基于摆线的螺旋锥齿轮齿根过渡圆弧研究

轮齿根过渡圆弧研究与定义的不明确与复杂性，提出了一种螺旋锥齿轮齿根过渡圆弧的精确画法。 此方法通过研究螺旋锥齿轮大端面当量齿轮的齿廓曲线，对齿根过渡圆弧曲线进行改进，提出了基

于摆线的齿根过渡圆弧设计方法。关键词:螺旋锥齿轮;强度；当量齿轮;过渡圆弧中图分类号:TH132

文献标识码:ADOI: 10.19287/j. cnki. 1005-2402.2020.02.030Research on the transitional arc of spiral bevel gear root based on cycloidBIAN Bo , HONG Rongjing(School of Mechanical and Power Engineering, Nanjing University of Technology, Nanjing 210000, CHN)Abstract: Increasing the strength of the gears with the basic size of the gears remains unchanged has always been an

important research direction. In this paper, for the ambiguity and complexity o£ the research and defini­

tion of root transition arc of the spiral bevel gear. An accurate method for the root transitional arc of spiral

bevel gear is proposed. This method studies the tooth profile curve of the large end face of the equivalent

gear of the spiral bevel gear, improve the root arc transition curve and come up with a design method a- bout root transition arc based on cycloid・Keywords:spiral bevel gear；strength； the equivalent gear； transition arc齿轮传动的应用在机械领域非常广泛⑴。由于 齿根形状在根部过渡曲线处突然变化,引起应力集中，

齿轮为对象,对其齿根处的过渡圆弧进行研究。当量齿 轮是节圆半径为RtanS］、RtanS?,齿数为z/cosS］、

因此过渡曲线的设计和选择对齿轮的抗弯强度有很大

Z2/C0Q2,螺旋角为0的斜齿圆柱齿轮副。其中,丘为外

影响IM〕。螺旋锥齿轮作为齿轮领域最为复杂的一种 齿轮，是能量传输的重要的工业部件⑷，其齿根过渡 圆弧对轮齿的强度有直接的影响。国内外对于齿根应

锥距,5为带锥角,z为齿数，下角码1为小锥齿轮,2为 大锥齿轮。当量齿轮的渐开线齿廓与摆线过渡圆弧的

示意图如图1所示。该摆线由半径为a的滚动圆沿基 圆内圆周滚动时，滚动圆周上一点展开而成，摆线的一

力研究作出了不少有效的工作「I。研究表明叫增 大齿根部分的曲率半径可以有效增加齿根的强度。国

端与齿廓渐开线在基圆处相切，另一端与齿根圆相切。内最近对齿根有一定研究,也有其局限性，例如文献 ［3 ］和文献［9 ］的研究对象是直齿轮,而文献［1 ］只是 在高速情况下对直齿轮进行修形,并没有在对象上进 行改变。基于这些文献的不足，本文对其研究进行更

深入的探讨,提出一种基于摆线的齿轮齿根过渡曲线， 将其应用到螺旋锥齿轮上。该曲线容易做到与渐开线

与齿根部的曲线相切，对于提高齿轮根部的弯曲强度

有一定的帮助。1齿根摆线滚动圆半径的求解图］端面齿廉和摆线示意图本文以螺旋锥齿轮小轮的大端端面齿廓处的当量

• 143 •功能部徉 Ftindion Units图1中6是小轮当量齿轮基圆半径，其取值与螺 旋锥齿轮的后锥距乩有关。ry是当量齿轮齿根圆半

径。螺旋锥齿轮的压力角a通常指的是法截面压力角 a”。法截面压力角a”与端面压力角a,的关系如下：

tana“ = tanafco^B因设计方法，所以这里采用的是法截面压力角，即

cosa” o因渐开线的定义确定渐开线的一端在基圆上，为

了确保齿根圆弧与渐开线齿廓之间的连接并且可以相

切,基于摆线的齿根过渡圆弧的起点与渐开线重合并 且方向相反。保证了摆线与渐开线齿廓的相切,也需要保证摆

线与齿根圆处的相切,这时就需要控制摆线的滚动圆 的半径a。摆线的方程如下{X =- a(t - sin?)y = - a( 1 _ cosi) + rb(1)

£是滚动圆滚动所经过的弧度(滚动角)。由于 {dx/dt 二- a(l - cos£),dy/dt = - asint，得出 dy/dx = sin\"( 1 - cost) o由此,获得了摆线上任一点的切线方程与法线方

程为y + a( 1 一 cosr) - rb =

1 - cosi(% + a(方一 sinf))

⑵y + a( 1 - cosi) ~ rb =sinr---- (x + a(t - sini))(3)

由于摆线与齿根圆相切，所以摆线的法线即是齿 根圆的法线，则法线必过原点0(0,0),将其代入式(3)可得a = —rbsint -、i (---------- 1 - cost) (4)而齿根圆的方程为X2 + y2 = r/ (5)将点(-a(t - sini) , - a( 1 - cost) + rb))代入齿

根圆的方程(5)并联立式(4)得到以下方程sin勺(t - sini)2

2sirUt2 (1 - cosf)2(6)式(6)经由Matlab计算即可得到t的值,然后代

入式(4)即可得到摆线的滚动圆半径a的值。如此, 所输入的摆线方程便与齿根圆和渐开线同时相切。2齿轮齿根过渡曲线的干涉检验虽然螺旋锥齿轮的啮合很复杂,但是一对螺旋锥

