2016--高二立体几何垂直证明题常见模型及方法

立体几何垂直证明题常见模型及方法

垂直转化：线线垂直

线面垂直

面面垂直；

基础篇

类型一：线线垂直证明〔共面垂直、异面垂直〕

（1） 共面垂直：实际上是平面内的两条直线的垂直 〔只需要同学们掌握以下几种模型〕

1 等腰〔等边〕三角形中的中线 ○

2 菱形〔正方形〕的对角线互相垂直 ○3勾股定理中的三角形 ○

4 1:1:2 的直角梯形中 ○5 利用相似或全等证明直角。 ○

例：在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，E为CC1,求证：A1OOE

（2） 异面垂直 〔利用线面垂直来证明，高考中的意图〕 例1 在正四面体ABCD中，求证ACBD

变式1 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，已知

AB3,AD2,PA2,PD22,PAB60．

证明：ADPB；

变式2 如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED,△DCF分别沿DE,DF折起，使A,C两点重合于A. 求证:ADEF；

''A'

E G D

F

B

类型二：线面垂直证明

方法○1 利用线面垂直的判断定理

例2：在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，E为CC1,求证：

A1O平面BDE

平面BDC1 变式1：在正方体ABCDA1B1C1D1中，,求证：AC1变式2：如图：直三棱柱ABC－A1B1C1中， AC=BC=AA1=2，∠ACB=90.E为BB1

的中点，D点在AB上且DE=3 . 求证：CD⊥平面A1ABB1；

变式3：如图，在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

A CACBCDBD2,ABAD2. 求证：AO平面BCD； 变式4 如图，在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中，

B D O C

E AD∥BC，ABC90°，PA平面ABCD．PA3，AD2，AB23，BC6

1求证：BD平面PAC P A E B D C

2 利用面面垂直的性质定理 ○

例3：在三棱锥P-ABC中，PA底面ABC,面PAC面PBC，求证：BC面PAC。

方法点拨：此种情形，条件中含有面面垂直。

变式1, 在四棱锥PABCD，底面ABCD是正方形，侧面PAB是等腰三角形，且

面PAB底面ABCD,求证：BC面PAB

变式2：

类型3：面面垂直的证明。(本质上是证明线面垂直)

例1 如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，△ACD为等边三角形，B E

ADDE2AB，F为CD的中点. (1) 求证：AF//平面BCE； (2) 求证：平面BCE平面CDE； 例

2 如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，

C A F D ABAD，ACCD，ABC60°，PAABBC，E是PC的中点．

〔1〕证明CDAE； 〔2〕证明PD平面ABE；

P

E

A

B

C

D

变式1已知直四棱柱ABCD—A′B′C′D′的底面是菱形，ABC60，E、F分别是棱CC′与BB′上的点，且EC=BC=2FB=2． 〔1〕求证：平面AEF⊥平面AA′C′C；

举一反三

1.设M表示平面，a、b表示直线，给出以下四个命题：

①

aMaMa//ba//Ma//bbM ② ③b∥M ④b⊥M.

bMabaMab其中正确的命题是 ( )

A.①② B.①②③ C.②③④ D.①②④ 2.以下命题中正确的选项是 ( )

A.假设一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面 B.假设一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面 C.假设一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线

D.假设一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面 3.如下列图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点.现在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.那么，在四面体P—DEF中，必有 ( )

A.DP⊥平面PEF B.DM⊥平面PEF C.PM⊥平面DEF D.PF⊥平面DEF 4.设a、b是异面直线，以下命题正确的选项是 ( )

第3题图

A.过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交 B.过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直 C.过a一定可以作一个平面与b垂直 D.过a一定可以作一个平面与b平行

5.如果直线l,m与平面α,β,γ满足:l=β∩γ,l∥α,mα和m⊥γ,那么必有 ( ) A.α⊥γ且l⊥m B.α⊥γ且m∥β C.m∥β且l⊥m D.α∥β且α⊥γ

6.AB是圆的直径，C是圆周上一点，PC垂直于圆所在平面，假设BC=1,AC=2,PC=1，则P到AB的距离为 ( )

A.1 B.2 C.

