———————————————————————————————————————————————— 最值系列之——将军饮马（一） 一、什么是将军饮马？ 【问题引入】 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗．而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”． 【问题描述】 如图，将军在图中点A处，他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？ B军营将军A河 【问题简化】 如图，在直线上找一点P使得PA＋PB最小？ BAP 【问题分析】 这个问题的难点在于PA＋PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段． 【问题解决】 作点A关于直线的对称点A′，连接PA′，则PA′＝PA，所以PA＋PB＝PA′＋PB BABA端点PA'P折点A' 当A′、P、B三点共线的时候，PA′＋PB＝A′B，此时为最小值（两点之间线段最短） 【思路概述】 作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段． ———————————————————————————————————————————————— 二、将军饮马模型系列 【一定两动之点点】 在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小． AP'MAPBOMPBP''ONN 此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM＋MN＋NP为P′M＋MN＋NP′′，当P′、M、N、P′′共线时，△PMN周长最小． 【例题】如图，P是∠AOB内任意一点，∠AOB＝30°，OP＝8，M和N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为___________． BNPMA 【分析】△PMN周长即PM＋PN＋MN的最小值，此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA对称点P′、P′′，化PM＋PN＋MN为P′N＋MN＋P′′M． P'NBPMP''AOMP''P'NPABOO 当P′、N、M、P′′共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P′P′′长，连接OP′、OP′′，可得△OP′P′′为等边三角形，所以P′P′′＝OP′＝OP＝8． ———————————————————————————————————————————————— 【两定两动之点点】 在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小． AP'MPQONBONQ'MPQBA 考虑PQ是条定线段，故只需考虑PM＋MN＋NQ最小值即可，类似，分别作点P、Q关于OA、OB对称，化折线段PM＋MN＋NQ为P′M＋MN＋NQ′，当P′、M、N、Q′共线时，四边形PMNQ的周长最小． 【一定两动之点线】 在OA、OB上分别取M、N使得PM＋MN最小． AP'MPOBOMPBANN 此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P′，将折线段PM＋MN转化为P′M＋MN，即过点P′作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，得PM＋MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短） ———————————————————————————————————————————————— 三、几何图形中的将军饮马 【寻找几何图形中端点关于折点所在直线的对称点位置】 1．正方形中的将军饮马 【关于对角线对称】 如图，正方形ABCD的边长是4，M在DC上，且DM＝1， N是AC边上的一动点，则△DMN周长的最小值是___________． ANDMBC 【分析】考虑DM为定值，故求△DMN周长最小值即求DN＋MN最小值．点N为折点，作点D关于AC的对称点，即点B，连接BN交AC于点N，此时△DMN周长最小． ADMNBC 【假装不存在的正方形】 （2019·山东聊城）如图，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），点C在边AB上，且AC∶CB＝1∶3，D为OB的中点，P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为( ) yACPODBx A．(2,2) 55B．(，) 22 88C．(，) 33 D．