• 144 •2020年第2期齿轮在法截面的上的啮合关系,也可以用最简单的圆 柱齿轮副近似模拟,近似齿轮是一对节圆半径为/itanfij

/?tanS2O1 COS% ' °2 cos%齿数为ol cosSj cos3jB ' 02 cos32 cos3j8的圆柱齿轮副。所以可以利用当量圆柱齿轮副来检验 过渡曲线的干涉问题。在圆柱齿轮副的理论中，当齿轮的啮合达到极限

位置的时候,假设图2中齿轮2的齿顶没有落在齿轮 1的渐开线齿廓的有效长度内，则发生了齿轮齿根过

渡曲线干涉[9-10]o图2当量齿轮啮合的极限位置图2中M、N为齿廓啮合的理论极限点，4为瞬 心点，％为啮合角，C为齿廓与基圆交点处的切线在

MN上的交点。设B点为当量齿轮实际啮合的极限 点，当B位于BC内，就可以认为齿廓啮合极限点是落 在渐开线齿廓的有效范围内的,则齿轮2对齿轮1就

不发生过渡曲线干涉，反之则发生。在A02AB中满足下式OA2 +AB2- O^B2cos Z O2AB = —_(7)

2 02A • AB式中：Z-O2AB - a； + 90° ； 02A = ra2 = l?tanS2/ cos% =

mz辺/2； Oj的长度可以用当量齿轮的齿顶圆半径近

似，即鬲'=尬亿2 + 2h：)/2,代入式(7)得：AB2-航孑%= _(8)

m2h* _ AB • m • sina；2020年第2期令 AB = m ・ A/sina-,贝!Jh2, - h* 2 sin2azZ2=

―i .2(加-h) sin

a；(9)从等式(9)可以看出，如果Z2增加，人也会增加， 当B点与C点重合，Z2为齿轮2齿顶达到齿轮1齿根 处不发生过渡曲线干涉的最大齿数值，将h=h：代入

式(9)中得到z2 = oo因此,基于摆线过渡圆弧的螺旋锥齿轮啮合时,不

会发生齿根过渡曲线干涉。3螺旋锥齿轮根切检验锥齿轮的根切最容易发生在小轮的小端,当内端 齿根高高过极限齿根高时，就会发生根切。根切检验 通过内端实际齿根高同极限齿根高的比较进行判

断⑴〕。以下是根切检验所需的计算公式：内端锥距Ra=R-b (10)式中\"为齿宽。因采用的是对数螺旋线，可使得轮齿

上螺旋角处处相等，所以小轮小端处的螺旋角即为0。极限齿根高仏=R；2tan& sir?%

(11)齿根高hg = hfl _ 0.56 • tan%

(12)式中：如为小轮齿根高，％为小轮齿根角。计算式 (11).(12),比较所得%、叽数值即可判断是否根切。设计齿轮具体参数如表］所示。表1螺旋锥齿轮尺寸表参数名称参数符号参数值齿数ZZ] = 15, z2 = 28大端模数mm =6 mm外锥距RR =95.29 mm齿宽bb =29 mm节锥角83 ! =28.18° A = 61.82°压力角a20°分度圆直径dd1 = 90 mm螺旋角039.87°齿顶高haha = 4.2 mm齿根高hfhf=5.4 mm轴交角s90°由表1中数据可以求得：/i； = 6.52 mm, hg = 2.95 mm,因根切条件为：人-饨M0时不根切，所以设计的 齿轮组满足根切检验要求。____________________________Function Units4齿轮弯曲应力有限元分析使用上述数据对螺旋锥齿轮小轮进行实体建模

后，导入ABAQUS软件对其进行有限元分析操作，以 验证摆线过渡圆弧的可行性。设置单元形状为四面体,尺寸控制设置数值为

2,最小尺寸控制按站全局尺寸的比例设置为0.05, 采用默认单元类型，生成网格。齿轮的弹性模量取2 xlO5 MPa,泊松比取0.3,在齿轮凹处一侧施加面载

荷,大小为500 N,图3、4为两齿轮轮齿受载的等效 应力图。图3基于摆线过渡圆孤的螺旋锥齿轮楝应力图图4基于样条曲线过渡圆弧的螺旋锥齿轮等效应力图可以看出,最大的弯曲应力都发生在齿根部分，且

都存在一定的应力集中现象，而基于样条曲线过渡的・145・功能部徉 Ftindion Units齿轮齿根最大弯曲应力为267 MPa,明显大于基于摆 线过渡的齿轮齿根处的最大弯曲应力的220 MPa,结 果表明，基于摆线的齿根过渡圆弧，能够改善齿根的

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5结语(1) 提出了一种基于摆线的齿根过渡圆弧曲线， 利用齿廓法对曲线方程进行求解,并使用计算软件算

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究[J].制造业自动化,2015,37(4):94-96.齿根应力进行有限元分析，发现最大应力都发生在齿

根处，且次方法设计的齿轮能够有更高的弯曲强度。[11] 效忠，魏冰阳.锥齿轮设计的新方法[M].北京:科学出版社,2012,

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方向为车间智能调度。(编辑李静)(收稿日期：2018-11-13)文章编号：20200232如果您韻发表对本文的看法，请将文章编号填入读者意见调查表中的相应位置。2017:110-112.• 146 •