第五章微分中值定理及其应用答案

第五章 微分中值定理及其应用

上册P178—180 习题解答

1． 设f(x0)0，f(x0)0.证明x0是函数f(x)的极小值点 .

证 f(x0)limxx0f(x)f(x0)f(x)f(x0)0，0， 在点x0的某左去心邻域内有

xx0xx0此时xx00，在点x0的该左去心邻域内有 f(x)f(x0)0， 即f(x)f(x0)； f(x0)limxx0f(x)f(x0)f(x)f(x0)0，在点x0的某右去心邻域内有0，

xx0xx0此时xx00，在点x0的该左去心邻域内有 f(x)f(x0)0， 即f(x)f(x0).

综上 , 在点x0的某去心邻域内有f(x)f(x0). 即x0是函数f(x)的极小值点 .

2. 举例说明 , Rolle定理的三个条件都不满足 , 函数仍然可以存在水平的切线 .

x2 , 2x1 ,解答: 例如函数f(x) f(x)定义在区间[ 2 , 2 ]上 , f(x)在

x1 , 1x2 .点x1间断 ,因此不满足在闭区间上连续和在开区间内可导的条件 , 并且f(2 )4, 而

f( 2 )1, f(2 )f( 2 ). 对区间[ 2 , 2 ]上的这个函数f(x), Rolle定理的三个条件都

不满足 . 但是 , f( 0 )0, 该曲线上点( 0 , 0 )处的切线仍然是水平的 . 3. 设函数f(x)在闭区间[ a , b ]上连续 , 在开区间( a , b )内可微 .

⑴ 利用辅助函数

x (x) af(x)1f(a)1 . f(b)1b

证明Lagrange中值定理 .

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证 易见函数(x)在闭区间[ a , b ]上连续 , 在开区间( a , b )内可微 ,且

af(a)1f(b)1bbf(b)1f(a)1 0, 有(a)(b). f(b)1(a) abf(a)1 0, (b) a函数(x)在区间[ a , b ]上满足Rolle定理的三个条件 , 于是由Rolle定理 , ( a , b ), 使

()0. 而

1f(x)0f(a)f(b)1 f(a)f(b)(ab)f(x). 1(x) ab()f(a)f(b)(ab)f()0, 即 f(b)f(a)f()(ba).

⑵ 说明(x)的几何意义 .

解答 2|(x)|表示以点( a , f(a) )、( b , f(b) )以及( x , f(x) )为顶点的三角形的 面积 。

4． 举例说明：

⑴ Lagrange中值定理的任一个条件不满足时 ，定理的结论就有可能不成立 .

解答 考查函数f(x) x , 0x1 , f(x)在( 0 , 1 )内可导 , 仅在点x1不连续 .

0 , x1 .易见f(1)f(0)0, 但在( 0 , 1 )内f(x)1, 因此不存在( 0 , 1 ), 使f()0.

又如函数g(x)|x|, x[ 1 , 1 ]. g(x)在( 1 , 1 )内点 x0 处不可微.

g(1)g(1)0, 不存在( 0 , 1 ), 使g()0.

⑵ Lagrange中值定理的所有条件都不满足时 ，定理的结论仍然可以成立 .

x2 , 2x1 , 在区间[ 2 , 5 ]上f(x)不满足 解答 考查函数f(x)1x5 .x1 ,

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Lagrange中值定理的任何一个条件 . 但是却有

f(5)f(2)f(0)(52), 因为f(5)f(2)0, f(0)0. 5. 设函数f(x)定义在区间[ a , b ]上 , 且对x1 , x2[ a , b ], 有

|f(x1)f(x2)|  (x1x2)2.

证明f(x)在[ a , b ]上恒为常数 .

f(xh)f(x)(xhx)2  |h|0 , ( h0). 证 对x[ a , b ] ,

h|h| f(x)lim6.

h0f(xh)f(x)0. 由于f(x)0,  f(x)为[ a , b ]上的常值函数.

h用Lagrange公式证明不等式: ⑴ |sinxsiny|  |xy|; 证 注意到|cosx|  1,有

|sinxsiny| |cos||xy| |xy|. 介于x与y之间 .

