专题：三角形的五心汇总

专题:三角形的五心

三角形五心将在本节详细介绍,其难度较大,望量力而行

三角形中有许多重要的特殊点,特别是三角形的“五心”，在解题时有很多应用,在本节中将分别给予介绍． 三角形的“五心\"指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心． 1、三角形的外心

三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心（外接圆圆心)．

AO三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等． 都等于三角形的外接圆半径． 锐角三角形的外心在三角形内； 直角三角形的外心在斜边中点; 钝角三角形的外心在三角形外． 2、三角形的内心

三角形的三条内角平分线交于一点，这点称为三角形的内心(内切圆圆心）． 三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径． 内切圆半径r的计算：

设三角形面积为S，并记p=错误!(a+b+c)，则r=错误!． 特别的，在直角三角形中,有 r=错误!(a+b－c）． 3、三角形的重心

BCAMIBDHAFEGDCFEKC三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心．

上面的证明中,我们也得到了以下结论：三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2． 4、三角形的垂心

三角形的三条高交于一点，这点称为三角形的垂心．

斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组\"．

5、三角形的旁心

三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心）． 每个三角形都有三个旁切圆． A类例题 例1 证明重心定理。

证法1 如图，D、E、F为三边中点，设BE、CF交于G，连接EF，显然EF错误!

BABFDCEIaAFB错误!BC，由三角形相似可得GB＝2GE，GC=2GF．

又设AD、BE交于G’，同理可证G'B=2G’E，G’A=2G’D，即G、G'都是BE上

从B到E的三分之二处的点，故G’、G重合． 即三条中线AD、BE、CF相交于一点G．

AGDEFGHBDEICC

证法2 设BE、CF交于G，BG、CG中点为H、I．连EF、FH、HI、IE,

因为EF错误!错误!BC，HI错误!错误!BC，

所以 EFHI为平行四边形．

所以 HG=GE、IG=GF,GB=2GE，GC=2GF．

同证法1可知AG=2GD，AD、BE、CF共点． 即定理证毕．

链接 证明外心、内心定理是很容易的。 外心定理的证明：如图，设AB、BC的中垂线交于点O，则有OA=OB=OC,故O也在AC的中垂线上，因为O到三顶点的距离相等，故点O是ΔABC外接圆的圆心．因而称为外心． AO 内心定理的证明：如图,设∠A、∠C的平分线相交于I、过I作ID⊥BC，IE⊥AC,IF⊥AB，则有IE=IF=ID．因此I也在∠C的平分线上，即三角形三内角平分线交于一点． 上述定理的证法完全适用于旁心定理,请同学们自己完成． BCAMIBDHEKCF 例2证明垂心定理 C'AFEB'分析 我们可以利用构造外心来进行证明。 证明 如图，AD、BE、CF为ΔABC三条高，过点A、B、C分别作对边的平行线相交成ΔA'B’C’，显然AD为B'C'的中垂线；同理BE、CF也分别B为A'C’、A'B’的中垂线，由外心定理，它们交于一点，命题得证． A'DC链接 （1）对于三线共点问题还可以利用Ceva定理进行证明，同学们可以参考第十八讲的内容.（Ceva定理）设X、Y、Z分别为△ABCAZ的边BC、CA、AB上的一点,则AX、BY、CZ所在直线交于一点的充要条件是·错误!·错误!=1． ZB（2）对于三角形的五心,还可以推广到n边形,例如,如果我们称n（≥3）边形某顶点同除该点以外的n-1个顶点所决定的n—1边形的重心的连线,为n边形的中线，（当n-1=2时，n—1边形退化成一线段，此时重心即为线段的中心）那么重心定理可推广如下：n边形的各条中线（若有重合，只算一条）相交于一点，各中线被该点分为：（n—1）∶1的两条线段,这点叫n边形的重心．请同学们自己研究一下其他几个“心\"的推广。

情景再现

1．设G为△ABC的重心，M、N分别为AB、CA的中点，求证:四边形GMAN和△GBC

AMNGCB

的面积相等．

2．三角形的任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边的距离的二倍．

B类例题 例3 过等腰△ABC底边BC上一点P引PM∥CA交AB于M；引PN∥BA交AC于N。 作点P关于MN的对称点P’.试证：P’点在△ABC外接圆上。(杭州大学《中学数学竞赛习题》) 分析 分析点M和N的性质,即能得到解题思路。 证明 由已知可得MP’=MP=MB，NP’=NP=NC,

故点M是△P’BP的外心，点N是△P'PC的外心.于是有 ∠BP'P=错误!∠BMP=错误!∠BAC， ∠PP'C=错误!∠PNC=错误!∠BAC. ∴∠BP’C=∠BP’P+∠P'PC=∠BAC。

