，客车立即刹车，做匀减速运动，而货车仍保持原速度前进。求客车的加速度大小符合什么条件时，客车与货车不会相撞？ （v1－v2）
答案：a>(8分)
2 s解析：设客车的加速度大小为a时，刚好撞上货车，所用时间为t，则
2
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客车位移x1＝v1t－at①(2分)
2货车位移x2＝v2t ②(2分)
刚撞上时有x1－x2＝s ③(1分) v2＝v1－at ④(2分)
（v1－v2）
①②③④联立解得a＝(1分)
2s（v1－v2）
故客车的加速度大小至少为时，客车与货车不会相撞。
2s（9）(多选)(2016全国Ⅰ，6分)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v－t图像如图所示。已知两车在t＝3 s时并排行驶，则( )
2
2
A．在t＝1 s时，甲车在乙车后 B．在t＝0时，甲车在乙车前7.5 m C．两车另一次并排行驶的时刻是t＝2 s
D．甲、乙两车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m 答案：BD
解析：由图像知，在1～3 s内，两车的位移相等，又两车在t＝3 s时并排行驶，所以两车在t＝1 s时也并排行驶，故A项、C项均错误。t＝1 s时两车并排行驶，即两车相遇，则0～1 s内有x乙＝x甲＋Δx，v－t图线与坐标轴围成的面积表示位移，则在t＝0时，甲车（10＋5）×1
在乙车前的距离Δx＝ m＝7.5 m，故B项正确。甲、乙两车两次并排行驶的位
2置之间沿公路方向的距离也就是从第1 s末到第3 s末两车运动的位移Δx′＝（10＋30）×2
m＝40 m，故D项正确。
2
c．在限制条件发生前后分阶段研究有限制条件的追及、相遇问题
(10)(经典题，20分)一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以10 m/s的速度匀
2
速行驶的货车严重超载时，决定前去追赶，经过5.5 s后警车发动起来，并以2.5 m/s的加速度做匀加速运动，但警车的行驶速度必须控制在90 km/h以内。 ①警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离是多少？ ②判定警车在加速阶段能否追上货车(要求通过计算说明)； ③警车发动后要多长时间才能追上货车？
答案：①75 m(6分) ②不能(计算说明见解析)(7分) ③12 s(7分)
解析：①警车在追赶货车的过程中，当两车速度相等时，它们的距离最大，设警车发动后经过t1时间两车的速度相等，则
v货
t1＝①(2分)
a两车速度相等时两车的位移分别为 x货＝ v货(t0＋t1)②(1分)
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x警＝at12③(1分)
所以两车间的最大距离Δx＝x货－x警④(1分) ①②③④联立解得Δx＝75 m(1分) ②当警车刚达到最大速度时，运动时间
12
vm
t2＝⑤(2分)
ax货1＝ v货(t0＋t2) ⑥(2分) x警1＝at22⑦(2分)
⑤⑥⑦联立解得x货1＝155 m>x警1＝125 m，故此时警车尚未追上货车。(1分) ③警车刚达到最大速度时两车距离 Δx1＝x货1－x警1⑧(2分)
警车达到最大速度后做匀速运动，设再经过Δt时间追赶上货车，以货车为参考系，则 Δt＝
Δx1
⑨(2分) vm－v货12
t＝t2＋Δt⑩(2分)
⑧⑨⑩联立得t＝12 s(1分)
即警车发动后12 s才能追上货车。
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