⑵ nyn1(xy)xnynnxn1(xy), ( n1 , xy );

n证 设f(t)t,f(t)在区间[ y , x ]上满足Lagrange中值定理的条件, 则( y , x ), 使 f(x)f(y)f()(xy). f(t)ntn1↗↗, 易见有 f(y)f()f(x); 又

xy0. 就有 f(y)(xy)f()(xy)f(x)(xy), 即

ny⑶

n1(xy)xnynnxn1(xy), ( n1 , xy ).

babba, ( ba0 ); lnbaa证 考虑函数f(x)lnx, f(x)在区间[ a , b ]上满足Lagrange中值定理的条件 , 则 ( a , b ) , 使ln在区间( a , b )内有

b1lnblnaf(b)f(a)f()(ba); 而 f(x), ax11111, 即f(), 注意到ba0, 就有 baba141

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ba1babba, ( ba0 ). f()(ba)(ba), 即 lnbabaax⑷ e1x, ( x0 ).

证 考虑函数f(t)e. f(t)在区间[ 0 , x ]上满足Lagrange中值定理的条件 , 因此

t( 0 , x ), 使 f(x)f(0)f()x. f(t)et, 由0x, 有f()e1.

 f(x)f(0)f()xx, 即ex1x, 亦即 ex1x, ( x0 ).

7. 证明恒等式 :

⑴ arcsinxarccosx2 , x[ 0 , 1 ].

证 设f(x)arcsinxarccosx.f(x)11x211x20 ,  f(x)c.

又f(0)2 , 因此 f(x)2, 即 arcsinxarccosx32 , x[ 0 , 1 ].

⑵ 3arccosxarccos(3x4x), x , .

223 证 设f(x)3arccosxarccos(3x4x), x , .

221111

f(x)31x31x22312x21(3x4x)31x23231x23(2x1)(2x1)(1x)(1x)(2x1)(2x1)22

0 ,  f(x)c.

又f(0)322, 因此 f(x), 即

113arccosxarccos(3x4x3), x , .

22⑶ 2arctanxarcsin2x , x[ 1 ,  ). 21x142

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证 设f(x)2arctanxarcsin2x . 注意(1x2)2x21, 在[ 1 ,  )内有 21x2f(x)21x2(1x2)4x2220,  f(x)c. 22222(1x)1x1x2x121x1又f( 1 )242, 因此 f(x), 即

2x , x[ 1 ,  ).

1x2 2arctanxarcsin8. 设函数f(x)在闭区间[ a , b ]上连续 , 在开区间( a , b )内可微 .证明 : ⑴ 若f(x)在[ a , b ]上单调增加 , 则f(x)0 .

证 f(x)limh0f(xh)f(x) .

hf(xh)f(x)0;

hf(xh)f(x)h0时 , xhx, 仍由f(x)↗, f(xh)f(x)0,  0.

hf(xh)f(x)可见总有0 . 于是由f(x)存在 , 有

hf(xh)f(x) f(x)lim0.

h0hh0时 , xhx, 由f(x)↗, f(xh)f(x)0, 

⑵ 若( a , b )内仅在有限个点有f(x)0, 其余都有f(x)0, 则f(x)在[ a , b ]上严格 单调增加 ; 并举例说明其逆命题不成立 .

证 设f(xi)0, xi( a , b ), i1 , 2 ,  , n1. 并设ax0 , bxn .

f(x)在第i个区间[ xi1 , xi ]上连续 , 在( xi1 , xi )内f(x)0, 函数f(x)在第i个区间

[ xi1 , xi ]上严格递增 ,  f(x)在[ a , b ]上严格递增 . 证毕 .

该命题之逆不成立 . 考查下例: 设f(x)x1sin1, x( 0 , 1 ],( 对于这样的f(x) x的存在性 , 我们将在第七章给出证明 ) . f(00)0, 由Cauchy准则 , 易得f(00)存 在 , 因此 , 可以把f(x)延拓为[ 0 , 1 ]上的连续函数 , 延拓后的函数仍记为f(x). 显然在

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( 0 , 1 ]上f(x)0, 但在( 0 , 1 ]的任何子区间上f(x)0, 可见f(x)在[ 0 , 1 ]上严格递增 .