从而，P’点与A、B、C共圆，即P’在△ABC外接圆上。

链接 本题可以引出更多结论，例如P’P平分∠BP'C、P'B：P’C=BP：PC等等．

例4 AD，BE，CF是△ABC的三条中线,P是任意一点

证明：在△PAD，△PBE，△PCF中,其中一个面积等于另外两个面积的和。 （第26届莫斯科数学奥林匹克）

证明 设G为△ABC重心,直线PG与AB,BC相交.从A，C,D，E，F分别作该直线的垂线,垂足为A',C'，

D',E'，F'。

易证AA’=2DD',CC’=2FF’，2EE'=AA'+CC’, ∴EE'=DD’+FF'。 有S△PGE=S△PGD+S△PGF。

两边各扩大3倍，有S△PBE=S△PAD+S△PCF.

例5 设A1A2A3A4为⊙O内接四边形,H1，H2，H3，H4依次为△A2A3A4，△A3A4A1,△A4A1A2，△A1A2A3的垂心.求证:H1，H2，H3,H4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置。 (1992,全国高中联赛） 证明 连接A2H1，A1H2，H1H2，记圆半径为R.由△A2A3A4知

P'ANBMPCAA'F'FGBDEE'D'C'CP

A2H1sinA2A3H1=2R

A2H1=2Rcos∠A3A2A4；

A2H1A1 由△A1A3A4得 A1H2=2Rcos∠A3A1A4. 但∠A3A2A4=∠A3A1A4，故A2H1=A1H2。 易证A2H1∥A1A2，于是，A2H1错误!A1H2,

故得H1H2错误!A2A1.设H1A1与H2A2的交点为M，故H1H2与A1A2关于M点成中心对称.

O.H2A4A3 同理,H2H3与A2A3,H3H4与A3A4,H4H1与A4A1都关于M点成中心对称.故四边形H1H2H3H4与四边形A1A2A3A4关于M点成中心对称，

两者是全等四边形，H1，H2,H3，H4在同一个圆上。后者的圆心设为Q，Q与O也关于M成中心对称。由O，M两点，Q点就不难确定了.

链接三角形的五心有许多重要性质，它们之间也有很密切的联系，如: （1)三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；

(2）三角形的外心到三顶点的距离相等； （3）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心; （4）三角形的内心、旁心到三边距离相等； （5）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心； （6）三角形的外心是它的中点三角形的垂心; （7）三角形的重心也是它的中点三角形的重心； （8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心．

情景再现

3．在△ABC的边AB，BC，CA上分别取点P，Q，S.

证明以△APS，△BQP，△CSQ的外心为顶点的三角形与△ABC相似. （B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)

4．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真。

C类例题 例6 H为△ABC的垂心，D,E，F分别是BC，CA，AB的中心.一个以H为圆心的⊙H交直线EF,FD,DE于A1，A2，B1,B2，C1，C2。 求证：AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2。 (19，加拿大数学奥林匹克训练题) 分析 只须证明AA1=BB1=CC1即可。

证明 设BC=a， CA=b，AB=c，△ABC外接圆半径为R，⊙H的半径为r. 连HA1,AH交EF于M. A

B2A1BFH2MAEC1A2CA222222 1=AM+A1M=AM+r-MH

HDC2H1=r2+（AM2—MH2）， ①

又AM2—HM2=(

错误!AH1

)2—(AH—

错误!AH1

）2

=AH·AH1—AH2=AH2·AB—AH2

B1=cosA·bc—AH2， ②

而

AH=2RAH2=4R2cos2A,

sinABHa=2Ra2=4R2sin2A。

sinA∴AH2+a2=4R2，AH2=4R2-a2. ③ 由①、②、③有

A

A221=r+

b2c2a22bc·bc—(4R2—a2)

=错误! （a2+b2+c2)—4R2+r2.

同理，BB1=

21222

（a+b+c）—4R2+r2， 2CC12=错误! （a2+b2+c2）-4R2+r2.

故有AA1=BB1=CC1.

例7 已知⊙O内接△ABC，⊙Q切AB,AC于E,F且与⊙O内切。试证：EF中点P是△ABC之内心。（B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》）

证明 如图,显然EF中点P、圆心Q，错误!中点K都在∠BAC平分线上。易知AQ=

rsinααrPQ.

∵QK·AQ=MQ·QN，

MREA ∴QK=

MQQNAQ

OBFN =

(2Rr)r=sin(2Rr)。

r/sinCKsinr。

∴PK=PQ+QK=sinr+sin(2Rr)=sin2R。

由Rt△EPQ知PQ= ∴PK=BK。

利用内心等量关系之逆定理,即知P是△ABC这内心。

说明 在第20届IMO中，美国提供的一道题实际上是例7的一种特例，但它增加了条件AB=AC.