(3,3) ———————————————————————————————————————————————— 【分析】此处点P为折点，可以作点D关于折点P所在直线OA的对称（也可以作点C的对称） yAPD'CyC'PACODBxODBx 【隐身的正方形】 （2017·辽宁营口）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在BC上，BD＝3，DC＝1，P是AB上的动点，则PC＋PD的最小值为( ) AP A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】作点C关于P点所在直线AB的对称点C′，当C′、P、D共线时，PC＋PD最小，最小值为5，故选B． DC'ABCPBDC ———————————————————————————————————————————————— 2．三角形中的将军饮马 【等边系列】 如图，在等边△ABC中，AB＝6， N为AB上一点且BN＝2AN， BC的高线AD交BC于点D，M是AD上的动点，连结BM，MN，则BM＋MN的最小值是___________． ANMBDC 【分析】M点为折点，作B点关于AD的对称点，即C点，连接CN，即为所求的最小值． ANMANHMBDCBDC 过点C作AB垂线，利用勾股定理求得CN的长为2倍根号7． 【隐身的等边三角形】 如图，在Rt△ABD中，AB＝6，∠BAD＝30°，∠D＝90°，N为AB上一点且BN＝2AN，M是AD上的动点，连结BM，MN，则BM＋MN的最小值是___________． ANMBD 【分析】对称点并不一定总是在已知图形上． ANMBDC ———————————————————————————————————————————————— 【角分线系列之点点】 （2018·山东潍坊）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6．AB＝12，AD平分∠CAB，F是AC的中点，E是AD上的动点，则CE＋EF的最小值为( ) AFEDBC D．23 A．3 B．4 C．33 【分析】此处E点为折点，可作点C关于AD的对称，对称点C′在AB上且在AB中点，化折线段CE＋EF为C′E＋EF，当C′、E、F共线时得最小值，C′F为CB的一半，故选C． AEC'FCDB 【角分线系列之点线】 （2018·辽宁营口）如图，在锐角△ABC中，BC＝4，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，交AC于点D，M、N分别是BD，BC上的动点，则CM＋MN的最小值是( ) ADMBNC D．4 A．3 B．2 C．23 【分析】此处M点为折点，作点N关于BD的对称点，恰好在AB上，化折线CM＋MN为CM＋MN′． AADN'BMNCN'DMB NC 因为M、N皆为动点，所以过点C作AB的垂线，可得最小值，选C． ———————————————————————————————————————————————— 3．矩形、菱形中的将军饮马 【菱形高】 （2018广西贵港）如图，在菱形ABCD中，AC＝62，BD＝6，E是BC的中点，P、M分别是AC、AB上的动点，连接PE、PM，则PE＋PM的最小值是( ) DAMPEBC A．6 B．33 C．26 D．4.5 【分析】此处P为折点，作点M关于AC的对称点M′，恰好在AD上，化折线EP＋PM为EP＋PM′． DM'AMBPEC 当E、P、M′共线时，EP＋PM最小，最小值即为菱形的高，可用面积法：0.5AC·BD＝BC·EM′ M'PEMBAC ———————————————————————————————————————————————— 【折点在边上】 （2017山东菏泽）如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（－4,5），D是OB的中点，E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是( ) yACEBDOx 4A．(0,) 3 5B．(0,) 3 C．(0,2) D．(0,10) 3【分析】E为折点，E是y轴上一点，作D关于y轴的对称点D′，连接AD，与y轴交点即为所求． yACEBDOD'x 【折点与面积】 1（2019）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，动点P满足SPAB=S矩形ABCD，则点P到A、3B两点距离之和PA＋PB的最小值为( ) DPCAB A．213 B．210 C．35 D．41 1【分析】由SPAB=S矩形ABCD可作出P点轨迹为直线MN（AM＝BN＝2），作点B关于MN的对称点B′，3化折线PA＋PB为PA＋PB′． ———————————————————————————————————————————————— B'DMPCNDMPB'CN4ABA6B 当A、P、B′共线时，取到最小值，选A． 【全等与对称】 （2017江苏南通）如图，矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点E、F、G、H分别在矩形ABCD各边上，且AE＝CG，BF＝DH，则四边形EFGH周长的最小值为( ) AEBFHDGC A．55 B．105 C．103 D．