但在点xn12n2( n 1 , 2 ,  )处 , 均有f(xn)0. 这里使f(x)0的点有

无穷多个 .

9. 证明不等式 : ⑴

xsinxx , x 0 , .

222sinx , 0x ,  证 先证 xsinx. 考虑函数f(x)x2, f(x)在 0 , 上连续 ,

2 1 , x0 .在 0 , 内可微 , f(x)2xcosxsinx 0 , 上 . 令, 则在(x)xcosxsinx(x)22x连续 , 在 0 , 内可微 , 且(x)cosxxsinxcosxxsinx0, 可见(x)↘↘.

2又(0)0, 由不等式原理 , 在 0 , 内(x)0.因此 , f(x)2xcosxsinx0. 2x又可见在 0 , 上f(x)↘↘.  x 0 , 时f(x)f, 即

222

2sinx22, 亦即 xsinx , x 0 , .

2x12x , x1. x1证 设f(x)2x3. f(x)在区间 [ 1 ,  )上连续 , 在区间( 1 ,  )内可微 ,

x⑵ 3 f(x)1x10, 可见f(x)在区间 [ 1 ,  )上f(x)↗↗ . 2x12x. x144

又f( 1 )0, 由不等式原理 , 在( 1 ,  )内f(x)0, 即x1时 , 有 3

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x2ln(1x)x , x0. ⑶ x2x2x. f(x)在区间 [ 0 ,  )上连续 , 在区间( 0 ,  )内可 证 设f(x)ln(1x)21x2x10，可见f(x)在区间 [ 0 ,  )上f(x)↗↗ . 微 , f(x)1x1x又f( 0 )0, 由不等式原理 , 在( 0 ,  )内f(x)0, 即x0时 , 有

x2ln(1x)x. x2⑷ tanx2sinx3x , x 0 , .

2证 设f(x)tanx2sinx3x, f(x)在 0 , 上连续 , 在 0 , 内可微 ,

222 f(x)secx2cosx3. f(x)在 0 , 上连续 , 在 0 , 内可微 ,

22sinxsinxcos3x0, 可见f(x)↗↗, f(x)2secxtanx2sinx2cos3x2又f(0)0,由不等式原理 , 在 0 , 内f(x)0, 可见在 0 , 上f(x)↗↗.

22又f( 0 )0, 又由不等式原理 , 在 0 , 内f(x)0,即在 0 , 内, 有

22 tanx2sinx3x. ⑸

12p1xp(1x)p1, x[ 0 , 1 ] , ( p1 ).

pp证 考虑函数f(x)x(1x) , x[ 0 , 1 ]. 现求函数f(x)在区间[ 0 , 1 ]上的最值 .

令 f(x)px

p1p(1x)p10, 解得唯一驻点x

1

. 没有不可导点 . 2

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111f(0)1 , f( 1 )1 , f2pp1.

222于是 , 在区间[ 0 , 1 ]上 maxf(x)max{ f(0) , f( 1 ) , f }1 ,

1211minf(x)min{ f(0) , f( 1 ) , f }p1.

22因此 , 在区间[ 0 , 1 ]上有不等式

12p1xp(1x)p1.

10. 设函数f(x)在区间[ a , b ]上连续 , f(a)f(b)0, 且f(a)f(b)0. 证明f(x) 在区间( a , b )内至少存在一个零点 . 证 不妨设f(a)0, 有f(b)0. 由

f(x) f(a)lim0,  存在点a的右去心邻域(a), 使得x(a),

xaxaf(x)有0. 注意xa0 ,  在(a)内f(x)0 . 取定x1(a). 有f(x1)0. xaf(x) f(b)lim0,  存在点b的左去心邻域(b), 使得x(b),

xbxbf(x)有0. 注意xb0,  在(b)内f(x)0 . 取定x2(b).有f(x2)0. xb并可设x1x2.

