2010年重庆市中考数学试题及答案

重庆市2010年初中毕业暨高中招生考试

（全卷共五个大题，满分150分，考试时间120分钟）

题号 得分 一 2

二 三 四 五 总分 总分人 4ac—b2bb

参考公式：抛物线y＝ax＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为（— ， ），对称轴公式为x＝— .

2a4a2a

一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案中，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填表在题后的括号中. 1．3的倒数是（）

11

A． B．— C．3 D．—3

332．计算2x3·x2的结果是（）

A．2x B．2x5 C．2x6 D．x5

x13,3．不等式组的解集为（）

2x6 A．x＞3 B．x≤4 C．3＜x＜4 D．3＜x≤4

4．如图，点B是△ADC的边AD的延长线上一点，DE∥BC，若∠C＝50°，∠BDE＝60°，则∠CDB的度数等于（）

A．70° B．100° C．110° D．120° 5．下列调查中，适宜采用全面调查（普查）方式的是（）

A．对全国中学生心理健康现状的调查 B．对冷饮市场上冰淇淋质量情况的调查 C．对我市市民实施低碳生活情况的调查 D．以我国首架大型民用直升机各零部件的检查

6．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠ABC＝70°，则∠AOC的度数等于（） A．140° B．130° C．120° D．110° 7．由四个大小相同的正方体组成的几何体如图所示，那么它的俯视图是（）

8．有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45°，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②，……，则第10次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（）

A．图① B．图② C．图③ D．图④

9．小华的爷爷每天坚持体育锻炼，某天他慢步到离家较远的绿岛公园，打了一会儿太极拳后跑步回家。下面能反

映当天小华的爷爷离家的距离y与时间x的函数关系的大致图象是（）

10．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE

交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝5 ．下列结论：①△APD≌△AEB；②直线AE的距离为2 ；③EB⊥ED；④S△APD＋S△APB＝1＋6 ；⑤S6 ．其中正确结论的序号是（）

A．①③④ B．①②⑤ C．③④⑤ D．①③⑤

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）在每个小题中，请将在题后的横线上.

11．上海世界博览会自2010年5月1日开幕以来，截止到5月18日，累计参观人数约为324万人，将324万用科

学记数法表示为_____________万.

12．“情系玉树 大爱无疆” . 在为青海玉树的捐款活动中，某小组7位同学的捐款数额（元）分别是：5，20，5，

50，10，5，10. 则这组数据的中位数是_____________.

13．已知△ABC与△DEF相似且对应中线的比为2:3，则△ABC与△DEF的周长比为_____________. 14． 已知⊙O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离是4cm，则直线l与⊙O的位置关系是_____________. 15．在一个不透明的盒子里装有5个分别写有数字－2，－1，0，1，2的小球，它们除数字不同外其余全部相同. 现

从盒子里随机取出一个小球，将该小球上的数字作为点P的横坐标，将该数的平方作为点P的纵坐标，则点P落在抛物线y＝－x2＋2x＋5与x轴所围成的区域内（不含边界）的概率是_____________.

16．含有同种果蔬但浓度不同的A、B两种饮料，A种饮料重40千克，B种饮料重60千克现从这两种饮料中各倒

出一部分，且倒出部分的重量相同，再将每种饮料所倒出的部分与另一种饮料余下的部分混合.如果混合后的两种饮料所含的果蔬浓度相同，那么从每种饮料中倒出的相同的重量是_____________千克

三、解答题：（本大题共4个小题，每小题6分，共24分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.

1 －

17．计算：（－1）2010－| －7 |＋ 9 ×（5 －π）0＋（ ）1

5

x 1

18．解方程： ＋ ＝1

x x－1

3

19．尺规作图：请在原图上作一个∠AOC，使其是已知∠AOB的 倍（要求：写出已知、求作，保留作图痕迹，

2

在所作图中标上必有要的字母，不写作法和结论）

已知： 求作：

正方形ABCD

的垂线点B到＝4＋

答案填

20． 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 ．点D为BC边上一点，且BD＝2AD，∠ADC＝60°求

△ABC的周长（结果保留根号）

四、解答题：（本大题共4个小题，每小题10分，共40分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.

x2＋4x2－4

21．先化简，再求值：（ －4）÷ 2 ，其中x＝－1

xx＋2x

22．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A（－2，0），与反比例函数在第一象限内的图象的交于点B（2，n），连结BO，若S△AOB＝4． （1）求该反比例函数的解析式和直线AB的解析式； （2）若直线AB与y轴的交点为C，求△OCB的面积．