153 【分析】考虑到四边形EFGH是平行四边形，即求EH＋EF最小值，此处E为折点，作F关于AB对称点F′，则BF′＝BF＝DH＝CM，∴MF′＝BC＝5，MH＝DC＝10，∴HF′为5倍根号5，周长最小值为10倍根号5，故选B． F'AEBFHD10GMC5 ———————————————————————————————————————————————— 四、特殊角的对称 【60°角的对称】 （2018滨州）如图，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内的定点且OP＝3，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是( ) BPNOMA 3633 B． C．6 D．3 22【分析】此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA的对称点P′、P′′，化△PMN周长为P′N＋NM＋MP′′． A．P'BPP'BP3N3NOMAO120°3MAP''P'' 当P′、N、M、P′′共线时，得最小值，利用60°角翻倍得∠P′OP′′＝120°，OP′＝OP′′＝OP，可得最小值． 【30°角的对称】 （2017湖北随州）如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（3,0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB＝30°，要使PM＋PN最小，则点P的坐标为 ． yAPBOMNx ———————————————————————————————————————————————— 【分析】此处点P为折点，作点M关于OA的对称对称点M′如图所示，连接PM′，化PM＋PN为PM′＋PN． yyAM'30°30°OMNPBxAM'30°30°OPBMNx 当M′、P、N共线时，得最小值，又∠M′ON＝60°且ON＝2OM′，可得∠OM′N＝90°，故P点坐标可求． 【20°角的对称】 如图，已知正比例函数y＝kx（k＞0）的图像与x轴相交所成的锐角为70°，定点A的坐标为（0，4），P为y轴上的一个动点，M、N为函数y＝kx（k＞0）的图像上的两个动点，则AM＋MP＋PN的最小值为____________． yAMPNOx 【分析】先考虑M为折点，作点P关于OM对称点P′，化AM＋MP＋PN为AM＋MP′＋P′N yAMPNOP'xPNOAMP'N'xOyAMP'N'xy 此处P′为折点，作点N关于OP′对称点N′，化AM＋MP′＋P′N为AM＋MP′＋P′N′ 当A、M、P、′N′共线且AN′⊥ON′时，值最小． ———————————————————————————————————————————————— 最值系列之——将军饮马（二） 【将军过桥】 已知将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？ 将军AM河NB军营 考虑MN长度恒定，只要求AM＋NB最小值即可．问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A′位置． 将军AMA'N河B军营 问题化为求A′N＋NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置． 将军AMA'NB军营河 【用几何变换将若干段原本彼此分离线段组合到一起】 ———————————————————————————————————————————————— 【将军过两个桥】 已知将军在图中点A处，现要过两条河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？ A将军P河QM河B军营N 考虑PQ、MN均为定值，所以路程最短等价于AP＋QM＋NB最小，对于这彼此分离的三段，可以通过平移使其连接到一起． APA'QMB'BN AP平移至A′Q，NB平移至MB′，化AP＋QM＋NB为A′Q＋QM＋MB′． APA'QMB'NB 当A′、Q、M、B′共线时，A′Q＋QM＋MB′取到最小值，再依次确定P、N位置． ———————————————————————————————————————————————— 【将军遛马】 如图，将军在A点处，现在将军要带马去河边喝水，并沿着河岸走一段路，再返回军营，问怎么走路程最短？ 【问题简化】已知A、B两点，MN长度为定值，求确定M、N位置使得AM＋MN＋NB值最小？ B军营将军AM河N 【分析】考虑MN为定值，故只要AM＋BN值最小即可．将AM平移使M、N重合，AM＝A′N，将AM＋BN转化为A′N＋NB． BAA'AA'BMNMA''N 构造点A关于MN的对称点A′′，连接A′′B，可依次确定N、M位置，可得路线． 【例题】如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B在原点，点A、C在坐标轴上，点D的坐标为（6，4），E为CD的中点，点P、Q为BC边上两个动点，且PQ＝2，要使四边形APQE的周长最小，则点P的坐示应为______________． yADE(B)OPQCx 【分析】考虑PQ、AE为定值，故只要AP＋QE最小即可，如图，将AP平移至A′Q，考虑A′Q＋QE最小值． A'yAA'DEADE(B)OxA''PQC(B)OPQC 作点A′关于x轴的对称点A′′，连接A′′E，与x轴交点即为Q点，左移2个单位即得P点． ———————————————————————————————————————————————— 【练习】如图，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，AC为对角线，E、F分别为边AB、CD上的动点，且EF⊥AC于点M，连接AF、CE，求AF＋CE的最小值． ADFMEBC 【分析】此题难点在于要得到AF与CE之间的关系，方能将这两条线段联系到一起．