2019年广东省广州市天河区中考数学一诊试卷(解析版)

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1. 下列实数中，无理数是（ ）

C. 2 D. √15

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 已知一组数据-1，4，2，-2，x的众数是2，那么这组数据的中位数是______． 12. 如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，若正六边形的面积等于3√3，

则⊙O的面积等于______．

13. 如图，点A的坐标为（-1，0），AB⊥x轴，∠AOB=60°，点

B在双曲线l上，将△AOB绕点B顺时针旋转90°得到△CDB，则点D______双曲线l上（填“在”或“不在”）．

⏜的AB与⊙O相切于点B，14. 如图，弦BC∥OA．若⊙O的半径为3，∠A=50°，则𝐵𝐶

长为______．

7

A. 3.14 B. 2.12122 C. 3√9

D. 7

22

2. 下列立体图形的正视图不是中心对称图形的一项是（ ）

A.

圆锥

B.

正方体

C.

长方体

D.

球

3. 下列各式计算正确的是（ ）

A. 𝑎2×𝑎3=𝑎6

√3

B. √3÷√2=

22

C. 1−𝑥2=𝑥+1

𝑥−11

D. (𝑥+𝑦)2=𝑥2+𝑦2

4. 一个不透明的盒子里装有除颜色外其他都相同的红球6个和白球若干个，每次随机摸出一个球，记下

颜色后放回，摇匀后再摸，通过多次试验发现摸到红球的频率稳定在0.3 左右，则盒子中白球可能有（ ） A. 12个 B. 14个 C. 18个 D. 20个 5. 已知直线y=ax+b（a≠0）经过第一，二，四象限那么，直线y=bx-a一定不经过（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

6. 小明和小张两人练习电脑打字，小明每分钟比小张少打6个字，小明打120个字所用的时间和小张打

180个字所用的时间相等．设小明打字速度为x个/分钟，则列方程正确的是（ ）

A. 𝑥+6=

120180𝑥

B.

120𝑥

=𝑥−6

180

C.

120𝑥

=𝑥+6

180

D. 𝑥−6=

120180𝑥

7. 如图，在正方形网格中，△ABC的位置如图，其中点A、B、C分别在格

点上，则sinA的值是（ ）

10

B. 3 A. √1055 D. √ C. √510

1

8. 菱形不具备的性质是（ ）

A. 四条边都相等 B. 对角线一定相等 C. 是轴对称图形 D. 是中心对称图形

9. 下列关于函数y=x2-6x+10的四个命题：当x=0时，y有最小值10；②n为任意实数，x=3+n时的函数值大于x=3-n时的函数值；③若n＞3，且n是整数，当n≤x≤n+1时，y的整数值有（2n-4）个；④若函数图象过点（x0，m）和（x0-1，n），则m＜n，其中真命题的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 10. 如图，将边长为3的正方形纸片ABCD对折，使AB与DC重合，折痕为

EF，展平后，再将点B折到边CD上，使边AB经过点E，折痕为GH，点B的对应点为M，点A的对应点为N，那么折痕GH的长为（ ） A. √10

15. 如图，已知▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AC=8，BD=10，AB=5，则△OCD的周长为______．

AB=5，16. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点P是AC上的动点，连接BP，以BP为边作等边△BPQ，

连接CQ，则点P在运动过程中，线段CQ长度的最小值是______．

三、计算题（本大题共3小题，共30.0分） 17. 解不等式组{𝑥+1>4(𝑥−2)

