基于MATLAB和RZ8664的矩形信号分解与合成的实验分析

析

尚丽;张培;黄艳

【摘 要】周期信号的分解与合成是“信号与系统”课程中一个重要的教学内容，其理论基础是傅里叶级数，对高职院校的学生而言理解有一定难度。为了使学生易懂易学，以典型的周期矩形信号为例，首先在理论讲解时引入了信号分解与合成的MATLAB仿真图形，使学生对信号的分解和合成过程有视觉上的直观认知，有助于理论知识的消化；然后采用RZ8664型信号与系统实验箱对矩形信号的分解与合成进行理论验证，并与MATLAB的仿真结果进行实验对比分析，所得的实验结果能使学生更好地理解和掌握信号分解与合成的原理，在实际教学中取得较好的效果。%Periodic signal’s decomposition and composition is an important teaching content in the Signal and System Course, and its theoretical principle is the Fourier series,however,for those students in vocational colleges, it is difficult to understand this complex mathematical description. To help students understand and learn more easily, taking typical rectangular signal as an example, the simulationfigures of signal’s decomposition and composition based on MATLAB are first introduced in theoretical teaching, which facilitates students’ visual perception of the process of signal’s decomposition and composition and helps them digest the theoretical knowledge. Furthermore, the theoretical proof of the rectangular signal’s decomposition and composition is done by using the RZ8664 test box and the experimental results of RZ8664 test box are compared with the simulation results of MATLAB. The experimental

conclusions obtained help students understand better the principle of the signal’s decomposition and composition, and better teaching efficiency is obtained in fact.

【期刊名称】《苏州市职业大学学报》 【年(卷),期】2016(027)001 【总页数】7页(P13-19)

【关键词】信号分解与合成;信号与系统;MATALB仿真;RZ8664型实验箱;实践教学

【作 者】尚丽;张培;黄艳

【作者单位】苏州市职业大学 电子信息工程学院，江苏 苏州 215104;苏州市职业大学 电子信息工程学院，江苏 苏州 215104;苏州市职业大学 电子信息工程学院，江苏 苏州 215104 【正文语种】中 文 【中图分类】TP391.1

为了便于分析复杂的周期信号，常常将它们分解为幅值和频率不同的正弦或余弦分量的线性组合，然后通过分析这些信号分量在时域和频域的特性以达到了解原始周期信号特性的目的[1-4].理论上，信号分解的整个过程是傅里叶级数三角形式的展开，信号各谐波分量的幅值和频率的理论推导过程复杂繁琐，抽象难懂，高职院校的学生对此理解难度较大.为了使学生易于理解和学习，以典型的矩形信号为例，在课堂理论讲解的基础上，引入了比较灵活的MATLAB仿真实验技术[4-8]，给出设定频率的矩形信号分解与合成的仿真图形和分析结果，使学生对周期信号的分解

与合成过程有直观的认知，能够更好地理解傅里叶级数的三角式展开理论.为了进一步地验证软件仿真结果，在同样的实验条件下，采用RZ8664型信号与系统实验箱对矩形信号的分解与合成进行了硬件测试，通过示波器观测并记录信号分解的各次谐波分量及其合成过程，并与MATLAB仿真结果进行实验比较分析，进一步熟悉和理解各次谐波分量的幅值频谱以及各次谐波与基波之间的幅值和频率关系.如果仿真实验结果和硬件测试波形大致相同(在误差允许的范围内)，则从软件仿真和硬件测试两个方面验证周期信号分解与合成的原理，使学生更好地理解傅里叶级数；反之，如果软件仿真结果和硬件测试结果误差较大，则要求学生自查故障，锻炼其独立分析问题和解决问题的能力.采用理实一体化的教学方法，通过对两届学生的教学实践，证明该方法取得较好的教学效果.

1822年，法国数学家傅里叶提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础，即是周期信号分解的数学理论基础.对于一个周期为T的时域周期信号f(t)，其傅里叶级数的三角展开式在区间(t0，t0+T)内表示为[1-3]

式中：为f(t)的直流分量；an和bn称为傅里叶系数，代表各个余弦分量和正弦分量的幅度.显然，an是n的偶函数，bn是n的奇函数.

若考虑同类项合并，根据三角函数的数学知识，式(1)可以改写为

式中：幅值是n的偶函数；相角是n的奇函数.当n=k(k=1，2，…，n)时，为第k次谐波分量，它的频率是基波频率的k倍，相应的Ak是k次谐波分量的振幅，φk是k次谐波分量的初始相位.