过点E作EH⊥CD交CD于H点，由相似可得：FH＝1． ADF1EHEADF1HEADF1HADF1HBCBCBCBC 连接BH，则BH＝CE，问题转化为BH＋AF最小值． 参考将军遛马的作法，作出图形，得出AF＋BH＝A′H＋B′H＝A′B′＝5． AA'F1HDBCB' ———————————————————————————————————————————————— 最值系列之辅助圆 最值问题的必要条件是至少有一个动点，因为是动态问题，所以才会有最值．在将军饮马问题中，折点P就是那个必须存在的动点．并且它的运动轨迹是一条直线，解题策略就是作端点关于折点所在直线的对称即可． 当然，动点的运动轨迹是可以变的，比如P点轨迹也可以是一个圆，就有了第二类最值问题——辅助圆． 在这类题目中，题目很少直接告诉我们动点轨迹是个圆，也很少把这个圆画出来，因此，结合题目给的条件，分析出动点的轨迹图形，将是我们面临的最大的问题． 若已经确定了动点的轨迹圆，接下来求最最值的问题就会变得简单了，比如：如下图，A为圆外一点，在圆上找一点P使得PA最小． PAO 当然，也存在耿直的题目直接告诉动点轨迹是个圆的，比如： 【2017四川德阳】 如图，已知圆C的半径为3，圆外一定点O满足OC＝5，点P为圆C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA＝OB，∠APB＝90°，l不经过点C，则AB的最小值为________． CP 【分析】连接OP，根据△APB为直角三角形且O是斜边AB中点，可得OP是AB的一半，若AB最小，则OP最小即可． AOBlCPPCAOBlAOBl 连接OC，与圆C交点即为所求点P，此时OP最小，AB也取到最小值． ———————————————————————————————————————————————— 一、从圆的定义构造圆 圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合． 构造思路：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧． 【2014成都中考】 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是__________． DCMA'ANB 【分析】考虑△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，可得MA′＝MA＝1，所以A′轨迹是以M点为圆心，MA为半径的圆弧． DCDA'MCHMDA'CMA'ANBANBANB 连接CM，与圆的交点即为所求的A′，此时A′C的值最小． 构造Rt△MHC，勾股定理求CM，再减去A′M即可． 【2016淮安中考】 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是__________． APFBCE 【分析】考虑到将△FCE沿EF翻折得到△FPE，可得P点轨迹是以F点为圆心，FC为半径的圆弧． ———————————————————————————————————————————————— AAHPFPFBCECEB 过F点作FH⊥AB，与圆的交点即为所求P点，此时点P到AB的距离最小．由相似先求FH，再减去FP，即可得到PH． 【2019扬州中考】 如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）．直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B′．当PB＝6时，在直线l变化过程中，求△ACB′面积的最大值． APBC 【分析】考虑l是经过点P的直线，且△ABC沿直线l折叠，所以B′轨迹是以点P为圆心，PB为半径的圆弧． APPAHB'BCBC 考虑△ACB′面积最大，因为AC是定值，只需B′到AC距离最大即可．过P作作PH⊥AC交AC于H点，与圆的交点即为所求B′点，先求HB′，再求面积． ———————————————————————————————————————————————— 【2018相城区一模】 如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，P、Q分别是直线BC、AB上的两个动点，AE＝2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF、PD，则PF＋PD的最小值是_________． AEFQBPCD 【分析】F点轨迹是以E点为圆心，EA为半径的圆，作点D关于BC对称点D′，连接PD′，PF＋PD化为PF＋PD′． AEFDQBPCD' 连接ED′，与圆的交点为所求F点，与BC交点为所求P点，勾股定理先求ED′,再减去EF即可． AEFDQBPCD' ———————————————————————————————————————————————— 二、定边对直角 知识回顾：直径所对的圆周角是直角． 