归纳推理在初中数学教学中的应用

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“推理能力主要表现在能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据，给出证明或举出反例.”这表明归纳推理是义务教育的培养目标之一.让归纳推理走进初中数学课堂，教师的归纳推理能力和教学方法均直接影响学生的推理能力的形成.

（二）归纳推理的应用适合初中生的思维发展

在新一轮课改中注重发现、探索及归纳推理的学习方法，是与初中生的思维发展相一致的.初中生的思维处于形象思维到抽象思维的过渡阶段，他们的思维在很大程度上还难于脱离具体事物和它们生动的表象．如果解决问题所要求达到的抽象概括水平超出他们已有的心理水平，思维自然也就中断了，而成为思维障碍.例如初中几何内容的学习中，探索多边形的对角线的特征，如果离开具体生动的图像，学生就难以理解.在数学教学过程中，根据学生的思维特征和认知结构，让学生及时了解并遵守科学的规律，是实施素质教育、提高基本能力的有效途径．而在初中数学课的教学中，渗透数学归纳推理的教学是实施素质教育的有效措施．笔者对此作了初步尝试．“归纳推理”的渗透能拓宽学生的知识面，教师在教学中要抓住适当的时机，渗透数学归纳推理的思想.

（三）归纳推理使学生成为学习的主体

探索培养学生归纳推理能力的教学方法是数学教师的当务之急.在数学课堂教学中，我们要逐步渗透归纳推理的思维过程，揭示知识的发生过程.教师的任务不是把知识和盘托出，而是创设问题，激活学生的思维活动，让学生学习数学知识的过程变成数学家当时探索的过程，进行归纳、演绎等推理，自主探索数学规律，发现数学结论，真正成为学习的主体.例如，“有理数乘方”的教学可通过“抻面师傅做抻面”这一生活实际，引导学生利用白色毛线动手操作，模拟做抻面，并记录每次对折捏合后面条根数，再通过所得数据引导学生讨论交流，归纳出乘方的定义.这一教学过程为学生提供了数学活动的机会，通过动手实践和合作交流，使学生在现实情景中归纳推理得出乘方的定义，经历数学知识的发生、发展过程，成为了学习的主体.

（四）归纳推理是培养学生的创新精神和实践能力的重要手段之一

在数学教学中应用归纳推理，不仅向学生讲述了数学思想，也是数学发现的重要手段.归纳的过程蕴含着数学问题的猜想与发现的过程，归纳法具有一定的创造性.实践表明，归纳推理可引导学生学会寻求真理、发现真理的本领，实践中，通过放开手脚让学生去实践，从观察、归纳、猜想中得出结论.因此，在数学的实际创造性活动中，观察、归纳和猜想起到了不可或缺的作用.

三、归纳推理在初中数学教学中的应用（一）利于鼓励学生自主探索与合作交流

数学新课标指出：数学课程的内容要贴近学生实际，

【摘要】在数学教学过程中，根据学生的年龄特征和认知结构，让学生及时地了解并遵守科学的规律，是实施素质教育、提高基本能力的有效途径．而在初中数学课的教学中，提前渗透数学归纳法的教学，是实施素质教育的有效措施．本文从归纳推理的概念展开，由人教版实验教科书及《课程标准》中的实例引入，从四个方面讲述了归纳推理在初中数学教学中应用的重要性，重点从四个方面综述了归纳推理在初中数学教学中的应用.

【关键词】归纳推理；数学教学；应用推理与证明是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式.推理与证明在人们的认识过程中和数学研究中乃至数学学习中有着巨大的作用，它可以使我们获得新的知识，也可以帮助我们论证或反驳某个论题.法国数学家拉普拉斯曾经说过：“即使在数学里，发现真理的主要工具也是归纳和类比.”可见归纳推理在数学思维及数学教学中的应用具有重要的意义.

一、归纳推理的定义

归纳推理是由个别、特殊到一般的推理.根据推理的前提和结论所作判断的范围是否相同，即归纳对象是否完备，可分为完全归纳推理和不完全归纳推理.