针对一个幅度为E，脉冲宽度为τ，重复周期为T的矩形脉冲信号，利用式(1)得到傅里叶级数展开式

该信号第n次谐波的振幅为，显然矩形周期信号第n次谐波的振幅与E、T、τ有关.当给定矩形信号的E和T值时，选取不同的τ值，得到具有不同占空比的矩形

信号；然后设定频率范围，通过实验测试可以分别观测具有不同占空比的矩形信号的幅度谱之间的不同、各次谐波分量的波形变化以及各次谐波叠加的过程，以便更好地理解信号分解与合成的原理. 2.1 RZ8664型实验箱的测试原理

RZ8664型实验箱是专为“信号与系统”课程开发研制的.实验箱采用DSP数字信号处理新技术，可以方便地实现信号的时域、频域分析、各种滤波器设计与实现等.信号的分解和提取任务是通过数字滤波器实现的，采用RZ8664实验箱内部的数字滤波器模块的选频性能，对感兴趣的信号分量提取出有用的部分，而将其他无用的部分滤去.模块上配有各路输出的D/A转换器TLV5608(U502)，设计1个低通、6个带通、1个高通共8个滤波器，可以将复杂信号分解提取k次谐波(测试中取到8次谐波).当被测信号同时加到所有滤波器上，中心频率与信号所包含的某次谐波分量频率一致的滤波器有输出.在被测信号发生的实际时间内可以同时测得信号所包含的各频率分量.分解输出的8路信号可以用示波器观察，测量点分别是TP801、TP802、TP803、TP804、TP805、TP806、TP807、TP808.然后8路滤波器输出的各次谐波分量通过一个加法器，合成还原为原输入的矩形脉冲信号，合成后的波形可以用示波器在观测点TP809进行观测.如果滤波器设计正确，则分解前的原始信号(观测TP101)和合成后的信号应该相同.信号分解和合成的测试电路原理图如图1所示，其中，P801出来的是基频信号，即基波；P802出来的是二次谐波；P803出来的是三次谐波，依此类推. 2.2 MATLAB编程实现

MATLAB软件是集数值分析、信号处理和图形显示于一体的可视化软件，近年来，在“信号与系统”课程教学过程中引入MATLAB仿真技术，对一些重要的内容进行仿真验证，收到了较好的教学效果[7-12].在矩形信号的分解与合成中采用MATLAB仿真，可以观察到具体的各次谐波分量的波形、各次谐波叠加的过程以

及最终所有谐波叠加的效果.仿真中分别讨论占空比为50％的矩形信号的分解与合成情况，信号幅值设为E，周期设为T，分解的谐波分量个数设为M，占空比设为ρ.采用MATLAB命令编程主要产生矩形信号、信号幅度谱、8次谐波分量的分解以及合成等子程序，主要的编程代码如下(初始化时需设定参数E，T，M和ρ的值)：

％％％％％％产生矩形信号％％％％％％％％％％ t1=0：0.01：T1； t2=T1：0.01：T；

t=[t1'；t2'；(t1+T)'；(t2+T0)'；(t1+2*T)'；(t2+2*T)']；％指定每个矩形波的宽度

F=[ E*ones(length(t1)，1)；zeros(length(t2)，1)； E*ones(length(t1)，1)；zeros(length(t2)，1)； E*ones(length(t1)，1)；zeros(length(t2)，1)]； ％矩形脉冲信号的幅值

y=zeros(m+1，length(t))；％保存矩形信号 y(m+1，：)=F'；％

plot(t，y(m+1，：))；％画出矩形信号波形 axis([0，10，0，yy]) xlabel( ‘幅值(V)’ ) ylabel( ‘幅值(V)’ )

％％％％％％产生幅度谱％％％％％％％％％％ A=T1/T； fhz=(2*pi/T)*m； freq=[0：1：fhz]；

mag=abs(a*sinc(a*freq))

stem(freq，mag) ％ 画出幅度谱波形 ％％％产生各谐波分量(信号分解)％％％ for kk=1：m， subplot(2，4，kk)

xk=2*E/(kk*pi)*sin(kk*rou*pi)*cos(kk*2*pi*t/T)；％各次谐波分量 if xk<0.00001， xk=0； end

％％％各谐波分量的叠加(信号合成)％％％ x=rou*E*ones(size(t))； for k=1：m ％循环显示各次谐波叠加波形 x=x+2*E/(k*pi)*sin(a*k*pi)*cos(2*pi*t*k/T)； y(k，：)=x；％ 存放各次谐波叠加和 subplot(2，4，k) plot(t，y(k，：))； axis([0，11，-1，E+1]) 3.1 MATLAB仿真结果

设置矩形信号的幅值E=4 V，周期T=4 s，谐波分量的个数M=8.当占空比ρ=50％时，采用MATLAB的编程代码得到的矩形信号波形、各次谐波分量波形、各次谐波叠加波形分别如图2、图3、图4所示.