2𝑥+1≥−1

B. 3

10

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18. 先化简，再求值：

𝑎2−2𝑎𝑏+𝑏2

3𝑎−3𝑏

21. 垫球是排球队常规训练的重要项目之一．下列图表中的数据是甲、乙、丙三人每人十次垫球测试的成

绩．测试规则为连续接球10个，每垫球到位1个记1分． 运动员甲测试成绩表

测试序号 成绩（分） ÷(𝑏−𝑎)，其中a、b是方程x2-5x-6=0的两根．

1

1

1 7 2 6 3 8 4 7 5 7 6 5 7 8 8 7 9 8 10 7

19. 某文具店购进A，B两种钢笔，若购进A种钢笔2支，B种钢笔3支，共需90元；购进A种钢笔3支，

B种钢笔5支，共需145元．

（1）求该文具店购进A、B两种钢笔每支各多少元？

（2）经统计，B种钢笔售价为30元时，每月可卖支；每涨价3元，每月将少卖12支，求该文具店B种钢笔销售单价定为多少元时，每月获利最大？最大利润是多少元？

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

20. 分别在图①，图②中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）

（1）如图①，已知四边形ABCD为平行四边形，BD为对角线，点P为AB上任意一点，请你用无刻度的直尺在CD上找出另一点Q，使AP=CQ；

（2）如图②，已知四边形ABCD为平行四边形，BD为对角线，点P为BD上任意一点，请你用无刻度的直尺在BD上找出一点Q，使BP=DQ．

（1）写出运动员甲测试成绩的众数为______；运动员乙测试成绩的中位数为______；运动员丙测试成绩的平均数为______；

（2）经计算三人成绩的方差分别为S甲2=0.8、S乙2=0.4、S丙2=0.8，请综合分析，在他们三人中选择一位垫球成绩优秀且较为稳定的接球能手作为自由人，你认为选谁更合适？为什么？

（3）甲、乙、丙三人相互之间进行垫球练习，每个人的球都等可能的传给其他两人，球最先从甲手中传出，第三轮结束时球回到甲手中的概率是多少？（用树状图或列表法解答）

22. 如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=𝑥的图象交于A（1，4），

B（4，n）两点．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）直接写出当x＞0时，kx+b＜𝑥的解集．

（3）点P是x轴上的一动点，试确定点P并求出它的坐标，使PA+PB最小．

𝑚

𝑚

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23. 如图，已知P是正△ABC外接圆的𝐵𝐶

⏜上的任一点，AP交BC于D．求证：PA2=AC2+PB•PC．

24. 将矩形ABCD绕点B顺时针旋转得到矩形A1BC1D1，点A、C、D的对应点分别为A1、C1、D1

（1）当点A1落在AC上时 ①如图1，若∠CAB=60°，求证：四边形ABD1C为平行四边形； ②如图2，AD1交CB于点O．若∠CAB≠60°，求证：DO=AO；

（2）如图3，当A1D1过点C时．若BC=5，CD=3，直接写出A1A的长．

25. 在平面直角坐标系xOy中抛物线y=-x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（-1，0），C（0，3）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BCD的面积最大时，求点P的坐标；

（3）如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，N是线段EF上一动点，M（m，0）是x轴上一动点，若∠MNC=90°，直接写出实数m的取值范围．

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答案和解析

1.【答案】C 【解析】 解：无理数是故选：C．

根据无理数的三种形式，结合选项找出无理数的选项．

此题主要考查了同底数幂的乘法运算、二次根式除法运算、约分、完全平方公式等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．

，

4.【答案】B 【解析】

解：∵通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在0.3左右， ∴根据题意任意摸出1个，摸到红球的概率是：0.3，

本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②

设袋中白球的个数为a个，

无限不循环小数，③含有π的数． 2.【答案】A 【解析】

解：A．圆锥的主视图是等腰三角形，不是中心对称图形； B．正方体的主视图是正方形，是中心对称图形；

根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其

C．长方体的主视图是长方形，是中心对称图形；

发生的概率即可．

D．球的主视图是圆，是中心对称图形；

此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可

故选：A．

能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=

找到从正面看所得到的图形，再依据中心对称图形的概念判断即可． 本题考查了三视图的知识，正视图是从物体的正面看得到的视图． 3.【答案】B 【解析】

a3=a5，故此选项错误； 解：A、a2×B、C、

÷==

，故此选项正确；

=-，故此选项错误；

5.【答案】D

【解析】

解：∵直线y=ax+b（a≠0）经过第一，二，四象限， ∴a＜0，b＞0，

∴直线y=bx-a经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 故选：D．

根据直线y=ax+b（a≠0）经过第一，二，四象限，可以判断a、b的正负，从而可以判断直线y=bx-a经过哪几个象限，不经过哪个象限，本题得以解决．

本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 6.【答案】C 【解析】

解：小明打字速度为x个/分钟，那么小明打120个字所需要的时间为：易得小张打字速度为（x+6）个/分钟，小张打180个字所需要的时间为：

； ； 是解题关键．

则0.3=

．

解得：a=14，

∴盒子中白球可能有14个． 故选：B．

D、（x+y）2=x2+2xy+y2，故此选项错误； 故选：B．

直接利用同底数幂的乘法运算法则、二次根式除法运算法则、约分化简、完全平方公式分别化简求出答案．

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∴可列方程为：故选：C．

， 解：∵y=x2-6x+10=（x-3）2+1，

∴当x=3时，y有最小值1，故①错误； 当x=3+n时，y=（3+n）2-6（3+n）+10， 当x=3-n时，y=（n-3）2-6（n-3）+10， ∵（3+n）2-6（3+n）+10-[（n-3）2-6（n-3）+10]=0，