23．在“传箴言”活动中，某班团支部对该班全体团员在一个月内所发箴言条数的情况进行了统计，并制成了如下

两幅不完整的统计图：

（1）求该班团员在这一个月内所发箴言的平均条数是多少？并将该条形统计图补充完整；

（2）如果发了3条箴的同学中有两位同学，发了4条箴言的同学中有三位女同学． 现要从发了3条箴和4条箴言

的同学中分别选出一位参加该校团委组织的“箴言”活动总结会，请你用列表法或树状图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．

24． 已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°．点E是DC的中点，过点E作DC的垂线交

AB于点P，交CB的延长线于点M．点F在线段ME上，且满足CF＝AD，MF＝MA． （1）若∠MFC＝120°，求证：AM＝2MB；

1

（2）求证：∠MPB＝90°－ ∠FCM．

2

25．今年我国多个省市遭受严重干旱，受旱灾的影响，4月份，我市某蔬菜价格呈上升趋势，其前四周每周的平均

销售价格变化如下表： 周数x 价格y（元/千克） 1 2 2 2.2 3 2.4 4 2.6 进入5月，由于本地蔬菜的上市，此种蔬菜的平均销售价格y（元/千克）从5月第1周的2.8元/千克下降至第

1

2周的2.4元/千克，且y与周数x的变化情况满足二次函数y＝－ x2＋bx＋c.

20 （1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识直接写出4月份y与x 的函数

关系式，并求出5月份y与x的函数关系式；

1

（2）若4月份此种蔬菜的进价m（元/千克）与周数x所满足的函数关系为m＝ x＋1.2，5月份此种蔬菜的进价

4

m（元/千克）与周数x所满足的函数关系为m＝千克的利润最大？且最大利润分别是多少？

（3）若5月份的第2周共销售100吨此种蔬菜．从5月份的第3周起，由于受暴雨的影响，此种蔬菜的可供销量

将在第2周销量的基础上每周减少a %，政府为稳定蔬菜价格，从外地调运2吨此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜的销售价格比第2周仅上涨0.8 a %．若在这一举措下，此种蔬菜在第3周的总销售额与第2周刚好持平，请你参考以下数据，通过计算估算出a的整数值． （参考数据：372＝1369，382＝1444，392＝1521，402＝1600，412＝1681）

26．已知：如图（1），在平面直角坐标xOy中，边长为2的等边△OAB的顶点B在第一象限，顶点A在x轴的正

半轴上．另一等腰△OCA的顶点C在第四象限，OC＝AC，∠C＝120°．现有两动点P、Q分别从A、O两点同时出发，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿A→O→B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止.

（1）求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并写出自变量t的取值范围； （2）在等边△OAB的边上（点A除外）存在点D，使得△OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D

1x＋2．试问4月份与5月份分别在哪一周销售此种蔬菜一5

的坐标；

（3）如图（2），现有∠MCN＝60°，其两边分别与OB、AB交于点M、N，连接MN．将∠MCN绕着C点旋转（0°

＜旋转角＜60°），使得M、N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．

2010年重庆市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分） 1．（4分）3的倒数是（ ） A． 3 B．

考点： 倒数．

分析： 根据倒数的定义，直接得出结果． 解答：

解：因为3×=1，

C． ﹣3 D．

所以3的倒数为．

故选B．

点评： 主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是倒数的性质：负数的倒数是负数，正数的倒数是正数，

0没有倒数．

倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．

2．（4分）计算2x3•x2的结果是（ ） A． 2x B． C． D． 2x5 2x6 x5

考点： 同底数幂的乘法．

分析： 根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加解答． 解答： 解：2x3•x2=2x5．

故选B．

点评： 本题主要考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键．

3．（4分）不等式组的解集为（ ）

A． x＞3 B． x≤4 C． 3＜x＜4 D． 3＜x≤4

考点： 解一元一次不等式组． 专题： 计算题．

分析： 本题可根据不等式组分别求出x的取值，然后画出数轴，数轴上相交的点的集合就是该不等式的解集．若

没有交点，则不等式无解．

解答：

解：依题意得：

在数轴上表示为：

∴原式的解集为3＜x≤4． 故选D．

点评： 本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x

大于较小的数、小于较大的数，那么解集为x介于两数之间．

4．（4分）如图，点B是△ADC的边AD的延长线上一点，DE∥AC，若∠C=50°，∠BDE=60°，则∠CDB的度数等于（ ）

A． 70° B． 100° C． 110° D． 120°

考点： 三角形的外角性质；平行线的性质． 专题： 计算题．

分析： 因为DE∥AC，所以∠A=∠BDE=50°，因为∠BDC是外角，所以∠BDC=∠A+∠C=60°+50°=110°． 解答： 解：∵DE∥AC，∠BDE=60°，∠C=50°，