2535 D. 557.有三个命题：

①垂直于同一个平面的两条直线平行；

②过平面α的一条斜线l有且仅有一个平面与α垂直；

③异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直 其中正确命题的个数为 ( )

8.d是异面直线a、b的公垂线，平面α、β满足a⊥α，b⊥β，则下面正确的结论是 ( )

A.α与β必相交且交线m∥d或m与d重合 B.α与β必相交且交线m∥d但m与d不重合 C.α与β必相交且交线m与d一定不平行 D.α与β不一定相交

9.设l、m为直线，α为平面，且l⊥α，给出以下命题

① 假设m⊥α，则m∥l；②假设m⊥l，则m∥α；③假设m∥α，则m⊥l；④假设

m∥l，则m⊥α， 其中真命题的序号是 ( ) ．．．A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④ 10.已知直线l⊥平面α，直线m平面β，给出以下四个命题：

①假设α∥β，则l⊥m；②假设α⊥β，则l∥m；③假设l∥m，则α⊥β；④假设l⊥m，则α∥β.

其中正确的命题是 ( )

A.③与④ B.①与③ C.②与④ D.①与②

二、思维激活

11.如下列图，△ABC是直角三角形，AB是斜边，三个顶点在平面α的同侧，它们在α内的射影分别为A′，B′，C′，如果△A′B′C′是正三角形，且AA′＝3cm，BB′＝5cm，CC′＝4cm，则△A′B′C′的面积是 .

第11题图 第13题图

第12题图

12.如下列图,在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中,当底面四边形ABCD满足条件 时,有A1C⊥B1D1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)

13.如下列图，在三棱锥V—ABC中，当三条侧棱VA、VB、VC之间满足条件 时，有VC⊥AB.(注：填上你认为正确的一种条件即可)

三、能力提高

14.如下列图,三棱锥V-ABC中,AH⊥侧面VBC,且H是△VBC的垂心，BE是VC边上的高.

(1)求证:VC⊥AB;

(2)假设二面角E—AB—C的大小为30°,求VC与平面ABC 所成角的大小.

第14题图

15.如下列图，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点. (1)求证：MN∥平面PAD. (2)求证：MN⊥CD.

(3)假设∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.

16.如下列图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BAD＝60°，AB＝4，AD＝2，侧棱PB＝15，PD＝3.

(1)求证：BD⊥平面PAD.

(2)假设PD与底面ABCD成60°的角，试求二面角P—BC—A的大小. 第15题图

第16题图

17.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1，AA1=6，M是CC1

的中点，求证：AB1⊥A1M．

18.如下列图，正方体ABCD—A′B′C′D′的棱长为a，M是AD的中点，N是BD′上一点，且D′N∶NB＝1∶2，MC与BD交于P.

(1)求证：NP⊥平面ABCD.

(2)求平面PNC与平面CC′D′D所成的角. (3)求点C到平面D′MB的距离.

第18题图

第4课 线面垂直习题解答

1.A 两平行中有一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直，垂直于同一平面的两直线平行.

2.C 由线面垂直的性质定理可知.

3.A 折后DP⊥PE,DP⊥PF，PE⊥PF.

4.D 过a上任一点作直线b′∥b,则a，b′确定的平面与直线b平行.

依题意,m⊥γ且mα,则必有α⊥γ,又因为l=β∩γ则有lγ,而m⊥γ则l⊥m,故选A.

CD过P作PD⊥AB于D，连CD，则CD⊥AB，AB=AC2BC25，

ACBC2， AB5∴PD=PC2CD21435. 557.D 由定理及性质知三个命题均正确.

8.A 显然α与β不平行.

9.D 垂直于同一平面的两直线平行，两条平行线中一条与平面垂直，则另一条也与该平面

垂直.

10.B ∵α∥β，l⊥α，∴l⊥m

32

设正三角A′B′C′的边长为a. 2２

∴AC2=a2+1,BC2=a2+1,AB=a2+4， 又AC2+BC2=AB2，∴a2=2．

11

323cm2． a4212.在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中当底面四边形ABCD满足条件AC⊥BD(或任何能推导出这个条件的其它条件，例如ABCD是正方形，菱形等)时,有A1C⊥B1D1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形).