例8 在直角三角形中，求证:r+ra+rb+rc=2p.式中r，ra,rb，rc分别表示内切圆半径及与a，b，c相切的旁切圆半径，p表示半周。 （杭

州大学《中学数学竞赛习题》）

证明 设Rt△ABC中，c为斜边，先来证明一个特性：

p(p—c)=(p-a）（p-b）.

∵p(p-c）= 错误! （a+b+c）·错误!(a+b—c) =错误![（a+b)2—c2］ =错误!ab;

(p-a)(p—b)= 错误!(-a+b+c)·错误!（a-b+c） =错误!

[c2-(a—b)2]=

rcO3OKAO2rbrEC错误!ab。

BO1ra∴p(p-c)=（p—a)(p—b)。 ① 观察图形，可得 ra=AF—AC=p-b， rb=BG—BC=p—a, rc=CK=p。

而r=错误!（a+b-c）=p—c。

∴r+ra+rb+rc =（p-c）+(p—b）+(p—a）+p =4p—（a+b+c）=2p. 由①及图形易证。

例9 M是△ABC边AB上的任意一点。r1，r2，r分别是△AMC，△BMC，△ABC内切圆的半径,q1,q2，q分别是上述三角形在∠ACB内部

的旁切圆半径。证明

r1q1·

r2r=q2q。（IMO-12）

证明 对任意△A'B’C’,由正弦定理可知

OD=OA'·sin

A'

2

A'..EC'OD.B'O'

B'A'2 =A’B’··sin 2sinA'O'B'sinsin =A'B'·

A'B'sin22A'B'sin2cos，

O’E= A’B’·

A'B'cos22A'B'sin2.

∴

ODA'B'tgtg。

O'E22r2ACMACNBB=tgtgtgtg q22222亦即有

r1q1·

=tgABrtg=。 22q例10 锐角△ABC中，O，G，H分别是外心、重心、垂心。设外心到三边距离和为d外，重心到三边距离和为d重,垂心到三边距离和为d垂。

求证：1·d垂+2·d外=3·d重.

证明 设△ABC外接圆半径为1，三个内角记为A，B，

C. 易知d外=OO1+OO2+OO3

=cosA+cosB+cosC，

∴2d外=2(cosA+cosB+cosC)。 ① ∵AH1=sinB·AB=sinB·（2sinC)=2sinB·sinC， 同样可得BH2·CH3. ∴3d重=△ABC三条高的和

=2·(sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB） ②

AH3G3O3OIBGH1O2G2H2CO1G1 ∴

BHsinBCH=2，

∴HH1=cosC·BH=2·cosB·cosC. 同样可得HH2，HH3. ∴d垂=HH1+HH2+HH3

=2(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB) ③ 欲证结论,观察①、②、③,

须证（cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB)+（ cosA+ cosB+ cosC）=sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB。即可。 说明 本题用了三角法。

情景再现

5.设在圆内接凸六边形ABCDFE中，AB=BC，CD=DE，EF=FA.试证：(1）AD，BE，CF三条对角线交于一点;(2）AB+BC+CD+DE+EF+FA≥AK+BE+CF。

（1991，国家教委数学试验班招生试题）

6．△ABC的外心为O,AB=AC，D是AB中点，E是△ACD的重心。证明OE丄CD。 （加拿大数学奥林匹克训练题）

7．△ABC中∠C=30°，O是外心，I是内心，边AC上的D点与边BC上的E点使得AD=BE=AB.求证：OI丄DE，OI=DE. （1988，中

国数学奥林匹克集训题）

习题17

1．在△ABC中，∠A是钝角，H是垂心，且AH=BC,则cos∠BHC=（ ）

A．－错误!错误! B．错误!错误! C．错误! D．错误! 2．如果一个三角形的面积与周长都被一条直线平分，则此直线一定通过三角形的（ ）

A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心(1996年全国初中联赛)

3．（1997年安徽省初中数学竞赛）若0°〈<90°，那么，以sin，cos，tancot为三边的三角形有内切圆、外接圆的半径之和是（ )

A．错误! B．错误! C．2sincos D．错误! 4．ΔABC中，∠A=45,BC=a,高BE、CF交于点H，则AH=（ ）

A．错误!a B．错误!错误!a C．a D．错误!a 5．下面三个命题中：

⑴ 设H为ΔABC的高AD上一点，∠BHC+∠BAC=180，则点H是ΔABC的垂心； ⑵ 设G为ΔABC的中线AD上一点，且SΔAGB=SΔBGC，则点G是ΔABC的重心；

