坐标旋转变换

坐标旋转变换

如图 1，直角坐标系 XYZ ，P 点的坐标为 (x, y, z) ，其相应的在 XY 平面，XZ 平面， YZ 平面分别为 M (x, y,0) ， Q(x,0, z) 和 N (0, y, z) 。

z

Q(x,0, z)

N(0, y, z)

P(x, y, z)

O x

M(x, y,0)

y

图 1 直角坐标系 XYZ

设表示第 j 轴的旋转角度， R j 表示绕第 j 轴的旋转，其正方向是沿坐标 轴向原点看去的逆时针方向。很明显当 j 轴为旋转轴时，它对应的坐标中的 j 分

量是不变的。由于直角坐标系是对称的，下面我们以绕 z 轴旋转为例推导其旋转 变换矩阵，其它两个轴推导和它是一样的。

设图 1 的坐标绕 Z 轴逆时针旋转角度，新坐标为 X 'Y ' Z '，如图 2 所示：

Z(Z')

N(0, y, z) | (0, y', z')

Q(x,0, z) | (x',0, z') P(x, y, z) | (x', y', z')

O



X ' X

M(x, y,0) | (x', y',0)



Y

Y '

图 2 坐标绕 Z 轴逆时针旋转角度

由于坐标中的 z 分量不变，我们可以简化地在 XY 平面进行分分析，如图 3 所示：

Y

Y '

M(x, y,0) | (x', y',0)



O

 M X

MX '

X X '

图 3 坐标绕 Z 轴逆时针旋转角度的 XY 平面示意图

点 M X 和点 M X ' 分别是 M 点在 X 轴和 X ' 轴的投影。如图 3

x  OM X OM cosMOM X OM cos()



y MM X OM sin MOM X OM sin()

x'  OM X '  OM cos MOM X '  OM cos

y MM X ' OM sin MOM X ' OM sin 

把(1)式按照三角函数展开得：

x  OM cos cos  OM sin  sin

y OM sin cosOM cossin

把(2)式代入(3)式得：

x  x'cos  y'sin

y x'siny'cos

坐标中的 z 分量不变，即 z z' 这样整个三维坐标变换就可以写成（用新坐标表 示就坐标）：

x  x'cos  y'sin

y x'siny'cos

z  z' 把式(5)用一个坐标旋转变换矩阵 R Z θ表示可以写成：

x' x   y  R Z θ y' z z'

cos

R Z θ   sin

 0

sin cos 0

001

坐标系 X 'Y ' Z ' 是坐标系 XYZ 绕 Z 轴逆时针旋转角度而来，从另一个角度来

看，也可以说坐标系 XYZ 是坐标系 X 'Y ' Z ' 绕 Z ' 轴逆时针旋转 角度而来，所以 根据(6)式有（上标 \"1\" 表示矩阵的逆）：

 x '  x 1

 y'  R Z  θ y  R Z θ  R Z  θ z'  z  

用同样的分析办法，当绕 X 轴逆时针旋转角度其 YZ 平面分析如图 4 所示：

Z

Z '

N(x,0, z) | (x',0, z')



O

N Y

 NY '

YY '

图 4 坐标绕 X 轴逆时针旋转角度的 YZ 平面示意图 其坐标转

换关系为：

y y'cosz'sin

z   y'sin  z'cos

x  x'

(9)

sin

cos 0 1

R θ  0 X 

0



0 cos sin θ

(10)

1 R R X θX θ

(11)

当绕 Y 轴逆时针旋转角度得其 XZ 平面分析如图 5 所示（注意和前面两个

角度方向不一样）：

Z '

Z

Q(0, y, z) | (0, y', z')

 O



QX

X '

QX '

X

图 5 坐标绕 Y 轴逆时针旋转角度的 XZ 平面示意图

x  x'cos  z'sin



z  x'sin  z'cosy y' 

(12)



cos

RY θ  0

sin θ

0 1 0

sin

0 cos 

(13)

1

R R Y θY θ

(14)