∴∠BDE=∠A=60°， ∵∠BDC=∠A+∠C=60°+50°=110°． 故选C．

点评： 本题比较简单，考查的是平行线的性质及三角形外角的性质． 5．（4分）（2010•重庆）下列调查中，适宜采用全面调查（普查）方式的是（ ） A． 对全国中学生心理健康现状的调查 B． 对冷饮市场上冰淇淋质量情况的调查 C． 对我市市民实施低碳生活情况的调查 D． 对我国首架大型民用直升机各零部件的检查

考点： 全面调查与抽样调查．

分析： 根据抽样调查和全面调查的特点即可作出判断．

解答： 解：A、普查的难度较大，适合用抽样调查的方式，故A错误；

B、调查过程带有破坏性，只能采取抽样调查的方式，故B错误； C、普查的难度较大，适合用抽样调查的方式，故C错误； D、事关重大应选用普查，正确． 故选D．

点评： 本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，

一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．

6．（4分）（2010•重庆）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠ABC=70°，则∠AOC的度数等于（ ）

A． 140° B． 130° C． 120° D． 110°

考点： 圆周角定理．

分析： 欲求∠AOC，又已知一圆周角，可利用圆周角与圆心角的关系求解． 解答： 解：∵∠AOC和∠ABC是同弧所对的圆心角和圆周角，

∴∠AOC=2∠ABC=140°； 故选A．

点评： 本题考查的是圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半． 7．（4分）（2011•雅安）由四个大小相同的正方体组成的几何体如图所示，那么它的俯视图是（ ）

A．

B．

C． D．

考点： 简单组合体的三视图．

分析： 根据题意，先理解给出的几何体的三视图是怎样的，利用空间想象能力易解答．

解答： 解：该几何体由四个小正方体组成，第一行有3个小正方体，故它的俯视图为B．故选B． 点评： 首先分清楚几何体由几个正方体组成，然后分清楚它的三视图，继而求解． 8．（4分）（2010•重庆）有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45°，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②，…，则第10次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（ ）

A． 图① B． 图② C． 图③ D． 图④

考点： 旋转的性质． 专题： 压轴题；规律型． 分析： 每次均旋转45°，10次共旋转450°，而一周为360°，用450°﹣360°=90°，可知第10次旋转后得到的图形． 解答： 解：依题意，旋转10次共旋转了10×45°=450°，

因为450°﹣360°=90°，

所以，第10次旋转后得到的图形与图②相同，故选B．

点评： 根据图中给出的旋转规律，得知变化为周期性变化，结合周角的定义即可解答本题． 9．（4分）（2011•甘孜州）小华的爷爷每天坚持体育锻炼，某天他漫步到离家较远的绿岛公园，打了一会儿太极拳后跑步回家．下面能反映当天小华的爷爷离家的距离y与时间x的函数关系的大致图象是（ ） A． B． C． D．

考点： 函数的图象． 专题： 压轴题．

分析： 根据在每段中，离家的距离随时间的变化情况即可进行判断．

解答： 解：图象应分三个阶段，第一阶段：慢步到离家较远的绿岛公园，在这个阶段，离家的距离随时间的增大

而增大；

第二阶段：打了一会儿太极拳，这一阶段离家的距离不随时间的变化而改变．故D错误；

第三阶段：跑步回家，这一阶段，离家的距离随时间的增大而减小，故A错误，并且这段的速度大于第一阶段的速度，则B错误． 故选C．

点评： 理解每阶段中，离家的距离与时间的关系，根据图象的斜率判断运动的速度是解决本题的关键． 10．（4分）（2010•重庆）已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB=1+；⑤S正方形ABCD=4+．其中正确结论的序号是（ ）