∴n为任意实数，x=3+n时的函数值等于x=3-n时的函数值，故②错误； ∵抛物线y=x2-6x+10的对称轴为x=3，a=1＞0， ∴当x＞3时，y随x的增大而增大， 当x=n+1时，y=（n+1）2-6（n+1）+10， 当x=n时，y=n2-6n+10，

（n+1）2-6（n+1）+10-[n2-6n+10]=2n-5，

有工作总量180或120，求的是工作效率，那么一定是根据工作时间来列等量关系的．关键描述语是：“小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等”．等量关系为：小明打120个字所用的时间=小张打180个字所用的时间．

解决本题的关键是根据不同的工作量用的时间相等得到相应的等量关系． 7.【答案】A 【解析】

解：过点C作CD⊥AB于点D， ∵BC=2，

4=4， ∴S△ABC=BC×∵AB=∴CD=∵AC=∴sinA=故选：A．

===4， =2

=，

， ，

2n-5+1=2n-4．

∵n是整数，

∴若n＞3，且n是整数，当n≤x≤n+1时，y的整数值有（2n-4）个，故③正确． 若函数图象过点（x0，m）和（x0-1，n），则m＜n，错误，也有可能m≥n，故④错误． 故选：B．

根据勾股定理，可得AC的长，根据正弦等于对边比斜边，可得答案．

分别根据二次函数的图象与系数的关系、抛物线的顶点坐标公式及抛物线的增减性对各命题

本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数的定义，构造∠A所在的直角三角形是解题的关

进行逐一分析．

键． 8.【答案】B 【解析】

解：菱形的四条边相等，是轴对称图形，也是中心对称图形，对角线垂直不一定相等， 故选：B．

根据菱形的性质即可判断；

故y2+x2=（3-y）2，

本题考查菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，属于中考基础题． 9.【答案】B 【解析】

整理得：y=-x2+， 即CH=-x2+，

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本题主要考查了二次函数的性质，图象，能够根据二次函数的性质数形结合是解决问题的关键． 10.【答案】A 【解析】

解：设CM=x，设HC=y，则BH=HM=3-y，

∵四边形ABCD为正方形， ， ∴∠B=∠C=∠D=90°

由题意可得：ED=1.5，DM=3-x，∠EMH=∠B=90°， 故∠HMC+∠EMD=90°， ， ∵∠HMC+∠MHC=90°

∴∠EMD=∠MHC， ∴△EDM∽△MCH， ∴即

==

，

，

先根据众数定义求出x，再把这组数据从小到大排列，找出正中间的那个数就是中位数． 本题考查了众数、中位数，解题的关键是理解众数、中位数的概念，并根据概念求出一组数据的众数、中位数． 12.【答案】2π 【解析】