构造思路：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧． 图形释义： PPPAOB 若AB是一条定线段，且∠APB＝90°，则P点轨迹是以AB为直径的圆． 【例题】已知正方形ABCD边长为2，E、F分别是BC、CD上的动点，且满足BE＝CF，连接AE、BF，交点为P点，则PD的最小值为_________． ADFPBEC 【分析】由于E、F是动点，故P点也是动点，因而存在PD最小值这样的问题，那P点轨迹如何确定？ 考虑BE＝CF，易证AE⊥BF，即在运动过程中，∠APB＝90°，故P点轨迹是以AB为直径的圆． ADOPBFEC 连接OC，与圆的交点即为P点，再通过勾股定理即可求出PC长度． 思路概述：分析动点形成原理，通常“非直即圆”（不是直线就是圆），接下来可以寻找与动点相关有无定直线与定角． ———————————————————————————————————————————————— 【2013武汉中考】如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE＝DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，若正方形边长为2，则线段DH长度的最小值是________． AHGEFDBC 【分析】根据条件可知：∠DAG＝∠DCG＝∠ABE，易证AG⊥BE，即∠AHB＝90°， AEHFGDααBαC 所以H点轨迹是以AB为直径的圆弧 AEHOαBαCFGDα 当D、H、O共线时，DH取到最小值，勾股定理可求． AHODBC ———————————————————————————————————————————————— 【2016安徽中考】如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值是_________． APBC 【分析】∵∠PBC＋∠PBA＝90°，∠PBC＝∠PAB， ∴∠PAB＋∠PBA＝90°， ∴∠APB＝90°， ∴P点轨迹是以AB为直径的圆弧． AOPBC 当O、P、C共线时，CP取到最小值，勾股定理先求OC，再减去OP即可． AOPBC ———————————————————————————————————————————————— 【寻找定边】 如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB＝5，AC＝4．D是弧BC上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值为 ． CDEAOB 【分析】E是动点，E点由点C向AD作垂线得来，∠AEC＝90°，且AC是一条定线段，所以E点轨迹是以AC为直径的圆弧． CMEAOBD 当B、E、M共线时，BE取到最小值．连接BC，勾股定理求BM，再减去EM即可． CMEAOB ———————————————————————————————————————————————— 【寻找定边与直角】 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为_________． ADOCEB 【分析】连接CE，由于CD为直径，故∠CED＝90°，考虑到CD是动线段，故可以将此题看成定线段CB对直角∠CEB． AAADDOCEOCBEEMBCMB 取CB中点M，所以E点轨迹是以M为圆心、CB为直径的圆弧． 连接AM，与圆弧交点即为所求E点，此时AE值最小，AE=AM−EM=102+22−2=226−2． ———————————————————————————————————————————————— （2019苏州园区一模）如图，正方形ABCD的边长为4，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为 ． AGFDEBC 【分析】首先考虑整个问题中的不变量，仅有AE＝CF，BG⊥EF，但∠BGE所对的BE边是不确定的． 重点放在AE＝CF，可得EF必过正方形中心O点，连接BD，与EF交点即为O点． AGFDAGDEEOFBCBC ∠BGO为直角且BO边为定直线，故G点轨迹是以BO为直径的圆． AGDAGED EOFOFMMBCBC 记BO中点为M点，当A、G、M共线时，AG取到最小值，利用Rt△AOM勾股定理先求AM，再减去GM即可． ———————————————————————————————————————————————— 【辅助圆＋将军饮马】 如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一动点，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，点P是AD边上另一动点，则PC＋PF的最小值为________． DCPEAFB 【分析】∠AFB＝90°且AB是定线段，故F点轨迹是以AB中点O为圆心、AB为直径的圆． DCC'DCPEAFPFOBOBA 考虑PC＋PF是折线段，作点C关于AD的对称点C′，化PC＋PF为PC′＋PF，当C′、P、F、O共线时，取到最小值． ———————————————————————————————————————————————— 【辅助圆＋相切】 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，D是BC上一动点，CE⊥AD于E，EF⊥AB交BC于点F，则CF的最大值是_________． AEBCFD 【分析】∠AEC＝90°且AC为定值，故E点轨迹是以AC为直径的圆弧． AEBAAOCOECBOECFBFDF 考虑EF⊥AB，且E点在圆上，故当EF与圆相切的时候，CF取到最大值． 