⑶ 设E是ΔABC的外角∠BAK的角平分线与ΔABC的外接圆⊙O的交点，ED是⊙O的直径，I在线段AD上，且DI=DB,则I是ΔABC的内心．

CIrORABAF正确命题的个数是（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

6．设ΔABC的∠A=60,求证：ΔABC的外心O、内心I、垂心H及点B、C五点在同一个圆上．

7．已知P是□ABCD内的一点，O为AC与BD的交点，M、N分别为PB、PC中点，Q为AN与DM的交点．求证：

⑴ P、Q、O三点在一条直线上; ⑵ PQ=2OQ．

8.I为△ABC之内心，射线AI，BI，CI交△ABC外接圆于A′，

B′，C ′。则AA′+BB′+CC′＞△ABC周长.（1982，澳大利亚数学奥林匹克）

9.△T′的三边分别等于△T的三条中线，且两个三角形有一组角相等。求证这两个三角形相似。（19，捷克数学奥林匹克）

ADPQOHEBDC

CNMB

10。I为△ABC的内心。取△IBC，△ICA，△IAB的外心O1，O2，O3。求证：△O1O2O3与△ABC有公共的外心.(1988，美国数学奥林匹克) 11.AD为△ABC内角平分线。取△ABC,△ABD，△ADC的外心O,O1，O2.则△OO1O2是等腰三角形.

12.△ABC中∠C＜90°，从AB上M点作CA，CB的垂线MP，MQ。H是△CPQ的垂心.当M是AB上动点时，求H的轨迹.（IMO—7)

本节“情景再现”解答

1．证明 如图，连GA，因为M、N分别为AB、CA的中点，所以△AMG的面积=△GBM的面积,△GAN的面积=△GNC的面积， 即四边形GMAN和△GBC的面积相等．

2．证明 如图，O为ΔABC的外心，H为垂心，连CO交ΔABC外接圆于D，连DA、DB，则DA⊥AC，BD⊥BC，又AH⊥BC，BH⊥AC．所以DA∥BH，BD∥AH，从而四边形DAHB为平行四边形。又显然DB=2OM，所以AH=2OM． 同理可证 BH=2ON，CH=2OK．证毕．

3．提示：设O1，O2，O3是△APS，△BQP，△CSQ的外心，作出六边形O1PO2QO3S

后再由外心性质可知∠PO1S=2∠A,∠QO2P=2∠B，∠SO3Q=2∠C。 ∴∠PO1S+∠QO2P+∠SO3Q=360°.从而又知∠O1PO2+∠O2QO3+∠O3SO1=360° 将△O2QO3绕着O3点旋转到△KSO3，易判断△KSO1≌△O2PO1， 同时可得△O1O2O3≌△O1KO3。∴∠O2O1O3=∠KO1O3=错误!∠O2O1K

=错误! （∠O2O1S+∠SO1K)= 错误! （∠O2O1S+∠PO1O2)= 错误!∠PO1S=∠A； 同理有∠O1O2O3=∠B.故△O1O2O3∽△ABC.

4．提示：将△ABC简记为△,由三中线AD，BE，CF围成的三角形简记为△'。G为重心，连DE到H，使EH=DE，连HC，HF，则△’就

是△HCF. （1）a2，b2，c2成等差数列

AMNGCBADKOHNBMC△∽△’。若△ABC为正三角形，易证△∽△'。不妨设a≥b≥c,有

12c22a2b22，AD=

CF=

12a22b2c22，BE=

12b22c2a22。

将a2+c2=2b2，分别代入以上三式，得CF=

333a，BE=b，AD=c. 222333a：b:c=a：b:c. 故有△∽△′。 222 （2）△∽△′a2，b2,c2成等差数列.当△中a≥b≥c时，

∴CF:BE：AD =

△′中CF≥BE≥AD.∵△∽△′，∴

S'S＝（

CFa)2.

S'33 据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的”，有=.

S44CF23 ∴=3a2=4CF2=2a2+b2-c2a2+c2=2b2. 2a4

5.证明 连接AC，CE，EA，由已知可证AD，CF，EB是△ACE的三条内角平分线，I为△ACE的内心.从而有ID=CD=DE，IF=EF=FA，IB=AB=BC。 再由△BDF，易证BP，DQ,FS是它的三条高,I是它的垂心,利用 不等式有：

..Erdos BI+DI+FI≥2·(IP+IQ+IS). 不难证明IE=2IP，IA=2IQ，IC=2IS.

∴BI+DI+FI≥IA+IE+IC. ∴AB+BC+CD+DE+EF+FA=2(BI+DI+FI)

AFBQSCIPED

≥(IA+IE+IC）+(BI+DI+FI）=AD+BE+CF。 I就是一点两心.

6．提示：设AM为高亦为中线，取AC中点

F，E必在DF上且DE：EF=2:1。设 CD交AM于G，G必为△ABC重心.

AEGOBKCD连GE,MF，MF交DC于K。易证:

F111DG:GK=DC:（)DC=2:1.

323 ∴DG:GK=DE：EF

GE∥MF.