解：连接OE、OD，

∵六边形ABCDEF是正六边形， ， ∴∠DEF=120°， ∴∠OED=60°

∵OE=OD，

∴△ODE是等边三角形， ∴DE=OE， 设OE=DE=r，

作OH⊥ED交ED于点H，则sin∠OED=∴OH=

，

， •r×6=3

，

，

解得：x1=1，x2=3（不合题意）， ∴CM=1，

如图，连接BM，过点G作GP⊥BC，垂足为P，则BM⊥GH， ∴∠PGH=∠HBM， 在△GPH和△BCM中

，

∴△GPH≌△BCM（SAS）， ∴GH=BM， ∴GH=BM=故选：A．

利用翻折变换的性质结合勾股定理表示出CH的长，得出△EDM∽△MCH，进而求出MC的长，

=

．

∵正六边形的面积等于∴正六边形的面积=×解得：r=

，

∴⊙O的面积等于2π， 故答案为：2π．

依据△GPH≌△BCM，可得GH=BM，再利用勾股定理得出BM，即可得到GH的长．

连接OE、OD，由正六边形的特点求出判断出△ODE的形状，作OH⊥ED，由特殊角的三角函数

此题主要考查了翻折变换的性质以及正方形的性质、相似三角形的判定与性质和勾股定理的

值求出OH的长，利用三角形的面积公式即可表示出△ODE的面积，进而根据正六边形

综合运用，作辅助线构造全等三角形，正确应用相似三角形的判定与性质是解题关键． 11.【答案】2 【解析】

解：∵数据-1，4，2，-2，x的众数是2， ∴x=2，

则数据为-2、-1、2、2、4， 所以中位数为2； 故答案为：2．

ABCDEF的面积求得圆的半径，从而求得圆的面积．

本题考查了正多边形的性质，掌握正六边形的边长等于半径的特点是解题的关键． 13.【答案】不在 【解析】

解：在Rt△AOB中，∵OA=1，∠AOB=60°，

， ∴AB=

），D（-1-，-1）， ∴B（-1，∵点B在y=k=-第6页，共11页

上，

，

∵（-1-）（-1）=-2≠-上，

，

故答案为14．

根据平行四边形的性质即可解决问题；

∴点D不在y=-故答案为不在．

本题考查平行四边形的性质、三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，

求出点B、D的坐标即可判断；

属于中考基础题．

本题考查反比例函数图象上的点的特征、坐标与图形的变化、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 14.【答案】3π

【解析】

5

16.【答案】4

【解析】

5

解：如图，取AB的中点E，连接CE，PE．

解：连接OB，OC， ∵AB为圆O的切线， ， ∴∠ABO=90°

在Rt△ABO中，∠A=50°，⊙O的半径为3， ， ∴OB=3，∠AOB=40°

∵BC∥OA，

， ∴∠OBC=∠AOB=40°

又OB=OC，

， ∴∠BOC=100°则

=

=π，

，∠A=30°， ∵∠ACB=90°

， ∴∠CBE=60°

∵BE=AE， ∴CE=BE=AE， ∴△BCE是等边三角形， ∴BC=BE，

， ∵∠PBQ=∠CBE=60°

∴∠QBC=∠PBE， ∵QB=PB，CB=EB， ∴△QBC≌△PBE（SAS）， ∴QC=PE，

∴当EP⊥AC时，QC的值最小， 在Rt△AEP中，∵AE=，∠A=30°， ∴PE=AE=， ∴CQ的最小值为．

如图，取AB的中点E，连接CE，PE．由△QBC≌△PBE（SAS），推出QC=PE，推出当EP⊥AC时，QC的值最小；

本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等

故答案为：π．

连接OB，OC，由AB为圆的切线，利用切线的性质得到△AOB为直角三角形，且∠AOB=40°，再由BC与OA平行，利用两直线平行内错角相等得到∠OBC=40°，又OB=OC，得到△BOC为等边三角形，确定出∠BOC=100°，利用弧长公式即可求出劣弧BC的长．

此题考查了切线的性质，直角三角形的性质，以及弧长公式，熟练掌握切线的性质是解本题的关键． 15.【答案】14

【解析】

解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD=5，OA=OC=4，OB=OD=5， ∴△OCD的周长=5+4+5=14，

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知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化 的思想思考问题．

17.【答案】解：解不等式2x+1≥-1，得：x≥-1，

解不等式x+1＞4（x-2），得：x＜3， 则不等式组的解集为-1≤x＜3． 【解析】

∵a=-4＜0，

∴当x=33时，W取得最大值，最大值为676，

答：该文具店B种钢笔销售单价定为33元时，每月获利最大，最大利润是676元． 【解析】

（1）设文具店购进A种钢笔每支m元，购进B种钢笔每支n元，根据“购进A种钢笔2支，B种钢笔3支，共需90元；购进A种钢笔3支，B种钢笔5支，共需145元”列二元一次方程组求解可得；

销售量”列出函数解析式，将（2）设B种钢笔每支售价为x元，根据“总利润=每支钢笔的利润×

分别求出两个不等式的解集，再求其公共解集．

本题考查一元一次不等式组的解法，求不等式组的解集，要遵循以下原则：同大取较大，同小

其配方成顶点式，再利用二次函数的性质求解可得．

取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 18.【答案】解；

=3(𝑎−𝑏)÷=

(𝑎−𝑏)2(𝑎−𝑏)2

𝑎−𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏

𝑎2−2𝑎𝑏+𝑏2

3𝑎−3𝑏

本题主要考查二次函数的应用与二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，找到题目中

÷(𝑏−𝑎)

