管理数量方法计算题题解(一)

习题一 计算题 1．某地区股民生产总值GNP在1988年～19年平均每年递增15%，1990年～1992年年平均每年递增12%， 1993年～1997年平均每年递增9%，试计算：

（1）该地区国民生产总值这十年间的总发展速度及平均增长速度。 （2）若1997年的国民生产总值为500亿元，，以后每年增长8%，到2000年可达到多少亿元？ 解：（1） 总发展速度115%112%19%285.88%

1010115%112%19%1285.88%111.08% 平均增长速度

235235 （2） 2000年GNP 50018%629.86 （亿元） 2．某地甲乙两个农贸市场三种主要蔬菜价格及销售额资料如表： 品 种 甲 乙 丙 价 格 （元/ / 千克） 0.30 0.32 0.36 销售额（万元） 甲市场 75.0 40.0 45.0 乙市场 37.0 80.0 45.0 3试计算比较该地区哪个农贸市场蔬菜平均价格高？ 并说明原因。 解：

75.040.045.0 0.32元千克75.040.045.00.300.320.637.580.045.0乙农贸市场蔬菜平均价格 0.325元千克37.580.045.00.300.320.6甲农贸市场蔬菜平均价格 经计算可知，乙市场蔬菜平均价格较高，原因是乙市场价格高的蔬菜在销售额中所占比重较大

3．某企业360名工人生产某种产品的资料如下表： 工人按日产量分组 （件） 20以下 20～30 30～40 40～50 50～60 60以上 合 计 工人数（人） 7 月份 30 78 108 90 42 12 360 8 月份 18 30 72 120 90 30 360 试分别计算7、8月份平均每人日产量，并简要说明8月份平均日产量变化的原因。 解：

1

xf7月份工人平均日产量fi=1ii1ii153025783510845905542651237

3078108904212xf8月份工人平均日产量fi=1ii1ii151825303572451205590653044

1830721209030根据计算结果可知：8月份的工人每人平均日产量比7 月份工人每人平均日产量多7件。其原因是不同日产量水平的工人人数所占比重发生了变化，7月份工人日产量在40件以上的工人人数仅占工人总人数的

90421243%，而8月份这部分工人人数占工人总人数的66.67%

3602001年 计 划 产值 比重（%） 31 370 1900 2000年 实 际 计划完成 实 际 产 值 （%） 产值 比重（%） 402 97 111 1500.0 2001年比 2000年增长（％） 9.3 －0.8 4． 某集团所属的三家公司2001年工业产量计划和实际资料如表所示： 公司 名称 A B C 合计 试填入表中所缺的数字（要求写出计算过程）

解：2001年A公司计划产值19003705941

94149.5 2001年A公司实际产值94197%912.8； 1900912.82001年A公司实际产值比重46.4%

1968.62001年B公司计划产值190031%5 2001年B公司实际产值5111%653.8

653.82001年B公司实际产值比重33.2%

1968.023702000年C公司实际产值405.2； 2001年C公司计划产值比重19.5%；

（10.8%）19004024022001年C公司实际产值比重20.4% 2001年C公司计划完成108.6%

1968.6370912.8835.1 2000年A公司实际产值（19.3%）2001年A公司计划产值比重2000年B公司实际产值1500(835.1405.2)259.7

653.8259.7151.8%

259.71968.6103.6% 三家公司产值2001年计划完成程度19001968.61500三家公司产值2001年比2000年增长31.24%

1500B 公司2001年比2000年产值增长

2

公司 名称 A B C 合计 2001年 计 划 产值 941 5 370 1900 比重（%） 49.5 31 19.5 100 2000年 实 际 计划完成 实 际 产 值 （%） 产值 比重（%） 46.4 33.2 20.4 100 97 111 108.6 103.6 835.1 259.7 405.2 1500.0 2001年比 2000年增长（％） 9.3 151.8 －0.8 31.24 912.8 653.8 402 1968.6

习题二 计算题

1． 已知某种球体直径服从xN2,和2未知，某位科学家测量到的一个球体直径的5

2次记录为: 6.33、6.37、6.36、6.32和 6.37 厘米，试和值的无偏估计。

解：xxi15inn6.336.376.366.326.376.35

522s2xixi1n1222226.336.356.366.356.326.356.376.356.376.35 46.3326.3626.3226.3726.3726.3525.51044

s25.51040.020982．对某一选区内随机抽取的100位选民的调查表明，他们中的55%支持某位候选人，球选民中支持这位候选人的比例：（1）95% （2）99% （3）99.73 的置信区间。