完全归纳推理是根据某类事物中每一个对象的情况，而作出关于该类事物的一般性结论的推理.完全归纳推理的前提判断中已对结论的判断范围全部作出判断，如果前提是真实的，则结论是完全可靠的，因此它可以作为数学的严格推理方法.例如，九年级数学中“圆周率定理”的证明，就是分别证明了圆心在角的边上、在角的内部、在角的外部三种情况后，得到“定理得证”的结论的.

不完全归纳推理是根据对某类事物中的一部分对象的情况而作出关于该类事物的一般性结论的推理.不完全归纳推理仅列举了对象中的一小部分，前提和结论之间未必有必然的联系.因此，由不完全归纳推理得到的结论不一定可靠，不能作为数学的证明方法.不过，它是强有力的“发现”的方法，也就是说，它是发现新真理的方法.因此，不完全归纳推理也应当在中学数学教学、数学学习中广泛应用.如《课程标准》中的例子：1＋3＝？1＋3＋5＝？1＋3＋5＋7＝1＋3＋5＋7＋9＝？1＋3＋5＋7＋9＋11＝？……根据计算结果探索规律.教学中，首先让学生思考：从上面这些算式的计算中你能发现什么？让学生经历观察、比较、归纳，提出猜想的过程；接下来鼓励学生推测出1＋3＋5＋7＋9＋…＋19＝102；最后，教师还可以根据学生的实际情况，把这个问题进一步推广到一般的情形，推出1＋3＋5＋7+…＋（2n－1）＝n2．当然，应该认识到这个结论的正确性有待进一步证明.

二、归纳推理在初中数学教学中的重要性（一）归纳推理是义务教育的培养目标之一

《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中指出：

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2教学方法JIAOXUEFANGFA以利于学生体验、思考和探索.有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式.操作活动给学生自主探究提供了一个很好的平台，探究的过程为学生的思维活动提供了航标，推理的方法为学生的探索提供了努力的方向.例如，在《勾股定理》的教学中，我就充分利用教材中的实验，发挥学生主动性，通过“发现、探究、归纳、验证”来获得新知.

（1）观察图18．1－1，你能发现课本图18．1－1中的等腰直角三角形有什么性质吗？

III自己的发现，也可让每名学生任意画一个直角三角形，验

——《勾股证自己的发现，并在此基础上得到最后的结论—定理》.

（二）可给学生提供探索与交流的空间新课标中明确指出，“本学段的学生思考和探索的愿望和能力有所提高，并能在探索过程中形成自己的观点，能在倾听别人意见的过程中逐渐完善自己的想法.新教材的编写中已抓住这个特点，提供充分探索与交流的空间，使学生进一步经历观察、实验、猜想、推理等活动”.因此，教学中应抓住教材的编写特点.

例如，“平方差公式”的教学，可进行如下设计，以引导学生不断进行思考与探索.

（1）计算并观察下面每组算式.

8×8＝5×5＝2512×12＝144!!!7×9＝634×6＝2411×13＝143

图18．1－1III上面每个小正方形的面积是＿＿＿＿＿＿.

下面的大正方形的面积是＿＿＿＿＿＿＿＿.这三个正方形的面积有怎样的关系？

由此你得到等腰三角形的三边有什么关系？（2）探究：等腰直角三

B角形有上述性质，其他的

A直角三角形也有这个性质C吗？图18．1－2中，每个小C′方格的面积均为1，请分别A′算出图中正方形A，B，A′，

B′B′，的面积，看看能得出什么结论.（提示：以斜边为

图18．1－2边长的正方形的面积，等

于某个正方形的面积减去4个直角三角形的面积.）

师生交流：正方形A中含有＿＿＿＿＿＿个小方格，即A的面积是＿＿＿＿＿＿个单位面积.

正方形B中含有＿＿＿＿＿个小方格，即B的面积是＿＿＿＿＿个单位面积.

正方形C中含有＿＿＿＿＿个小方格，即C的面积是＿＿＿＿＿个单位面积.