根据理论分析，矩形信号第n次谐波的振幅为，据此公式计算得到的各谐波分量的幅值列于表1中.观察各谐波分量的仿真波形，可以明显看出各次谐波分量的波形幅值逐渐减小；当ρ=50％时，第2次、第4次和第8次的谐波分量为0，这和表1中各谐波分量幅值的理论计算结果变化趋势一致.另外，从8次谐波分量的最

终叠加结果也可以看出，最终叠加波形已明显近似于原始矩形信号.理论上，谐波分量个数无穷多时，最终叠加合成的信号应与原始信号一致.但是，实际测试中，只能取其中的有限项，从信号的叠加过程也可以看出，谐波分量个数越多，叠加的信号误差越小.因为实际工程应用中，9次以上的谐波分量通常看作噪声信号，所以此次测试中仅讨论了8次谐波分量的分解和合成情况，MATLAB的仿真实验结果和理论分析结果一致. 3.2 RZ8664实验箱观测结果 3.2.1 矩形信号的分解

采用RZ8664实验箱观测阶信号分解的步骤概述如下： 1) 连接实验箱上的P04与P101管脚；

2) 调节信号源，使P04输出f=4 kHz、占空比为50％的脉冲信号，调节W701使信号幅度为4 V；

3) 按下SW101按钮，使程序指示灯D3D2D1D0=0101，指示灯对应信号分解； 4) 把示波器分别连接到TP801、TP802、TP803、TP804、TP805、TP806、TP807和TP808管脚上，可以观测到矩形信号分解得到的各次谐波分量的波形，同时记录各次谐波分量的幅值.

根据实验步骤，当占空比ρ=50％时观测到的各谐波分量波形如图5所示，各次谐波分量的幅值记录见表2.观测各谐波分量，显然，第2次、第4次、第6次和第8次的谐波分量为0；第1次、第3次、第5次和第7次谐波分量幅值依次减小；同时观测表2中数据，可以看到幅值变化趋势和谐波分量高度变化是一致的，而且仿真数据和实测数据也是非常接近的，故实验结果和MATLAB仿真结果是一致的.

3.2.2 矩形信号的合成

矩形信号合成时，前4个实验步骤和信号分解的前4个步骤相同，各次谐波的波

形仍采用示波器观测得到.测试时准备8根导线，采用不同的连接方式(如基波和三次谐波合成时，只需2根导线连接P801 和P809，P803和P811)，实现不同谐波分量的合成，同时用示波器观察合成信号输出端TP809的输出幅度和波形.实验中，8根导线的默认连接方式为P801-P809、P802-P810、P803-P811、P804-P812、P805-P813、P806-P814、P807-P815、P808-P816.其组合也可随意更换.当矩形信号占空比ρ=50％时，各次谐波合成的波形如图6所示.

观测各谐波分量的叠加结果，可以看出，因为第2、第4、第6、第8次(偶次)谐波的分量为0，所以1～2次谐波分量叠加波形同1次谐波波形；1～4次谐波分量叠加波形同1、3次谐波分量叠加波形；1～6次谐波分量叠加波形同1、3、5次谐波分量叠加波形；1～8次谐波分量叠加波形同1、3、5、7次谐波分量叠加波形，即所有奇次谐波分量叠加的波形就是原始矩形信号的近似波形.

采用MATLAB编程和RZ8664信号与系统实验箱，分别对一个给定幅值和频率的方波信号进行仿真实验分析和硬件测试.通过仿真实训过程，使学生对方波信号的分解和合成的波形有直观的认知和了解，进一步熟悉各谐波分量的波形形状.以仿真结果作为实测依据，在硬件测试时，有助于学生判断实验箱测试时得到的各谐波分量以及合成的结果是否正确.如果测试结果和仿真结果近似一致，则说明实测步骤和结果正确，反之，实测过程有故障，需要学生查找问题，解决故障，最终得到正确的方波信号分解和合成结果.教学实践证明，采用这种仿真和硬件一体化的实训方法可以使学生更好地掌握周期信号分解与合成的原理，进一步理解傅里叶级数的数学知识，取得了较好的教学效果.

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