A． ①③④ B． ①②⑤ C． ③④⑤ D． ①③⑤

考点： 正方形的性质；全等三角形的判定；勾股定理的应用． 专题： 压轴题．

分析： ①利用同角的余角相等，易得∠EAB=∠PAD，再结合已知条件利用SAS可证两三角形全等；③利用①中的

全等，可得∠APD=∠AEB，结合三角形的外角的性质，易得∠BEP=90°，即可证；②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，利用③中的∠BEP=90°，利用勾股定理可求BE，结合△AEP是等腰直角三角形，可证△BEF是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求EF、BF；⑤在Rt△ABF中，利用勾股定理可求AB2，即是正方形的面积；④连接BD，求出△ABD的面积，然后减去△BDP的面积即可．

解答： 解：①∵∠EAB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，

∴∠EAB=∠PAD，

又∵AE=AP，AB=AD， ∴△APD≌△AEB； 故此选项成立；

③∵△APD≌△AEB， ∴∠APD=∠AEB，

又∵∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE， ∴∠BEP=∠PAE=90°， ∴EB⊥ED； 故此选项成立；

②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F， ∵AE=AP，∠EAP=90°， ∴∠AEP=∠APE=45°，

又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF， ∴∠FEB=∠FBE=45°，

又∵BE=∴BF=EF=

，

==，

故此选项不正确；

④如图，连接BD，在Rt△AEP中， ∵AE=AP=1， ∴EP=， 又∵PB=， ∴BE=，

∵△APD≌△AEB， ∴PD=BE=

，

）﹣×

×

=+

．

∴S△ABP+S△ADP=S△ABD﹣S△BDP=S正方形ABCD﹣×DP×BE=×（4+故此选项不正确． ⑤∵EF=BF=

，AE=1，

，

∴在Rt△ABF中，AB2=（AE+EF）2+BF2=4+

∴S正方形ABCD=AB2=4+故此选项正确； 故选D．

，

点评： 本题利用了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、正方形和三角形的面积公式、勾股定理等知识．

二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分） 11．（4分）（2010•重庆）上海世界博览会自2010年5月1日开幕以来，截止到5月18日，累计参观人数约为324万人，将324万用科学记数法表示为 3.24×102 万．

考点： 科学记数法—表示较大的数． 专题： 应用题．

分析： 科学记数法的一般形式为：a×10n，在本题中a应为3.24，10的指数为3﹣1=2． 解答： 解：324万=3.24×102万．

点评： 将一个绝对值较大的数写成科学记数法a×10n的形式时，其中1≤|a|＜10，n为比整数位数少1的数．本题需

注意单位相同，不用转换．

12．（4分）（2010•重庆）“情系玉树大爱无疆”．在为青海玉树的捐款活动中，某小组7位同学的捐款数额（元）分别是：5，20，5，50，10，5，10．则这组数据的中位数是 10 元．

考点： 中位数．

分析： 数据按从小到大的顺序排列，所以只要找出最中间的一个数（或最中间的两个数）即可，本题是最中间的

一个数．

解答： 解：按从小到大的顺序排列这组数据：5、5、5、10、10、20、50，中间的一个数是10，则这组数据的中位

数是10（元）． 故填10．

点评： 本题考查的是中位数的定义．要注意，当所给数据有单位时，所求得的中位数与原数据的单位相同，不要

漏单位．

13．（4分）（2010•重庆）已知△ABC与△DEF相似且对应中线的比为2：3，则△ABC与△DEF的周长比为 2：3 ．

考点： 相似三角形的性质．

分析： 由于相似三角形的对应中线和周长的比都等于相似比，由此可求出两三角形的周长比． 解答： 解：∵△ABC与△DEF相似且对应中线的比为2：3，

∴它们的相似比为2：3；

故△ABC与△DEF的周长比为2：3．

点评： 此题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的一切对应线段（包括对应边、对应中线、对应高、对应

角平分线等）的比等于相似比；相似三角形的周长比等于相似比．

14．（4分）（2010•重庆）已知⊙O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离是4cm，则直线l与⊙O的位置关系是 相离 ．

考点： 直线与圆的位置关系．

分析： 根据圆心O到直线l的距离大于半径即可判定直线l与⊙O的位置关系为相离．

解答： 解：∵圆心O到直线l的距离是4cm，大于⊙O的半径为3cm，

∴直线l与⊙O相离．

点评： 此题考查的是直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答．若d＜r，则直线

与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．

15．（4分）（2010•重庆）在一个不透明的盒子里装有5个分别写有数字﹣2，﹣1，0，1，2的小球，它们除数字不同外其余全部相同．现从盒子里随机取出一个小球，将该小球上的数字作为点P的横坐标，将该数的平方作为点P的纵坐标，则点P落在抛物线y=﹣x2+2x+5与x轴所围成的区域内（不含边界）的概率是