ˆ55%解： pˆ45% 1p设：ZˆppP1P2nN01

令：P(ZZ)1（1） α = 0.05

即： 10.95查表可知： Z0.0251.96

所以选民中支持这位候选人置信度为95% 的置信区间为

ˆ1pˆpˆpZn20.550.450.551.96100

ˆZpˆ1pˆp2n0.750.550.450.551.960.45251003

（2）α = 0.01 即： 1α0.99 查表可知：Z0.0052.58 所以选民中支持这位候选人置信度为99% 的置信区间为

ˆ1pˆpˆpZn20.550.450.552.58100ˆZpˆ1pˆp2n0.67840.550.450.552.580.4426100

《3》 α = 0.0027 即： 10.9973 查表可知：Z0.00353 所以选民中支持这位候选人置信度为99。73% 的置信区间为

ˆ1pˆpˆpZn20.550.450.553100ˆZpˆ1pˆp2n0.69920.5530.550.450.4008100

3．某汽车制造厂测定某种型号汽车轮胎的使用寿命，随机抽取了16只作为样本进行手面测试，计

算出轮胎的平均寿命为43000公里，标准差为4120公里。试以95% 的置信度推断该厂这批汽车轮胎的平均使用寿命。 解：设：

T=xnstn12令：PTt10.95xt2

查表可知：t0.025152.131所以汽车轮胎置信度为95%的置信区间为：

sxt2n

s4120430002.131n130002.131412016

40805.0745194.934．公司为估计去年本公司平均每人每次上班途中所花费的时间μ （小时，随机选取144次上班的样本，调查每次上班路途时间X ，并计算得样本均值X1.34小时，样本标准差s1.32小时，求μ 的置信度为95%的置信区间，并解释该区间的含义。（Z0.025 = 1.96 ） 解：

n14430设：ZX为大样本nN01由题设可知：Z0.0251.96

令：PZZ210.95所以上班路途时间 X的均值μ 置信度为95% 的置信区间为：

4

xZ2n

xZ1.555621.321.341.96n1441.341.961.32144

1.1244区间的含义：说明上班路途时间X的均值μ有95%的可能性落在区间1.12441.5556内。

5．从预定飞往纽约的乘客记录中抽取一个容量为100天的随机样本用来估计μ——每天下午4 点预定飞往纽约的但实际并未搭乘班机的平均人数，样本数据整理如下：

预定但未搭乘飞机的人数 天 数 0 20 1 37 2 23 3 15 4 4 5 0 6 1 （1） 求置信度为95%的置信区间，并解释这个区间的实际意义。

（2） 若再作一次抽样，所得到的置信区间还与前面所求置信区间相同吗？说明原因。

解：（1） xxfi166iifi10201372233154450611.5

100i2xixi162fifi126i22201.5 41.52011.52721.52331,51510022

451.5061.5110002201227222332154245206211.521.6910021.691.18n10030设：Zx为大样本令：PZZ2nN01由题设可知：Z0.0251.96

195%所以预定但未搭乘飞机的人数均值置信度为95%的置信区间为：xZ2n

xZ21.181.51.96n1001.51.961.181005

1.26871.7313

置信区间的含义是：总体均值μ有95% 的可能性落入该区间

（2）如果再作一次随机抽样，所做出的置信区间可能与前面所作区间不相同，原因是抽取样本的随机性

习题三 计算题

1。一种电子元件要求其使用寿命不低于1000小时，现从一批该元件中随机抽取25件，测得其平均寿命为950小时，已知元件寿命值服从标准差为100小时的正态分布，试在显著水平0.05 下确定这批是否合格？

解： 假设： H0:1000 设： ZH1:1000

x01.65nN01

查表知：Z0.051.65接受域：1.65令：PZZ0.05拒绝域：

由样本值计算：Z=拒绝 H0:1000;9501000252.51.65100接受：H1:1000

即：不认为电子元件寿命高于1000小时。2． 某旅馆的经理认为其客人每天的平均花费至少为1000元，假如抽取了一组50张账单作为样本

资料， 样本平均数为900元，且已知总体标准差为200 元，试以95% 的显著水平检验该经理的说法是否属实？ 解：假设： H0:1000 设： ZH1:1000

x0nN01

查表知：Z0.051.65令：PZZ0.05拒绝域：1.65接受域：1.65

由样本值计算： Z=9001000503.1.65200接受：H1:1000

拒绝 H0:1000;即：不认为经理的说法是正确的。3．某厂家在广告中声称，该厂生产的汽车轮胎在正常行使条件下的平均寿命高于25000公里，对一个由 15个轮胎组成的随机样本作了试验，得到其均值和标准差分别为27000公里和5000公里。假定轮胎寿命服从正态分布。问：该厂的广告是否真实？（α = 0.05 ）