函数f(x)在闭区间[ x1 , x2 ]上连续 , f(x1)0, f(x2)0 . 由零点定理 , 函数f(x) 在区间( x1 , x2 )内至少存在一个零点 , 因此在区间( a , b )内至少存在一个零点 . 11. （Darboux定理）设函数f(x)在区间( a , b )内可微 . x1 , x2( a , b ). 如果 f(x1)f(x2)0. 证明存在介于x1 和 x2之间的点, 使 f()0. 证 不妨设f(x1)0,则有f(x2)0. 并设x1x2.

f(x1)lim

xx1f(x)f(x1)f(x)f(x1)0， 在点x1的某去心邻域内有0，

xx1xx1146

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可见xx10时， f(x)f(x1)0， 即f(x)f(x1). 因此 , 点x1不是f(x)在区间

[ x1 , x2 ]上的最大值点 . 同理可证x2也不是f(x)在区间[ x1 , x2 ]上的最大值点 .

f(x)在闭区间[ x1 , x2 ]上连续 , 因此有最大值 . 既然x1 和 x2都不是最大值点 , 则

必( x1 , x2 ), 使点是函数f(x)在闭区间[ x1 , x2 ]上的最大值点 ; 由于区间内的最大 值点必为极大值点 , 以及f(x)在点可微 , 由Fermat定理 , f()0. 12.

设函数f(x)在区间( a ,  )内可微 ,并且limf(x)0. 证明

xxlimf(x)0. x证 0, 由limf(x)0, M0( 可设Ma),  xM, 有|f(x)|x2 .

固定M, 在区间[ M , x ]上 , 函数f(x)满足Lagrange中值定理的条件 , 有w

f(x)f(M)f(), Mx .

xM此即 f(x)f(M)f()(xM). 因此 , |f(x)||f(M)|2(xM).

|f(x)||f(M)|Mf(M)1  . xx2xx2由 f(M)f(M) 0, (x ),  X,  xX,   . xx2f(x)f(x)   . 此即 lim0.

xxx于是 ,  xX时 , 就有 13.

设非线性函数f(x)在闭区间[ a , b ]上连续 , 在开区间( a , b )内可微 . ( a , b ),

使 |f()|  证 考虑函数

f(b)f(a). 并说明它的几何意义 .

ba F(x)f(x)f(a)f(b)f(a)(xa).

ba由f(x)不是线性函数 , F(x)也不是线性函数 ,因此 ( a , b ), 使F()0, ( 这是

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第五章 微分中值定理及其应用 上册P178—180习题解答

因为否则就有F(x)0 , f(x)f(a)f(b)f(a)(xa)0,

baf(x)f(a)不妨设F()0 .

f(b)f(a)(xa) 即为线性函数 .)

baF(x)在区间[ a ,  ]和[  , b ]上满足Lagrange中值定理的条件, 因此分别存在1( a ,  )

和2(  , b), 使

F()F(a)F(b)F()F(1) , F(2).

ab注意到F(a)F(b)0. 就有

F()F()F(1) 和 F(2).  F(1)0 , F(2)0. abf(b)f(a), 因此有

baf(b)f(a)f(b)f(a) F(1)f(1)0 和 F(2)f(2)0.

babaf(b)f(a)f(b)f(a)即有 f(1) 和 f(2).

baba而F(x)f(x)于是 , 当

f(b)f(a)f(b)f(a)f(b)f(a); 0时, 就有 |f(1)|f(1)bababa当

f(b)f(a)f(b)f(a). 0时, 就有|f(2)| babaf(b)f(a).

ba综上 , 总( a , b ), 使 |f()|  该结果的几何意义是:在满足Lagrange中值定理条件的曲线上 , 总存在斜率大于或小于 连接点( a , f(a) )和( b , f(b) )的弦的切线 . 14. 证明不等式 :

xnynxy ⑴ , x,y0, n1.

22

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n第五章 微分中值定理及其应用 上册P178—180习题解答

n证 考虑函数f(x)x，x( 0 ,  ). f(x)n(n1)xn20, f(x)下凸 . 由

Jensen不等式 , 对任何x,y0 , 有不等式

xnynf(x)f(y)xnynxyxyxy f, 即 .

222222exeye⑵

2xy2nn, xy.

xx证 考虑函数f(x)e，x(  ,  ). f(x)e0.f(x)严格下凸 . 由

Jensen不等式 , 对 x , y(  ,  ),且xy , 有不等式

exeyf(x)f(y)xyfe222xy2exeye, 即

2xy2.