考点： 概率公式；抛物线与x轴的交点． 专题： 压轴题．

分析： 画出抛物线图象，确定各点横坐标所对应的纵坐标，与P点纵坐标比较即可． 解答： 解：如图，

﹣2，﹣1，0，1，2的平方为4，1，0，1，4． 点P的坐标为（﹣2，4），（﹣1，1），（0，0），（1，1），（2，4）； 描出各点：﹣2＜1﹣，不合题意；

把x=﹣1代入解析式得：y1=2，1＜2，故（﹣1，1）在该区域内；

把x=0代入解析式得：y2=5，0＜5，故（0，0）在边界上，不在区域内； 把x=1代入解析式得：y3=6，1＜6，故（1，1）在该区域内； 把x=2代入解析式得：y4=5，4＜5，故（2，4）在该区域内． 所以5个点中有3个符合题意，

．

点P落在抛物线y=﹣x2+2x+5与x轴所围成的区域内（不含边界）的概率是．

点评： 本题考查了概率的简单计算能力，是一道列举法求概率的问题，属于基础题，可以直接应用求概率的公式：

P（A）=．

16．（4分）（2010•重庆）含有同种果蔬但浓度不同的A、B两种饮料，A种饮料重40千克，B种饮料重60千克．现从这两种饮料中各倒出一部分，且倒出部分的重量相同，再将每种饮料所倒出的部分与另一种饮料余下的部分混合．如果混合后的两种饮料所含的果蔬浓度相同，那么从每种饮料中倒出的相同的重量是 24 千克．

考点： 分式方程的应用；一元一次方程的应用． 专题： 比例分配问题；压轴题．

分析： 由题意可得现在A种饮料的重量为40千克，B种饮料的重量为60千克，可根据“混合后的两种饮料所含的

果蔬浓度相同”来列等量关系．

解答： 解：设原来A种饮料的浓度为a，原来B种饮料的浓度为b，从每种饮料中倒出的相同的重量是x千克．

由题意，得=，

化简得（5a﹣5b）x=120a﹣120b，即（a﹣b）x=24（a﹣b）， ∵a≠b， ∴x=24．

∴从每种饮料中倒出的相同的重量是24千克．

点评： 当一些必须的量没有时，可设出相应的未知数，只把所求的量当成未知数求解．找到相应的等量关系是解

决问题的关键．

三、解答题（共10小题，满分86分）

17．（6分）（2010•重庆）计算：（﹣1）2010﹣|﹣7|+

×（

﹣π）0+（）1

﹣

考点： 实数的运算．

分析： 本题涉及零指数幂、绝对值、二次根式化、负整数指数幂简四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别

进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

解答： 解：原式=1﹣7+3×1+5

=2．

点评： 本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数

指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．

18．（6分）（2010•重庆）解方程：+=1

考点： 解分式方程． 专题： 计算题；压轴题．

分析： 本题考查解分式方程的能力，观察方程可得最简公分母是：x（x﹣1），两边同时乘最简公分母可把分式方

程化为整式方程来解答．

解答： 解：方程两边同乘x（x﹣1），得x2+x﹣1=x（x﹣1）（2分）

整理，得2x=1（4分）

解得x=（5分）

经检验，x=是原方程的解，所以原方程的解是x=．（6分）

点评： （1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解． （2）解分式方程一定注意要验根．

19．（6分）（2010•重庆）尺规作图：请在原图上作一个∠AOC，使其是已知∠AOB的倍（要求：写出已知、求作，保留作图痕迹，在所作图中标上必有要的字母，不写作法和结论）

考点： 作图—复杂作图． 分析：

先把∠AOB分成两个等角，再作∠BOC=∠AOB，∠AOC就是所求的角．

解答： 已知：∠AOB（1分）

求作：∠AOC，使∠AOC=∠AOB（2分） 作图如右：

（6分）

点评： 本题主要考查了用尺规作角的方法． 20．（6分）（2010•重庆）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=∠ADC=60°，求△ABC的周长（结果保留根号）．