∵OD丄AB，MF∥AB， ∴OD丄MF

OD丄GE.但OG丄DEG又是△ODE之垂心。

易证OE丄CD。

7．提示：辅助线如图所示，作∠DAO平分线交BC于K。 易证△AID≌△AIB≌△EIB，

∠AID=∠AIB=∠EIB.

利用内心张角公式，有

∠AIB=90°+错误!∠C=105°，

AIBFD30°COEK ∴∠DIE=360°—105°×3=45°。 ∵∠AKB=30°+错误!∠DAO=30°+错误! (∠BAC-∠BAO）=30°+错误! (∠BAC—60°）

=错误!∠BAC=∠BAI=∠BEI.

∴AK∥IE. 由等腰△AOD可知DO丄AK，∴DO丄IE，即DF是△DIE的一条高。 同理EO是△DIE之垂心，OI丄DE.由∠DIE=∠IDO,易知OI=DE。

习题17解答

1． B；2．A；3．A；4．C；5．选B，只有（3)是对的;

6．略；7．略；8。略；9.略；10.略；11.略；12。 H的轨迹是一条线段。 补充：

第五讲 三角形的五心

三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心.

一、外心。

三角形外接圆的圆心,简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理。

例1．过等腰△ABC底边BC上一点P引PM∥CA交AB于M；引PN∥BA交AC于N.作点P关于MN的对称点P′。试证:P′点在△ABC

外接圆上。

(杭州大学《中学数学竞赛习题》)

分析：由已知可得MP′=MP=MB，NP′=NP

=NC,故点M是△P′BP的外心，点 N是△P′PC的外心.有

P'ANBMPC

∠BP′P=

11∠BMP=∠BAC， 2211∠PNC=∠BAC. 22 ∠PP′C=

∴∠BP′C=∠BP′P+∠P′PC=∠BAC。

从而,P′点与A,B,C共圆、即P′在△ABC外接圆上。 由于P′P平分∠BP′C，显然还有 P′B：P′C=BP：PC.

例2．在△ABC的边AB,BC，CA上分别取点P，Q，S。证明以△APS,△BQP，△CSQ的外心为顶点的三角形与△ABC相似。 (B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》） 分析：设O1，O2,O3是△APS，△BQP，

△CSQ的外心，作出六边形 O1PO2QO3S后再由外 心性质可知

∠PO1S=2∠A， ∠QO2P=2∠B， ∠SO3Q=2∠C。

∴∠PO1S+∠QO2P+∠SO3Q=360°.从而又知∠O1PO2+

∠O2QO3+∠O3SO1=360°

将△O2QO3绕着O3点旋转到△KSO3，易判断△KSO1≌△O2PO1，同时可得△O1O2O3≌△O1KO3.

APO1....SKCBO2QO3 ∴∠O2O1O3=∠KO1O3=

1∠O2O1K 2 =

1（∠O2O1S+∠SO1K） 21（∠O2O1S+∠PO1O2） 21∠PO1S=∠A； 2 =

=

同理有∠O1O2O3=∠B。故△O1O2O3∽△ABC. 二、重心

三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每 条中线都分成定比2：1及中线长度公式，便于解题。

例3．AD，BE，CF是△ABC的三条中线，P是任意一点.证明：在△PAD，△PBE，△PCF中,其中一个面积等于另外两个面积的和. (第26届莫斯科数学奥林匹克) 分析：设G为△ABC重心，直线PG与AB

，BC相交。从A，C，D，E,F分别 作该直线的垂线，垂足为A′，C′， D′，E′，F′。

AA'F'FGBDEE'D'C'CP

易证AA′=2DD′，CC′=2FF′，2EE′=AA′+CC′， ∴EE′=DD′+FF′。 有S△PGE=S△PGD+S△PGF.

两边各扩大3倍，有S△PBE=S△PAD+S△PCF。

例4．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似。其逆亦真.

分析:将△ABC简记为△，由三中线AD,BE,CF围成的三角形简记为△′.G为重心,连DE到H，使EH=DE，连HC，HF，则△′就是△

HCF.

（1)a2，b2，c2成等差数列

△∽△′。

若△ABC为正三角形，易证△∽△′。 不妨设a≥b≥c，有

CF=

12a22b2c2212c22a2b2212b22c2a22，

BE=，

AD=。

将a2+c2=2b2，分别代入以上三式,得

CF=

333a，BE=b，AD=c。 222333a：b:c 222 ∴CF：BE：AD =

=a:b:c. 故有△∽△′. （2）△∽△′

a2,b2,c2成等差数列.

当△中a≥b≥c时, △′中CF≥BE≥AD. ∵△∽△′，

∴

S'S＝（

CFa）2。

S'33 据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的”,有=。

S44CF23 ∴=3a2=4CF2=2a2+b2-c2

2a4a2+c2=2b2.

