高考数学轴对称、中心对称及周期性的关系

轴对称、中心对称及周期性的关系

定理1 (1)若函数f(x)的图象同时关于直线xa,xb(ab)对称，则f(x)是周期函数，且有一个周期是2(ba)；

(2)若函数f(x)的图象同时关于直线xa，及点(b,c)(ab)对称，则f(x)是周期函数，且有一个周期是4(ba)；

(3)若函数f(x)的图象同时关于点(a,c),(b,c)(ab)对称，则f(x)是周期函数，且有一个周期是2(ba).

证明 (1)可得f(x)f(2ax),f(x)f(2bx)，所以f(2ax)f(2bx)，即

f(x2(ba))f(x).又ab，所以欲证成立.

(2)可得f(x)f(2ax),f(x)f(2bx)2c，所以f(2ax)f(2bx)2c，即

f(x)f(x2(ba))2c.

由此还得f(x2(ba))f(x4(ba))2c，所以f(x4(ba))f(x).又ab，所以欲证成立.

(3)可得f(x)f(2ax)2c,f(x)f(2bx)2c，所以f(2ax)f(2bx)，即

f(x2(ba))f(x).又ab，所以欲证成立.

注 可结合三角函数ysinx或ycosx的图象记忆定理1-7.

定理2 (1)若有一个周期是2(ba)的周期函数f(x)的图象关于直线xa对称，则函数

f(x)的图象关于直线xb对称；

(2)若有一个周期是2(ba)的周期函数f(x)的图象关于点(a,c)对称，则函数f(x)的图象关于点(b,c)对称.

证明 (1)可得f(x2(ba))f(x),f(x)f(2ax)，所以f(2ax)f(x2(ba))，即

f(x)f(2bx)，也即欲证成立.

(2)可得f(x2(ba))f(x),f(x)f(2ax)2c，所以f(x2(ba))f(2ax)2c，即

f(x)f(2bx)2c，也即欲证成立.

注 以下两个结论均不正确：

(1)若有一个周期是4(ba)的周期函数f(x)的图象关于直线xa对称，则存在常数c使得函数f(x)的图象关于点(b,c)对称；

(2)若有一个周期是4(ba)的周期函数f(x)的图象关于点(b,c)对称，则函数f(x)的图象关于直线xa对称.

k(k2Z)，但该函数的

反例1 周期函数f(x)sinx的最小正周期是π，且有对称轴图象不是中心对称图形.

xk,0(kf(x)tanx2反例2 周期函数的最小正周期是π，且有对称中心Z)，但该函

数的图象不是轴对称图形.