．点D为BC边上一点，且BD=2AD，

考点： 解直角三角形． 专题： 计算题；压轴题．

分析： 要求△ABC的周长，只要求得BC及AB的长度即可．根据Rt△ADC中∠ADC的正弦值，可以求得AD

的长度，也可求得CD的长度；再根据已知条件求得BD的长度，继而求得BC的长度；运用勾股定理可以求得AB的长度，求得△ABC的周长．

解答： 解：在Rt△ADC中，

∵sin∠ADC=∴AD=

， =

=2．

∴BD=2AD=4， ∵tan∠ADC=

，DC=

=

=1，

∴BC=BD+DC=5． 在Rt△ABC中，AB=

=2

，

∴△ABC的周长=AB+BC+AC=2+5+．

点评： 本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．

21．（10分）（2010•重庆）先化简，再求值：（

﹣4）÷

，其中x=﹣1．

考点： 分式的化简求值． 专题： 计算题．

分析： 首先把括号里的通分，然后能分解因式的分解因式，进行约分，最后代值计算，注意把除法运算转化为乘

法运算．

解答：

解：原式=÷（3分）

=×（5分）

=x﹣2，（8分）

当x=﹣1时，原式=﹣1﹣2=﹣3．（10分）

点评： 分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算． 22．（10分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与反比例函数在第一象限内的图象的交于点B（2，n），连接BO，若S△AOB=4． （1）求该反比例函数的解析式和直线AB的解析式； （2）若直线AB与y轴的交点为C，求△OCB的面积．

考点： 反比例函数综合题． 专题： 计算题；待定系数法． 分析：

（1）先由A（﹣2，0），得OA=2，点B（2，n），S△AOB=4，得OA•n=4，n=4，则点B的坐标是（2，4），

把点B（2，4）代入反比例函数的解析式为y=，可得反比例函数的解析式为：y=；再把A（﹣2，0）、B（2，4）代入直线AB的解析式为y=kx+b可得直线AB的解析式为y=x+2．

（2）把x=0代入直线AB的解析式y=x+2得y=2，即OC=2，可得S△OCB=OC×2=×2×2=2．

解答： 解：（1）由A（﹣2，0），得OA=2；

∵点B（2，n）在第一象限内，S△AOB=4，

∴OA•n=4；

∴n=4；

∴点B的坐标是（2，4）；

设该反比例函数的解析式为y=（a≠0）， 将点B的坐标代入，得4=， ∴a=8；

∴反比例函数的解析式为：y=； 设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0）， 将点A，B的坐标分别代入，得解得

；

，

∴直线AB的解析式为y=x+2；

（2）在y=x+2中，令x=0，得y=2． ∴点C的坐标是（0，2）， ∴OC=2；

∴S△OCB=OC×2=×2×2=2．

点评： 本题考查反比例函数和一次函数解析式的确定、图形的面积求法等知识及综合应用知识、解决问题的能力．此题有点难度．

23．（10分）（2010•重庆）在“传箴言”活动中，某班团支部对该班全体团员在一个月内所发箴言条数的情况进行了统计，并制成了如下两幅不完整的统计图：

（1）求该班团员在这一个月内所发箴言的平均条数是多少？并将该条形统计图补充完整；

（2）如果发了3条箴的同学中有两位男同学，发了4条箴言的同学中有三位女同学．现要从发了3条箴和4条箴言的同学中分别选出一位参加该校团委组织的“箴言”活动总结会，请你用列表法或树状图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．

考点： 列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图． 专题： 图表型．

分析： （1）总人数=3÷它所占全体团员的百分比；发4条的人数=总人数﹣其余人数；

（2）列举出所有情况，看恰好是一位男同学和一位女同学占总情况的多少即可．

解答： 解：（1）该班团员人数为：3÷25%=12（人）；

发4条箴言的人数为：12﹣2﹣2﹣3﹣1=4（人）； 该班团员所发箴言的平均条数为：（2×1+2×2+3×3+4×4+1×5）÷12=3（条）． 补图如下：

（2）画树状图如下：

发3条箴言条的同学 选出的2位同学 男 男 女 发4条箴言条的同学 男 （男，男） （男，男） （女，男） 女 （男，女） （男，女） （女，女） 女 （男，女） （男，女） （女，女） 女 （男，女） （男，女） （女，女） 由上得，所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率P=

．

点评： 平均条数=总条数÷总人数；如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种

结果，那么事件A的概率P（A）=．注意本题是不放回实验．

24．（10分）（2010•重庆）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．点E是DC的中点，过点E作DC的垂线交AB于点P，交CB的延长线于点M．点F在线段ME上，且满足CF=AD，MF=MA． （1）若∠MFC=120°，求证：AM=2MB； （2）求证：∠MPB=90°﹣∠FCM．