三、垂心

三角形三条高的交战,称为三角形的垂心。由三角形的垂心造成的四个等（外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利。 例5．设A1A2A3A4为⊙O内接四边形，H1,H2，H3，H4依次为

△A2A3A4，△A3A4A1，△A4A1A2,△A1A2A3的垂心.求证：H1,H2，H3，H4四点共圆,并确定出该圆的圆心位置。

（1992，全国高中联赛）

分析：连接A2H1，A1H2，H1H2，记圆半径

为R。由△A2A3A4知

A2H1A1

A2H1sinA2A3H1O.H2A4=2R

A2H1=2Rcos∠A3A2A4;

A3 由△A1A3A4得

A1H2=2Rcos∠A3A1A4。

但∠A3A2A4=∠A3A1A4，故A2H1=A1H2。 易证A2H1∥A1A2，于是，A2H1 A1H2，

∥ 故得H1H2 A2A1.设H=1A1与H2A2的交点为M，故H1H2与A1A2关于M点成中心对称.

同理，H2H3与A2A3，H3H4与A3A4，H4H1与A4A1都关于M点成中心对称。故四边形H1H2H3H4与四边形A1A2A3A4关于M点成中心对

称，两者是全等四边形,H1，H2，H3，H4在同一个圆上。后者的圆心设为Q,Q与O也关于M成中心对称。由O,M两点，Q点就不难确定了。

例6．H为△ABC的垂心，D，E，F分别是BC，CA，AB的中心。一个以H为圆心的⊙H交直线EF，FD，DE于A1，A2，B1，B2，C1，

C2。

求证：AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2. （19,加拿大数学奥林匹克训练题） 分析：只须证明AA1=BB1=CC1即可。设

BC=a， CA=b，AB=c，△ABC外 接圆半径为R，⊙H的半径为r.

连HA1，AH交EF于M。 A

∥=B2A1BFH2MAEC1A2CHDC2H1A222222 1=AM+A1M=AM+r-MH

B1

=r2+（AM2-MH2）, ①

又AM2—HM2=(

11AH1）2—(AH—AH1）2 22 =AH·AH1—AH2=AH2·AB-AH2

=cosA·bc—AH2， ②

而

AH=2RAH2=4R2cos2A,

sinABHa=2Ra2=4R2sin2A。

sinA∴AH2+a2=4R2，AH2=4R2-a2. ③ 由①、②、③有

A

A221=r+

b2c2a22bc·bc-（4R2-a2)

=

1222

(a+b+c）-4R2+r2. 2

同理，BB1=

2122222

(a+b+c)-4R+r， 2CC12=

1222

（a+b+c）-4R2+r2。 2故有AA1=BB1=CC1。

四、内心

三角形内切圆的圆心，简称为内心。对于内心,要掌握张角公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系：

设I为△ABC的内心,射线AI交△ABC外接圆于A′，则有A ′I=A′B=A′C.换言之，点A′必是△IBC之外心（内心的等量关系

之逆同样有用）。

例7．ABCD为圆内接凸四边形，取

△DAB，△ABC,△BCD， △CDA的内心O1， O2,O3, O4。求证：O1O2O3O4为矩形.

（1986，中国数学奥林匹克集训题） 证明见《中等数学》1992；4

例8．已知⊙O内接△ABC，⊙Q切AB,AC于E，F且与⊙O内切.试证：EF中点P是△ABC之内心.

(B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)

分析：在第20届IMO中，美国提供的一道题实际上是例8的一种特例，但它增加了条件AB=AC。当AB≠AC，怎样证明呢?

O1DO4O3CO2BA 如图，显然EF中点P、圆心Q，BC中点K都在∠BAC平分线上.易知AQ=

rsinE。

∵QK·AQ=MQ·QN，

MRA ∴QK=

MQQNAQααrPQFNC

OBK =

(2Rr)r=sin(2Rr)。

r/sinsinr.

∴PK=PQ+QK=sinr+sin(2Rr)=sin2R.

由Rt△EPQ知PQ= ∴PK=BK。



利用内心等量关系之逆定理，即知P是△ABC这内心. 五、旁心

三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于 一点，是旁切圆的圆心，称为旁心。旁心常常与内心联系在一起， 旁心还与三角形的半周长关系密切。

例9．在直角三角形中，求证：r+ra+rb+rc=2p。

式中r,ra，rb，rc分别表示内切圆半径及与a,b，c相切的旁切圆半径，p表示半周。 （杭州大学《中学数学竞赛习题》）

分析：设Rt△ABC中,c为斜边，先来证明一个特性：

p(p-c）=(p-a）(p-b)。

rcO3OKAO2r

∵p(p—c）=

11（a+b+c）·（a+b-c） 22 =

1［(a+b）2-c2］ 41ab； 211（—a+b+c）·（a—b+c) 22 =

（p—a）（p—b）=

=

121[c-（a—b)2］=ab。 42∴p（p-c）=（p—a）（p-b)。 ① 观察图形，可得 ra=AF—AC=p-b， rb=BG—BC=p—a， rc=CK=p。

而r=

1（a+b—c) 2 =p-c. ∴r+ra+rb+rc

=（p—c）+（p—b）+(p-a)+p =4p-(a+b+c）=2p。 由①及图形易证.