S△A′B′C′=

点评：此题为探索性题目，由此题开辟了填空题有探索性题的新题型，此题实质考查了三垂线定理但答案不惟一,要求思维应灵活.

13.VC⊥VA，VC⊥AB. 由VC⊥VA，VC⊥AB知VC⊥平面VAB. 14.(1)证明:∵H为△VBC的垂心, ∴VC⊥BE,又AH⊥平面VBC,

∴BE为斜线AB在平面VBC上的射影,∴AB⊥VC. (2)解:由(1)知VC⊥AB,VC⊥BE,

∴VC⊥平面ABE,在平面ABE上,作ED⊥AB,又AB⊥VC, ∴AB⊥面DEC.

∴AB⊥CD,∴∠EDC为二面角E—AB—C的平面角， ∴∠EDC=30°,∵AB⊥平面VCD, ∴VC在底面ABC上的射影为CD.

∴∠VCD为VC与底面ABC所成角,又VC⊥AB,VC⊥BE, ∴VC⊥面ABE,∴VC⊥DE,

∴∠CED=90°,故∠ECD=60°,

∴VC与面ABC所成角为60°.

15.证明：(1)如下列图，取PD的中点E，连结AE，EN， 则有EN∥CD∥AB∥AM，EN＝

11CD＝AB＝AM，故AMNE为平行四边形. 22∴MN∥AE.

∵AE平面PAD，MN平面PAD，∴MN∥平面PAD. (2)∵PA⊥平面ABCD， ∴PA⊥AB.

又AD⊥AB，∴AB⊥平面PAD. ∴AB⊥AE，即AB⊥MN. 又CD∥AB，∴MN⊥CD.

(3)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD. 又∠PDA＝45°，E为PD的中点.

∴AE⊥PD，即MN⊥PD.又MN⊥CD， ∴MN⊥平面PCD.

16.如图(1)证：由已知AB＝4，AD＝２，∠BAD＝60°，

第15题图解

故BD2＝AD2+AB2-2AD·ABcos60°＝4+16-2×2×4×又AB2＝AD2+BD2，

∴△ABD是直角三角形，∠ADB＝90°，

1＝12. 2即AD⊥BD.在△PDB中，PD＝3，PB＝15，BD＝12， ∴PB2＝PD2+BD2，故得

PD⊥BD.又PD∩AD＝D，

第16题图解

∴BD⊥平面PAD.

(2)由BD⊥平面PAD，BD平面ABCD. ∴平面PAD⊥平面ABCD.作PE⊥AD于E， 又PE平面PAD，

∴PE⊥平面ABCD，∴∠PDE是PD与底面ABCD所成的角. ∴∠PDE＝60°，∴PE＝PDsin60°＝3作EF⊥BC于F，连PF，则PF⊥BF， ∴∠PFE是二面角P—BC—A的平面角. 又EF＝BD＝12，在Rt△PEF中，

33. 223PE3tan∠PFE＝. 2EF234故二面角P—BC—A的大小为arctan

3. 417.连结AC1，∵

ACMC13622CC1. C1A1∴Rt△ACC1∽Rt△MC1A1， ∴∠AC1C=∠MA1C1，

∴∠A1MC1+∠AC1C=∠A1MC1+∠MA1C1=90°. ∴A1M⊥AC1,又ABC-A1B1C1为直三棱柱，

∴CC1⊥B1C1，又B1C1⊥A1C1，∴B1C1⊥平面AC1M. 由三垂线定理知AB1⊥A1M.

点评：要证AB1⊥A1M，因B1C1⊥平面AC1，由三垂线定理可转化成证AC1⊥A1M，而AC1⊥A1M一定会成立． 18.(1)证明：在正方形ABCD中， ∵△MPD∽△CPB，且MD＝

1BC， 2∴DP∶PB＝MD∶BC＝1∶2. 又已知D′N∶NB＝1∶2，

由平行截割定理的逆定理得NP∥DD′，又DD′⊥平面ABCD， ∴NP⊥平面ABCD.