6

解：假设： H0:25000 设： TH1:25000

x0nstn1

令：PTT0.05拒绝域：1.7613查表知：T0.05141.7613接受域：1.7613由样本值计算： T=2700025000151.551.7613

500接受：H1:25000

拒绝 H1:25000;即：不认为广告中的说法是真实的。4．一项调查结果声称某市老年人口比重为14.7%， 该市老龄人口研究会为了检验该项调查是否可靠，随即抽取了400名居民，发现其中有57人年龄在65岁以上，请问调查结果是否支持该市老年人口比重是14.7%看法？（α = 0.05 ） 解： 假设： H0:p14.7%H1:p14.7%

ˆp5714.25%400ˆ-p0pnP(1-P)2作统计量：Z=令： PZZN01查表知：Z0.0251.961.96

10.95接受域: 1.961.96由样本值计算：Z接受 H0 p14.7%拒绝域:1.96

14.25%14.7%14.70%114.70%4000.251.96拒绝 H1 p14.7%即：支持该市老年人口比重是14.7% 的看法。5．设某种导线，要求其电阻的标准差不得超过0.005 欧姆，今在生产的一批导线中取样品9 根，测得S = 0.007 欧努， 设总体为正态分布，问在显著水平 α = 0.05 下能否认为这批导线的标准差明显偏大？ 解： 假设： H0:: 作统计量

20.00522H1:20.0052

n1s22n1 2 7

令： P220.05接受域15.507查表知：0.052815.507拒绝域15.507

由样本值计算：n1s2910.00722220.00515.6815.507

拒绝 H1接受 H1即：认为这批导线的标准差有显著偏大习题四 计算题

1.某产品1990——1992年销售情况如表所示：

年 份 季 节 销 售 额 Yt 508.00 565.70 9.70 3.70 507.30 561.70 5.30 557.00 498.70 550.30 523.70 513.30 485.70 526.00 477.00 457.30 4 期 移动平均值 1.78 1.60 0.60 539.50 2.83 0.68 537.83 532.43 521.50 513.25 512.18 500.50 486.50 8

趋势值 T 1.69 1.10 0.05 1.17 1.76 539.26 535.13 526.97 517.38 512.72 506.34 493.50 Yi(%) T 101.46 100.48 93.94 103.79 100.65 103.29 93.19 104.43 101.22 100.11 95.92 106.59 1990 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1991 1992 1993

年 份 1990 1991 1992 1993 合 计 季平均数（%） 季节指数（%） 93.94 93.19 95.92 283.05 94.35 93.96 一季度 103.79 104.43 106.59 314.81 104.94 104.50 二季度 三季度 101.43 100.65 101.22 303.30 101.10 100.68 303.88 101.29 100.87 四季度 100.48 103.29 100.11 合 计 201.96 401.67 398.95 202.51 1205.09 100.42 试求：（1）用4季移动平均法求趋势值T 和 Yt /T 值 （2）求删除了长期趋势影响后的季节指数。 解：（1）

508.00565.709.703.701.784

565.709.703.70507.304期移动平均值1.6044期移动平均值以此类推求出各期4季移动平均值

趋势值T=1.781.601.692趋势值T=1.600.601.10 2以此类推求出各期趋势值T

Y19.70101.46%T1.78以此类推求出各期

Y23.70100.48% T1.10Y2值 T283.05%（2） 一季度平均数94.35%3以此类推求出各季平均值

二季度平均数314.81%104.50% 3各期值合计283.05%314.81%303.30%303.88%1205.09%Yi283.05%314.81%303.30%303.88%均值=100.42%T12一季节指数=

94.3593.96%100.42二季节指数=104.94104.50%100.42以此类推求出各季节指数

2．某企业2001年9月～12月末职工人数如下表所示：

日 期 月末人数 9月30日 1400 10 月31日 1510 11 月30日 1460 12 月31日 1420 9

计算该企业第四季度的平均职工人数 解：按时点指标求平均值

1114001420a0a1a2a3151014602221460 x2n1413．1996年～2001年各年底某企业职工人数和工程技术人员数资料如下表所示：

年 份 职工人数 工程技术人数 1996 1000 50 1997 1020 50 1998 1085 52 1999 1120 60 2000 1218 78 2001 1425 82 试计算工程技术人员占全部职工人数的平均比重。