1

1

蕴含的相等关系，并据此列出方程和函数解析式及二次函数的性质． 20.【答案】解：（1）如图①，点Q即为所求；

3(𝑎−𝑏)𝑎−𝑏𝑎𝑏

⋅

=，

3

∵a、b是方程x2-5x-6=0的两根， ∴ab=1=-6， ∴原式=3=-2． 【解析】

−6−6

（2）如图②，点Q即为所求． 【解析】

（1）连接AC交BD于O，连接PO并延长交CD于点Q；

（2）连接AC交BD于点O，连接AP并延长交BC于点E，连接EO并延长交AD于点F，连接

根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将ab的值代入化简后的式子即可解答本题．

本题考查分式的化简求值、根与系数的关系，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 19.【答案】解：（1）设文具店购进A种钢笔每支m元，购进B种钢笔每支n元，

根据题意，得：{3𝑚+5𝑛=145， 解得：{𝑛=20，

答：文具店购进A种钢笔每支15元，购进B种钢笔每支20元；

（2）设B种钢笔每支售价为x元，每月获取的总利润为W， 则W=（x-20）（-12×=-4x2+2x-3680 =-4（x-33）2+676，

𝑥−303

𝑚=15

2𝑚+3𝑛=90

CF交BD于点Q．

本题主要考查作图-基本作图，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 21.【答案】7 7 6 【解析】

解：（1）甲运动员测试成绩的众数和中位数都是7分． 运动员丙测试成绩的平均数为：故答案是：7；7；6；

（2）∵甲、乙、丙三人的众数为7；7；6 甲、乙、丙三人的中位数为7；7；6

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=6（分）

）

甲、乙、丙三人的平均数为7；7；6.3 ∴甲、乙较丙优秀一些， ∵S甲2＞S乙2

∴选乙运动员更合适．

（3）树状图如图所示，

PA+PB=AB′最小， ∵B（4，1）， ∴B′（4，-1），

设直线AB′的解析式为y=px+q， ∴{4𝑝+𝑞=−1， 𝑝=−

3

解得{17，

𝑞=

35

𝑝+𝑞=4

∴直线AB′的解析式为y=-3x+3， 令y=0，得-3x+3=0， 解得x=5，

17

5

17

517

第三轮结束时球回到甲手中的概率是p==．

（1）观察表格可知甲运动员测试成绩的众数和中位数都是7分； （2）易知S甲2=0.8、S乙2=0.4、S丙2=0.8，根据题意不难判断； （3）画出树状图，即可解决问题；

本题考查列表法、条形图、折线图、中位数、平均数、方差等知识，熟练掌握基本概念是解题的关键．

22.【答案】解：（1）把A（1，4）代入y=𝑥，得：m=4，

∴反比例函数的解析式为y=𝑥； 把B（4，n）代入y=𝑥，得：n=1， ∴B（4，1），

把A（1，4）、（4，1）代入y=kx+b， 得：{4𝑘+𝑏=1， 解得：{𝑏=5，

∴一次函数的解析式为y=-x+5；

（2）根据图象得当0＜x＜1或x＞4，一次函数y=-x+5的图象在反比例函数y=𝑥的下方；

∴当x＞0时，kx+b＜𝑥的解集为0＜x＜1或x＞4；

（3）如图，作B关于x轴的对称点B′，连接AB′，交x轴于P，此时

𝑚

4

𝑘=−1𝑘+𝑏=4

4

4

𝑚

∴点P的坐标为（5，0）． 【解析】

17

（1）将点A（1，4）代入y=

可得m的值，求得反比例函数的解析式；根据反比例函数解析式求

得点B坐标，再由A、B两点的坐标可得一次函数的解析式； （2）根据图象得出不等式kx+b＜

的解集即可；

（3）作B关于x轴的对称点B′，连接AB′，交x轴于P，此时PA+PB=AB′最小，根据B的坐标求得B′的坐标，然后根据待定系数法求得直线AB′的解析式，进而求得与x轴的交点P即可． 本题主要考查反比例函数和一次函数的交点及待定系数法求函数解析式、轴对称-最短路线问题，掌握图象的交点的坐标满足两个函数解析式是解题的关键． 23.【答案】证明：∵△ABC是等边三角形，

∴∠ACB=∠ABC=60°，AC=AB， 由圆周角定理得，∠APC=∠ABC， ∴∠APC=∠ACD，又∠CAD=∠PAC， ∴△CAD∽△PAC， ∴𝐶𝑃=𝐴𝐶，即AC2=AD•AP， ∵∠APB=∠ACB，

∴∠APD=∠APB，又∠BCP=∠BAP， ∴△APB∽△CPD，

∴𝐶𝑃=𝑃𝐷，即PB•PC=PA•PD， ∴AC2+PB•PC=AD•AP+PA•PD=AP2． 【解析】

𝐴𝑃𝑃𝐵𝐶𝐴𝐴𝐷

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分别证明△CAD∽△PAC、△APB∽△CPD，根据相似三角形的性质列出比例式，计算得到答案． 本题考查的是三角形的外接圆与外心、相似三角形的判定和性质、等边三角形的性质，掌握圆