考点： 直角梯形；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形． 专题： 证明题；压轴题． 分析： （1）连接MD，由于点E是DC的中点，ME⊥DC，所以MD=MC，然后利用已知条件证明△AMD≌△FMC，

根据全等三角形的性质可以推出∴∠MAD=∠MFC=120°，接着得到∠MAB=30°，再根据30°的角所对的直角边等于斜边的一半即可证明AM=2BM； （2）利用（1）的结论得到∠ADM=∠FCM，又AD∥BC，所以∠ADM=∠CMD，由此得到∠CMD=∠FCM，

再利用等腰三角形的性质即可得到∠CME=∠FCM，再根据已知条件即可解决问题．

解答： 证明：（1）连接MD，

∵点E是DC的中点，ME⊥DC， ∴MD=MC，

又∵AD=CF，MF=MA， ∴△AMD≌△FMC， ∴∠MAD=∠MFC=120°， ∵AD∥BC，∠ABC=90°， ∴∠BAD=90°， ∴∠MAB=30°，

在Rt△AMB中，∠MAB=30°，

∴BM=AM，

即AM=2BM；

（2）连接MD，

∵点E是DC的中点，ME⊥DC，

∴MD=MC，

又∵AD=CF，MF=MA， ∴△AMD≌△FMC， ∴∠ADM=∠FCM， ∵AD∥BC，

∴∠ADM=∠CMD ∴∠CMD=∠FCM， ∵MD=MC，ME⊥DC， ∴∠DME=∠CME=∠CMD， ∴∠CME=∠FCM，

在Rt△MBP中，∠MPB=90°﹣∠CME=90°﹣∠FCM．

点评： 此题主要考查了梯形的性质、全等三角形的性质与判定，及等腰三角形的性质与判定，综合性比较强． 25．（11分）（2010•重庆）今年我国多个省市遭受严重干旱，受旱灾的影响，4月份，我市某蔬菜价格呈上升趋势，其前四周每周的平均销售价格变化如下表： 周数x 1 2 3 4 价格y（元/kg） 2 2.2 2.4 2.6

进入5月，由于本地蔬菜的上市，此种蔬菜的平均销售价格y（元/千克）从5月第1周的2.8元/千克下降至第2周的2.4元/千克，且y与周数x的变化情况满足二次函数y=﹣

x2+bx+c．

（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识直接写出4月份y与x的函数关系式，并求出5月份y与x的函数关系式；

（2）若4月份此种蔬菜的进价m（元/千克）与周数x所满足的函数关系为m=x+1.2，5月份此种蔬菜的进价m（元/千克）与周数x所满足的函数关系为m=

x+2．试问4月份与5月份分别在哪一周销售此种蔬菜一千克的利润

最大？且最大利润分别是多少？

（3）若5月份的第2周共销售100吨此种蔬菜．从5月份的第3周起，由于受暴雨的影响，此种蔬菜的可供销量将在第2周销量的基础上每周减少a%，政府为稳定蔬菜价格，从外地调运2吨此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜的销售价格比第2周仅上涨0.8a%．若在这一举措下，此种蔬菜在第3周的总销售额与第2周刚好持平，请你参考以下数据，通过计算估算出a的整数值．