观察其中的规律，你能得出什么结论？与同伴交流．三个正方形A，B，C的面积有什么关系吗？图中正方形A′，B′，C′的面积也有同样的关系吗？

议一议：

（1）你能用三角的边长表示正方形的面积吗？

（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？与同伴交流．

（3）操作验证.请同学们分别以5厘米、12厘米为直角三角形两直角边作一个三角形，并测量斜边的长度.刚才的结论对这个三角形仍然成立吗？

通过以上步骤的设计，在问题设置上鼓励学生充分经历这一观察、归纳、猜想的过程，尝试求出三个正方形的面积，比较这三个正方形的面积，得出三个正方形的面积的关系，再引导学生思考三个正方形的面积的关系与直角三角形三边的关系，初步发现直角三角形三边存在的关系，在此刻通过上述过程归纳出猜想，“发现”了勾股定理的存在，学生能够清晰、有条理地表述自己的思考过程，做到言之有理，落笔有据.此时，再搞一个特例，以使学生确认

（2）已知25×25＝625，那么24×26＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿.（3）你能举出一个类似的例子吗？

（4）从上述过程中你能发现什么规律？你能用语言叙述这个规律吗？你能用代数式表示这个规律吗？

（5）你能证明自己所得到的结论吗？

学生在这些问题的指引下，其探索过程可分为以下三不步：

（1）在对具体算式的观察、比较中，通过归纳推理得出猜想；

（2）把所得到的猜想用数学符号表示出来；（3）用多项式的乘法法则证明猜想是正确的.

这样应用归纳推理及证明的方法，同学们完成了“平方差公式”的认识和任务，学生对“平方差公式”的掌握显然不是教师“讲”的，而是学生自己“发现”、“归纳”的，这样他们对“平方差公式”的“感情”、“印象”要比教师直接讲出来“深”得多.

我们的教学如果能以不同的形式把教学内容展示给学生，给学生提供探索与交流的空间，引导他们的观察，分析，实验，猜想，验证，那么学生的推理能力必将得到“空前”的发展，这不正是数学教育所追求的崇高境界吗？

（三）应用归纳推理设计教学思路

教学实践使我们知晓：好的教学设计可能使我们的课堂教学情趣浓厚，事半功倍.

如“有理数加法法则”的教学，可以有多种不同的设计方案，大体上可以分为两类：一类是较快地由教师给出法则，用较多的时间组织学生练习，以求熟练地掌握法则；另一类是注意法则归纳过程的教学，渗透数学思想方法，适当压缩应用法则的练习.其中第二类方案注意引导学生参与探索、归纳有理数加法法则产生的过程，主动地获取知识，这样，学生不仅会用法则，还明白了法则的来龙去脉，归纳推理的能力得到了培养，设计思路如下：

①提出问题：我们已经学习了有理数的一些基本知识，从今天起学习有理数的运算，首先研究两个有理数的加法，两个有理数怎样相加呢？

②给出实验模型：请大家看一个熟悉的问题：足球比赛中赢球数与输球数是相反意义的量，若规定赢球为“正”，输球为“负”，不赢不输为“0”（比如赢3球记为＋3，输2球记为－2），那么学校足球队在一场比赛中的胜负可能有哪些情形？

③师生共同探讨：上半场赢了3球，下半场赢了2球，

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4教学方法JIAOXUEFANGFA能感形成与提高的重要方面，它由人的因素和物的因素两大方面组成，而教学环境中最具活力的因素就是师生关系这一人的因素.因此，数学教学中促进学生自我效能感的形成与提高，还必须努力营造一种和谐、民主、融洽的师生关系.良好师生关系的营造，需要数学教师不断转换角色身份.数学教师既是数学知识的传播者，更是呵护学生健康成长的爱心使者，对“好生”固然应该给予爱心，对所谓的“差生”也仍就需要给予爱心，不断给他们播撒爱的阳光：每当看到他们在数学学习过程中取得了进步，即便是一丁点儿的进步，都要即时给予鼓励；每当他们在学习上有了闪失或出了差错，没有达到预期的目标，我们也要投以信任的目光，相信他们会进步，会成功，这样学生才不会沉溺于失败与悲观之中，才能更好地在教师的引导与鼓励下找出问题所在，为下次不再重蹈覆辙奠定扎实的基础.良好师生关系的形成，更需要数学教师成为学生的心理辅导医生，成为学生的共情者，“无条件”地与学生同甘共苦，成为学生倾诉内心烦恼和苦痛的人，并帮助学生拨开心理迷雾，破解心理症结，促进其心理健康地成长.良好师生关系的形成也需要数学教师成为学生内在潜能的开发者，不断引导学生并开发自我潜能，用发展的眼光来看待“貌不惊人”的学生，察觉自身优势，相信自己的学生中一定会有像“笛卡儿”、“华罗庚”、“陈景润”一样的人.只有这样，学（接2页）