(2)∵NP∥DD′∥CC′，

∴NP、CC′在同一平面内，CC′为平面NPC与平面CC′D′D所成二面角的棱. 又由CC′⊥平面ABCD，得CC′⊥CD，CC′⊥CM， ∴∠MCD为该二面角的平面角. 在Rt△MCD中可知 ∠MCD＝arctan

1，即为所求二面角的大小. 2a262(3)由已知棱长为a可得，等腰△MBC面积S1＝，等腰△MBD′面积S2＝a，设所

24求距离为h，即为三棱锥C—D′MB的高.

11∵三棱锥D′—BCM体积为S1DDS2h，

33∴h

S1a6a. S23空间中的计算

基础技能篇 类型一：点到面的距离

方法1：直接法—把点在面上的射影查出来，然后在直角三角形中计算 例1：在正四面体ABCD中，边长为a，求点A到面BCD的距离。

变式1 在正四棱锥V-ABCD中，底面ABCD边长为a,侧棱长为b.求顶点V到底面ABCD的距离。

变式2在正四棱锥V-ABCD中，底面ABCD边长为a,侧棱长为b.求顶点A到底面VCD的距离。

方法2：等体积法求距离---在同一个三棱锥中利用体积不变原理，通过转换不同的底和高来到达目的。

例2 已知在三棱锥V—ABC中，VA,VB,VC两两垂直，VA=VB=3，VC=4，求

点V到面ABC的距离。

变式1：如下列图的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其

中AB4,BC2,CC13,BE1． 〔1〕求BF的长；

〔2〕求点C到平面AEC1F的距离．

变式2 如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是四边长为1的菱形，ABC4,

OA面ABCD, OA2,．求点B到平面OCD的距离．

_ O 变式3在正四面体ABCD中，边长为a，求它的内切求的半径。 B_ 类型二：其它种类的距离的计算〔点到线，点到点 〕 例3 如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是四边长为1的菱形，ABC面ABCD, OA2,M为OC的中点，求AM和点A到直线OC的距离．

_ A_ C4, OA_ D_ O _ A_ B_ C_ D

举一反三

1．正三棱锥P-ABC高为2，侧棱与底面所成角为45，则点A 到侧面PBC的距离是

A．45 B．65 C．6 D．46 2．如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为1，高为8，一质点自A点 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为 ．． A．10 B．20 C．30 D．40 二、填空题：

3．太阳光照射高为3m的竹竿时，它在水平地面上的射影 为1m，同时，照射地面上一圆球时，如下列图，其影子 的长度AB等于33cm,则该球的体积为_________．

4．假设一个正三棱柱的三视图如以下列图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为___ ．

2

23 主视图

俯视图 左视图

三、解答题：

5．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为1，M是底面BC边上的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝2C1N．求点B1到平面AMN的距离．

6．一个多面体的直观图及三视图如下列图：〔其中M、N分别是AF、BC的中点〕. 〔1〕求证：MN∥平面CDEF； 〔2〕求多面体A—CDEF的体积． 7．一个多面体的直观图和三视图如下列图，其中M、N分别是AB、AC的中点，G是DF上的一动点. 〔1〕求证：GNAC;

〔2〕当FG=GD时，在棱AD上确定一点P，使得GP//平面FMC,并给出证明．

F主视图左视图

Ga D aa俯视图AMENBC

8．如图，已知正四棱锥SABCD,设E为AB的中点，F为SC的中点，M为CD边上

S 的点．

〔1〕求证：EF//平面SAD；

F 〔2〕试确定点M的位置，使得平面EFM底面ABCD．

C D

O A B E

9一个多面体的直观图、主视图、左视图、俯视图如下列图，M、N分别为A1B、B1C1 的中点．

a AC N B a M

C A 主视图 BMN//平面ACC1A1； （1） 求证：aaaa2a左视图

俯视图

（2） 求证：MN平面A1BC．〔3〕求点A到面ANM的距离 10正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面边长为2BC的中点，EF∩BD=G.

〔Ⅰ〕求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1； 〔Ⅱ〕求点D1到平面B1EF的距离d； 〔Ⅲ〕求三棱锥B1—EFD1的体积V.

S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，且AC=BC=5，SB=5〔Ⅰ〕证明：SC⊥BC；

〔Ⅱ〕求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小； 〔Ⅲ〕求三棱锥的体积VS－ABC.

2，侧棱长为4. E，F分别为棱AB，

5.〔如图9—21〕

图9—21