例10．M是△ABC边AB上的任意一点.r1，r2，r分别是△AMC,△BMC，△ABC内切圆的半径，q1，q2，q分别是上述三角形在∠ACB内

部的旁切圆半径.证明：

r1q1·

r2r=q2q.

(IMO-12)

分析：对任意△A′B′C′，由正弦定理可知

OD=OA′·sinA' 2OA'..EDC'B'A'2 =A′B′··sin 2sinA'O'B'sin.B'O'sin =A′B′·

A'B'sin22A'B'sin2，

cosO′E= A′B′·

A'B'cos22A'B'sin2。

∴

ODA'B'tgtg.

O'E22r2ACMACNBB=tgtgtgtg q22222亦即有

r1q1·

=tgABrtg=. 22q六、众心共圆

这有两种情况:(1）同一点却是不同三角形的不同的心;(2)同一图形出现了同一三角形的几个心。

例11．设在圆内接凸六边形ABCDFE中,AB=BC，CD=DE,EF=FA.试证:（1)AD，BE,CF三条对角线交于一点； (2)AB+BC+CD+DE+EF+FA≥AK+BE+CF. (1991，国家教委数学试验班招生试题）

分析：连接AC，CE，EA，由已知可证AD，CF，EB是△ACE的三条内角平分线，I为△ACE的内心。从而有ID=CD=DE， IF=EF=FA, IB=AB=BC。

再由△BDF，易证BP，DQ,FS是它的三条高，I是它的垂心，利用 不等式有:

..Erdos BI+DI+FI≥2·（IP+IQ+IS）。

AFBQSCIPE 不难证明IE=2IP，IA=2IQ，IC=2IS. ∴BI+DI+FI≥IA+IE+IC. ∴AB+BC+CD+DE+EF+FA =2(BI+DI+FI)

≥(IA+IE+IC)+（BI+DI+FI) =AD+BE+CF。 I就是一点两心。

例12．△ABC的外心为O，AB=AC，D是AB中点,E是△ACD的重心.证明OE丄CD. （加拿大数学奥林匹克训练题) 分析：设AM为高亦为中线,取AC中点

F，E必在DF上且DE：EF=2:1。设

DAEGOBKCDCD交AM于G，G必为△ABC重心。 连GE，MF，MF交DC于K.易证：

FDG:GK=

111)DC=2：1. DC：（

323 ∴DG：GK=DE:EF

GE∥MF。

∵OD丄AB，MF∥AB，

∴OD丄MF

OD丄GE.但OG丄DEG又是△ODE之垂心。

易证OE丄CD.

例13．△ABC中∠C=30°，O是外心，I是内心，边AC上的D点与边BC上的E点使得AD=BE=AB.求证：OI丄DE，OI=DE. （1988,中国数学奥林匹克集训题)

分析：辅助线如图所示，作∠DAO平分线交BC于K。 易证△AID≌△AIB≌△EIB，

∠AID=∠AIB=∠EIB.

利用内心张角公式，有

AIBFD30°COEK1 ∠AIB=90°+∠C=105°,

2 ∴∠DIE=360°-105°×3=45°.

∵∠AKB=30°+

1∠DAO 2 =30°+

1(∠BAC-∠BAO) 21(∠BAC-60°) 2 =30°+

=

1∠BAC=∠BAI=∠BEI。 2 ∴AK∥IE.

由等腰△AOD可知DO丄AK， ∴DO丄IE，即DF是△DIE的一条高。 同理EO是△DIE之垂心，OI丄DE。 由∠DIE=∠IDO,易知OI=DE。

例14．锐角△ABC中，O,G，H分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d外，重心到三边距

离和为d重，垂心到三边距离和为d垂. 求证：1·d垂+2·d外=3·d重。

分析:这里用三角法。设△ABC外接圆

半径为1，三个内角记为A,B, C。 易知d外=OO1+OO2+OO3

=cosA+cosB+cosC，

∴2d外=2(cosA+cosB+cosC）。 ① ∵AH1=sinB·AB=sinB·（2sinC)=2sinB·sinC, 同样可得BH2·CH3. ∴3d重=△ABC三条高的和

=2·（sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB) ②

AH3G3O3OIBGH1O2G2H2CO1G1 ∴

BHsinBCH=2，

∴HH1=cosC·BH=2·cosB·cosC. 同样可得HH2,HH3. ∴d垂=HH1+HH2+HH3

=2(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB） ③ 欲证结论，观察①、②、③，

须证（cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB）+( cosA+ cosB+ cosC)=sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB.即可.