那么全场共赢了5球，也就是（＋3）＋（＋2）＝＋5……（共八种情形）.

④归纳有理式加法法则：上面列了两个有理数相加的各种不同情况，并根据它们的具体意义得出了它们相加的和，但是要计算两个有理数相加的和，我们总不能一直用这种方法.师生共同归纳，得出有理数加法法则.

⑤应用法则进行计算：通过口答、笔算，提醒同学们注意两点：一是判断确定“和”的符号；二是计算“和”的绝对值.

（四）数学教学中应用归纳推理培养学生的创新能力传统的教学方式偏重结果，不重视过程，这很不利于学生知识的吸收、内化和整合.实践证明：对科学的知识，仅知其然是不够的，只有知其所以然，才能有创新.数学发展史告诉我们，我们应当把数学的创新过程艺术性地展现在学生的面前，让学生尽可能地亲身体验，把教学立足点放在使学生知道数学知识产生的背景、知识产生的缘由及知识之间的联系上，构建知识体系，实现认知结构的整体优化，为创新能力的形成打下坚实的基础.

例如，学习欧拉公式时，教材设计如下：

多面体名称形体顶点数（V）棱数（E）面数（F）正四面体正方体正八面体正十二面体生才能走近教师，师生之间才能心心相印，教师在学生眼里才不是拒人于千里之外的“权威者”和独霸话语权的“传声筒”，而是平等中的首席和朋友之王.否则，民主、和谐、融洽的师生关系不可能形成，教师不可能真正成为学生学习的榜样，班级学生间的“人气”也不可能和顺，榜样的替代经验在学生自我效能感形成与提高中的功效也就不可能实现.

【参考文献】

［1］丁志强，张澍．论教师拖堂行为．教学与管理，2008（12）．

［2］巩当训，李英杰．论学生自我效能感的培养．当代教育科学，2004（5）．

［3］丁志强．营造和谐教学氛围人人有责．教育艺术，

2008（10）．

［4］陈慧玲，严启平．浅论自我效能感及其在数学教学中的培养．职业教育研究，2006（3）．

［5］洪灵敏．学习自我效能感理论对教学设计的启示．现代教育科学，2007（4）．

［6］何东涛，王永跃，葛列众．学生自我效能发展影响因素研究．教育发展研究，2003（5）．

请你数一数上表中每个多面体的顶点数（V）、棱数（E）和面数（F），并把结果记入表格中，你会有惊奇的发现.

这样，通过填表并观察所得的数据，从中猜想其中的关系，学生就从归纳推理得出V＋F－E＝2，这就是欧拉公式的发现过程.学生在应用归纳推理的方法的过程中，再现了数学知识的形成过程，有助于学生理解和应用欧拉公式，让学生充分发挥自己的创造力，体验到了创造的乐趣，得到了培养学生创新能力的目的.

归纳推理是初中数学中应用的推理方法之一，有时还需与类比推理、演绎推理等结合起来应用，使我们的数学教学更能适应学生对知识的发现、理解、掌握和应用.这也是我在数学课堂教学实践中不断探索的内容.

【参考文献】

［1］数学课程标准（实验稿）．北京：北京师范大学出版社，

2001．

［2］义务教育课程标准实验教科书（初中数学）．北京：人民教育出版社，2004．

［3］李淑文．中学数学教学概论．北京：广播电视大学出版社，2003．

［4］邢永富．现代教育思想．北京：广播电视大学出版社，2001.

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