周角定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 24.【答案】（1）证明：①如图1中，

∵∠BAC=60°，BA=BA1， ∴△ABA1是等边三角形， ∴∠AA1B=60°， ∵∠A1BD1=60°， ∴∠AA1B=∠A1BD1， ∴AC∥BD1， ∵AC=BD1，

∴四边形ABD1C是平行四边形．

②如图2中，连接BD1．

∵四边形ABD1C是平行四边形，

∴CD1∥AB，CD1=AB， ∠OCD1=∠ABO， ∵∠COD1=∠AOB，

∴△OCD1≌△OBA（AAS）， ∴OC=OB，

∵CD=BA，∠DCO=∠ABO， ∴△DCO≌△ABO（SAS）， ∴DO=OA．

（2）如图3中，作A1E⊥AB于E，A1F⊥BC于F．

在Rt△A1BC中，∵∠CA1B=90°，BC=5．AB=3， ∴CA1=√52−32=4，

∵11

2•A1C•A1B=2•BC•A1F， ∴A1F=12

5，

∵∠A1FB=∠A1EB=∠EBF=90°， ∴四边形A1EBF是矩形， ∴EB=A1F=12

9

5，A1E=BF=5， ∴AE=3-123

5=5，

在Rt△AA1E中，AA1=√(9

3

3√105)2+(5)2=

5

．

【解析】

（1）①首先证明△A1B是等边三角形，可得∠AA1B=∠A1BD1=60°，即可解决问题．

②首先证明△OCD1≌△OBA（AAS），推出OC=OB，再证明△DCO≌△ABO（SAS）即可解决问题．（2）如图3中，作A1E⊥AB于E，A1F⊥BC于F．利用勾股定理求出AE，A1E即可解决问题． 本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判断和性质，勾股定理，平行四边

形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．

25.【答案】解：（1）由题意得：{−1−𝑏+𝑐=0

𝑐=3，

解得：{𝑐𝑏=2

=3，

∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3；

（2）令-x2+2x+3=0， ∴x1=-1，x2=3， 即B（3，0），

设直线BC的解析式为y=kx+b′， ∴{3𝑘+𝑏′=3

𝑏′=0，

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解得：{𝑏′=3，

∴直线BC的解析式为y=-x+3，

设P（a，3-a），则D（a，-a2+2a+3）， ∴PD=（-a2+2a+3）-（3-a）=-a2+3a， ∴S△BDC=S△PDC+S△PDB =PD•a+PD•（3-a） 22=2PD•3 =2（-a2+3a） =-（a-）2+， 228

∴当a=2时，△BDC的面积最大，此时P（2，2）；

（3）由（1），y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4， ∴E（1，4），

设N（1，n），则0≤n≤4， 取CM的中点Q（2，2）， ∵∠MNC=90°， ∴NQ=2CM， ∴4NQ2=CM2，

∵NQ2=（1-2）2+（n-2）2， ∴4[=（1-2）2+（n-2）2]=m2+9， 整理得，m=n2-3n+1，即m=（n-2）2-4， ∵0≤n≤4，

当n=2上，m最小值=-4，n=4时，m=5， 综上，m的取值范围为：-4≤m≤5． 【解析】

5

3

5

3

5

𝑚

3

𝑚

3

1

𝑚

3

3

3

3

3

3

27

311

1

𝑘=−1

△BDC的面积最大时，求点P的坐标；

（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列出关系式m=（n-）2-，然后根据n的取值得到最小值．

此题考查了待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值问题、判别式的应用以及等腰直角三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．

（1）由y=-x2+bx+c经过点A、B、C，A（-1，0），C（0，3），利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；

（2）首先令-x2+2x+3=0，求得点B的坐标，然后设直线BC的解析式为y=kx+b′，由待定系数法即可求得直线BC的解析式，再设P（a，3-a），即可得D（a，-a2+2a+3），即可求得PD的长，由S△BDC=S△PDC+S△PDB，即可得S△BDC=-（a-）2+

，利用二次函数的性质，即可求得当

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