练 习 题

1.I为△ABC之内心，射线AI，BI,CI交△ABC外接圆于A′，

B′，C ′。则AA′+BB′+CC′＞△ABC周长。（1982，澳大利 亚数学奥林匹克)

2.△T′的三边分别等于△T的三条中线，且两个三角形有一组角相等.求证这两个三角形相似.（19，捷克数学奥林匹克)

3。I为△ABC的内心。取△IBC,△ICA，△IAB的外心O1，O2,O3.求证：△O1O2O3与△ABC有公共的外心。（1988，美国数学奥林匹克) 4。AD为△ABC内角平分线.取△ABC,△ABD，△ADC的外心O,O1，O2。则△OO1O2是等腰三角形。

5.△ABC中∠C＜90°，从AB上M点作CA,CB的垂线MP，MQ。H是△CPQ的垂心。当M是AB上动点时，求H的轨迹。(IMO—7）

6。△ABC的边BC=

1（AB+AC），取AB，AC中点M，N,G为重心，I为内心.试证:过A，M，N三点的圆与直线GI相切。（第27届莫斯2科数学奥林匹克）

7。锐角△ABC的垂心关于三边的对称点分别是H1，H2，H3。已知:H1，H2,H3,求作△ABC。(第7届莫斯科数学奥林匹克） 8.已知△ABC的三个旁心为I1，I2，I3.求证：△I1I2I3是锐角三角形。

9。AB，AC切⊙O于B，C，过OA与BC的交点M任作⊙O的弦EF.求证:(1）△AEF与△ABC有公共的内心；（2)△AEF与△ABC有一个旁心重合.

三角形五心定理 (三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心)三角形五心定理

是指三角形重心定理,外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。

一、 三角形重心定理

三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。

三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名） 重心的性质：

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1.

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小.

4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3)/3。

二、三角形外心定理

三角形外接圆的圆心,叫做三角形的外心。

外心的性质:

1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。

2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。

3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部;当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部;当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c2=d1d3,c3=d1d2；c=c1+c2+c3。重心坐标:（ (c2+c3）/2c，(c1+c3）/2c，（c1+c2）/2c ）。 5、外心到三顶点的距离相等 三、三角形垂心定理

三角形的三条高（所在直线)交于一点，该点叫做三角形的垂心. 垂心的性质:

1、三角形三个顶点,三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆.

2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG∶GH=1∶2.(此直线称为三角形的欧拉线(Euler line））

3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。 4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。 定理证明

已知：ΔABC中,AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F ，求证:CF⊥AB 证明:

连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度 ∴A、B、D、E四点共圆 ∴∠ADE=∠ABE ∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC

∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 又∵∠ABE+∠BAC=90度 ∴∠ACF+∠BAC=90度 ∴CF⊥AB 因此,垂心定理成立！ 四、三角形内心定理

三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。 内心的性质：

1、三角形的三条内角平分线交于一点.该点即为三角形的内心。

2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。

3、P为ΔABC所在平面上任意一点，点I是ΔABC内心的充要条件是:向量PI=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC）/(a+b+c).

4、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点,延长AO交BC边于N,则有AO：ON=AB:BN=AC：CN=(AB+AC)：BC 五、三角形旁心定理

三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心，叫做三角形的旁心。

旁心的性质：

1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点,该点即为三角形的旁心。 2、每个三角形都有三个旁心. 3、旁心到三边的距离相等.

如图，点M就是△ABC的一个旁心。三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。

附：三角形的中心:只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心,四心合一。

有关三角形五心的诗歌 三角形五心歌（重外垂内旁）

三角形有五颗心，重外垂内和旁心, 五心性质很重要，认真掌握莫记混． 重 心

三条中线定相交,交点位置真奇巧， 交点命名为“重心”，重心性质要明了, 重心分割中线段，数段之比听分晓； 长短之比二比一，灵活运用掌握好． 外 心

三角形有六元素，三个内角有三边． 作三边的中垂线，三线相交共一点． 此点定义为外心，用它可作外接圆． 内心外心莫记混，内切外接是关键． 垂 心

三角形上作三高，三高必于垂心交． 高线分割三角形，出现直角三对整， 直角三角形有十二，构成六对相似形， 四点共圆图中有，细心分析可找清. 内 心

三角对应三顶点,角角都有平分线， 三线相交定共点，叫做“内心\"有根源； 点至三边均等距，可作三角形内切圆， 此圆圆心称“内心”，如此定义理当然．