15. 设函数f(x)和g(x)在闭区间[ a , b ]上连续 , 在开区间( a , b )内可微 ,且对x( a , b ), g(x)0. 利用辅助函数

(x)f(x)f(a)g(x) 和 (x) g(a)f(b)f(a)[g(x)g(a)]

g(b)g(a)f(x)1f(a)1 证明 Cauchy中值定理 , 并说明(x)和(x)的几何意义 . f(b)1g(b)证 ⅰ> (x)在闭区间[ a , b ]上连续 , 在开区间( a , b )内可微 ,且(a)0,(b)0. 由Rolle中值定理 , ( a , b ), 使()0.

(x)f(x)f(b)f(a)f(b)f(a)g(x), 有 ()f()g()0,

g(b)g(a)g(b)g(a)即 f()f(b)f(a)g()0, 注意 g()0, 即得 Cauchy中值定理

g(b)g(a) 149

第五章 微分中值定理及其应用 上册P178—180习题解答

f(b)f(a)f().

g(b)g(a)g()(x)的几何意义是: 在由参数方程xg(t), yf(t)( atb )表示的曲线上 , 相应

于tx, 曲线上的点( g(x) , f(x))的纵坐标与连接曲线两个端点( g(a) , f(a))与

( g(b) , f(b))

的弦上点的纵坐标的差 .

ⅱ> (x)在闭区间[ a , b ]上连续 , 在开区间( a , b )内可微 ,且(a)0,(b)0. 由Rolle中值定理 , ( a , b ), 使()0.

g(x)f(x)0f(a)f(b)1 [g(b)g(a)]f(x)[f(b)f(a)]g(x). 有 1(x) g(a)g(b)()[g(b)g(a)]f()[f(b)f(a)]g()0,

即 [g(b)g(a)]f()[f(b)f(a)]g()0, 注意 g()0, 即得 Cauchy中值定理

f(b)f(a)f().

g(b)g(a)g()1|(x)|的几何意义是: 在由参数方程xg(t), yf(t)( atb )表示的曲线上, 由 2曲线的两个端点( g(a) , f(a))和( g(b) , f(b))以及曲线上的点( g(x) , f(x))三点为顶点的三 角的面积 .

16. 设函数f(x)和g(x)在[ a , b ]上连续 , 在( a , b )内可微 . 证明 ( a , b ), 使

f(a)g(a)f(b)g(b)(ba)f(b)g(b)f(a)g(a)f(). g()f(a)g(a)f(x)g(x).

证 令(x)f(a)g(a)x(ba)则(x)在[ a , b ]上连续 , 在( a , b )内可微 ,且

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第五章 微分中值定理及其应用 上册P178—180习题解答

(a)f(a)g(a)f(a)g(a)f(b)g(b)f(b)g(b)a(ba)f(a)g(a)f(a)g(a)f(a)ag(a)g(a)f(b)g(b)af(a)f(b), g(b)f(b), 有(a)(b). g(b)(b)b(ba)f(a)g(a)于是由Rolle中值定理 , ( a , b ), 使 ()0. 而

(x)f(a)g(a)f(a)g(a)f(b)g(b)f(b)g(b)(ba)f(a)g(a)f(a)g(a)f(x), g(x)f()0, g()有 ()(ba)即

f(a)g(a)f(b)g(b)(ba)f(a)g(a)f() . g()(n1)17. 设函数f(x)在点x0的某邻域内有n阶导数 , 且f(0)f(0)f 用Cauchy中值定理证明:

(0)0 .

f(x)f(n)(x), ( 01 ). nn!xn证 设g(x)x. 注意g(0)g(0)g(n1)(0)0, g(n)(0)n!, 有

f(x)f(x)f(0)f(1)f(1)f(0)f(2)f(2)f(0) ng(x)g(0)g(1)g(1)g(0)g(2)g(2)g(0)x

f(n1)(n1)f(n1)(n1)f(n1)(0)f(n)(x)f(n)(x) (n1), (n1)(n)(n1)n!g(n1)g(n1)g(0)g(x)

其中 0n1n2211, 01 .

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