解：c10001425102010851120121822508050526078225.4%

5．某化工企业1996年～2000年的化肥产量资料如表所示：

年 份 化肥产量（万吨） 环比增长速度（%） 定基发展速度（%） 解：

1996 400 — — 1997 420 5 105 1998 445.2 6 111.3 1999 484 8.7 121 2000 4.5 12.5 136.1 a140015%420a2400111.3%445.2a3484118.7%a2445.2a4484112.3%4.5

R1a1420105%a0400

a2445.2116%a1420R3a3484121%a04004.5136.1%400R46．某地区粮食总产量如表所示：

年 份 1991 1992 236 1993 241 1994 246 1995 252 1996 257 1997 262 1998 276 1999 281 2000 286 产量（万吨） 230 要求：（1） 试检查该地区粮食生产发展趋势是否接近于直线型？

10

（2） 如果是直线型，用最小平方法拟合直线趋势方程。 （3） 预测2001年的粮食产量 解：（1）

差额 Yi1Yib 基本上接近常数 该地区粮食发展趋势可以认为接近直线型 （2）设 yabt

btYi11010ii2ti110473.17330aYi110in2567256.7 10iy256.72.394t（3） 2001年该地区粮食产量预测

y256.73.1711291.57(万吨)

年 份 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 合计

7．某产品专卖店1998年～2000年各季度销售额资料如表所示：

年 份 1998 1999 2000 要求：

（1） 采用按季节平均法和移动平均趋势剔除法计算季节指数。 （2） 计算2000年五季节变动情况下的销售额

一季度 51 65 76 二季度 75 67 77 三季度 87 82 四季度 62 71 时间ti —9 －7 －5 －3 －1 1 3 5 7 9 0 粮食产量 Yi 230 236 241 246 252 257 262 276 281 286 2567 差额Yi+1－Yi 6 5 5 6 5 5 14 5 5 Ti2 81 49 25 9 1 1 9 25 49 81 330 tYi －2070 －1652 －1205 －738 －252 257 786 1380 1967 2574 1047 11

解：（1） 移动平均趋势剔除法：

51758766.7

75876期移动平均值70.24期移动平均值以此类推求出各期4季移动平均值

趋势值T=66.7570.2568.052趋势值T=70.2568.2569.25 2Y187127.01%T68.50 以此类推求出各期

Y277.98% T69.25Y2值 T197.27一季度平均数== 98.2二季度平均数=198.0499.02 2以此类推求出各季平均数

各期值合计197.27198.04243.52162.91=801.74Yi801.74均值=100.23%T8

一季节指数=98.98.40%100.23二季节指数=99.0298.80%

100.23以此类推求出各季节指数

年 份 1998 1999 2000 合 计 季平均数（%） 季节指数（%）

一季度 96.11 101.16 197.27 98. 98.40 二季度 98.53 99.51 198.04 99.02 98.80 三季度 127.01 116.51 243.52 121.76 121.50 四季度 77.98 84.93 合 计 204.99 396.08 200.67 162.91 81.46 81.30 801.74 100.23

12

年 份 1998 季 节 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 销售额 Yi 51 75 87 65 67 82 62 76 77 73 4 期 移动平均值 66.75 70.25 68.25 67.00 69.00 71.75 74.25 76.00 78.75 趋势值 T 68.50 69.25 67.63 68.00 70.38 73.00 75.13 77.38 Yi(%) T 127.01 77.98 96.11 98.53 116.51 84.93 101.16 99.51 1999 2000 季节平均法

一季度平均值=5165763二季度平均值=75677773

3以此类推各季度平均值

季度平均值总计=738663286286平均值71.504一季节指数=

.50%71.5二季节指数73102.10% 71.5以此类推各季节指数

13

年 份 1998 1999 2000 合 计 季节平均值 季节指数（%） 一季度 51 65 76 192 .50 二季度 75 67 77 219 73 102.10 三季度 87 82 258 86 120.30 四季度 62 71 187 63 88.11 合 计 267 276 313 856 71.50

（2）剔除季节变动后2000年各季节销售额

7677.2（万元）98.40%77二季度销售额 = 77.9（万元）98.80%

三季度销售额 = = 77.3（万元） 121.50%73四季度销售额 = = .8（万元）81.30%一季度销售额 = 14