（参考数据：372=1369，382=1444，392=1521，402=1600，412=1681）

考点： 二次函数的应用． 专题： 压轴题；图表型．

分析： （1）从表格看出，x每增加1，y就增加0.2，由此可确定是一次函数关系式；把x=1，y=2.8和x=2，y=2.4，

分别代入y=﹣+bx+c可求b、c的值，确定二次函数解析式；

（2）根据一次函数，二次函数的性质及自变量的取值范围，求最大利润； （3）根据增长率的公式，列出方程求解即可．

解答： 解：（1）4月份y与x满足的函数关系式为y=0.2x+1.8

把x=1，y=2.8和x=2，y=2.4，分别代入y=﹣

+bx+c得

解得：，

∴5月份y与x满足的函数关系式为y=﹣0.05x2﹣0.25x+3.1；

（2）设4月份第x周销售此种蔬菜一千克的利润为W1元，5月份第x周销售此种蔬菜一千克的利润为W2元．则：

W1=（0.2x+1.8）﹣（x+1.2）=﹣0.05x+0.6 ∵﹣0.05＜0，∴W1随x的增大而减少 ∴当x=1时，W1最大=﹣0.05+0.6=0.55

W2=（﹣0.05x2﹣0.25x+3.1）﹣（﹣x+2）=﹣0.05x2﹣0.05x+1.1 ∵对称轴为x=﹣

=﹣0.5，且﹣0.05＜0，

∴当x=1时，W2最大=1

∴4月份销售此种蔬菜一千克的利润在第1周最大，最大利润为0.55元， 5月份销售此种蔬菜一千克的利润在第1周最大，最大利润为1元．

（3）由题意知：[100（1﹣a%）+2]×2.4（1+0.8a%）=2.4×100， 整理，得a2+23a﹣250=0，解得a=

∵392=1521，402=1600，而1529更接近1521，∴取≈39 ∴a≈﹣31（舍去）或a≈8．

点评： 本题考查了一次函数、二次函数解析式求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解

决实际问题．

26．（11分）（2010•重庆）已知：如图（1），在平面直角坐标xOy中，边长为2的等边△OAB的顶点B在第一象限，顶点A在x轴的正半轴上．另一等腰△OCA的顶点C在第四象限，OC=AC，∠C=120°．现有两动点P、Q分别从A、O两点同时出发，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿A→O→B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止．

（1）求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并写出自变量t的取值范围； （2）在等边△OAB的边上（点A除外）存在点D，使得△OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；

（3）如图（2），现有∠MCN=60°，其两边分别与OB、AB交于点M、N，连接MN．将∠MCN绕着C点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得M、N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．

考点： 全等三角形的判定与性质；三角形的面积；等腰三角形的判定；等边三角形的性质；直角三角形的性质． 专题： 综合题；压轴题． 分析：

（1）由于点Q从点O运动到点C需要秒，点P从点A→O→B需要秒，所以分两种情况讨论：①0

＜t＜；②≤t＜．针对每一种情况，根据P点所在的位置，由三角形的面积公式得出△OPQ的面积S

与运动的时间t之间的函数关系，并且得出自变量t的取值范围；

（2）如果△OCD为等腰三角形，那么分D在OA边或者OB边上或AB边上三种情形．每一种情形，都有可能O为顶点，C为顶点，D为顶点，分别讨论，得出结果； （3）如果延长BA至点F，使AF=OM，连接CF，则由SAS可证△MOC≌△FAC，得出MC=CF，再由SAS证出△MCN≌△FCN，得出MN=NF，那么△BMN的周长=BA+BO=4．

解答： 解：（1）过点C作CD⊥OA于点D．（如图）

∵OC=AC，∠ACO=120°， ∴∠AOC=∠OAC=30°．

∵OC=AC，CD⊥OA，∴OD=DA=1．

在Rt△ODC中，OC=

（i）当0＜t＜时，OQ=t，AP=3t，OP=OA﹣AP=2﹣3t． 过点Q作QE⊥OA于点E．（如图） 在Rt△OEQ中， ∵∠AOC=30°， ∴QE=OQ=，

∴S△OPQ=OP•EQ=（2﹣3t）•=﹣即S=﹣

（ii）当＜t≤

时（如图） +t；（3分）

+t，

=

=

（1分）

OQ=t，OP=3t﹣2． ∴∠BOA=60°，∠AOC=30°，∴∠POQ=90°． ∴S△OPQ=OQ•OP=t•（3t﹣2）=即S=

﹣t；

+t，当＜t≤

时，S=

﹣t（5分）

﹣t，

故当0＜t＜时，S=﹣

（2）D（

，1）或（

，0）或（，0）或（，

）（9分）

（3）△BMN的周长不发生变化．理由如下： 延长BA至点F，使AF=OM，连接CF．（如图） 又∵∠MOC=∠FAC=90°，OC=AC， ∴△MOC≌△FAC，

∴MC=CF，∠MCO=∠FCA．（10分） ∴∠FCN=∠FCA+∠NCA=∠MCO+∠NCA =∠OCA﹣∠MCN =60°，

∴∠FCN=∠MCN． 在△MCN和△FCN中，

，

∴△MCN≌△FCN， ∴MN=NF．（11分）

∴BM+MN+BN=BM+NF+BN=BO﹣OM+BA+AF=BA+BO=4． ∴△BMN的周长不变，其周长为4．

点评： 本题综合考查了等腰三角形、等边三角形的性质，全等三角形的判定．难度很大．注意分类讨论时，做到

不重复，不遗漏．