连接OF，易证△OCF≌△OEF，∠COF＝30°，故CF可求． ———————————————————————————————————————————————— 三、定边对定角 在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相．定边必不可少，而直角则可一般为定角．例如，AB为定值，∠P为定角，则A点轨迹是一个圆． PPPAB 当然，∠P度数也是特殊角，比如30°、45°、60°、120°，下分别作对应的轨迹圆． P30°45°60°O120°BBAPPP120°120°OBO60°ABAO90°A 若∠P＝30°，以AB为边，同侧构造等边三角形AOB，O即为圆心． 若∠P＝45°，以AB为斜边，同侧构造等腰直角三角形AOB，O即为圆心． 若∠P＝60°，以AB为底，同侧构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心． 若∠P＝120°，以AB为底，异侧为边构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心． ———————————————————————————————————————————————— 【例题】如图，等边△ABC边长为2，E、F分别是BC、CA上两个动点，且BE＝CF，连接AE、BF，交点为P点，则CP的最小值为________． AFPBEC 【分析】由BE＝CF可推得△ABE≌△BCF，所以∠APF＝60°，但∠APF所对的边AF是变化的． AAP60°BEFCB120°PEFC 所以考虑∠APB＝120°，其对边AB是定值． 所以如图所示，P点轨迹是以点O为圆心的圆弧．（构造OA＝OB且∠AOB＝120°） AO120°AO120°MFCP120°BPEBC 当O、P、C共线时，可得CP的最小值，利用Rt△OBC勾股定理求得OC，再减去OP即可． ———————————————————————————————————————————————— 【2017山东威海】如图，正△ABC，AB＝2，若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为_________． CAPB 【分析】由∠PAB＝∠ACP，可得∠APC＝120°，后同上例题． ———————————————————————————————————————————————— 【2019南京中考】在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A＞∠B，则BC的长的取值范围是________． 【分析】先作图，如下 C60°A4B 条件不多，但已经很明显，AB是定值，∠C＝60°，即定边对定角．故点C的轨迹是以点O为圆心的圆弧．（作AO＝BO且∠AOB＝120°） C60°O120°ABAC60°O120°B 题意要求∠A＞∠B，即BC＞AC，故点C的轨迹如下图． 当BC为直径时，BC取到最大值， 考虑∠A为△ABC中最大角，故BC为最长边，BC＞AB＝4．无最小值． CCO120°ABO120°AB ———————————————————————————————————————————————— 【2019武汉中考】如图，AB是圆O的直径，M、N是弧AB（异于A、B）上两点，C是弧MN上一动点，∠ACB的角平分线交圆O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E，当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是_______． CMAEONB 【分析】分别考虑C、E两点的轨迹，C点轨迹上是弧MCN，其对应圆心角为∠MON，半径为OM（或ON）． CMAEONBMACEONBD 再考虑E点轨迹，考虑到CE、AE都是角平分线，所以连接BE，BE平分∠ABC，可得：∠AEB＝135°． 考虑到∠AEB是定角，其对边AB是定线段，根据定边对定角，所以E点轨迹是个圆，考虑到∠ADB＝90°，所以D点即为圆心，DA为半径． CMAEONBMACEONBDDDD E点轨迹所对的圆心角为∠MDN，是∠MON的一半，所以C、E两点轨迹圆半径之比为1：根号2，圆心角之比为2:1，所以弧长比值为根号2． ———————————————————————————————————————————————— 最值系列之瓜豆原理 在辅助圆问题中，我们了解了求关于动点最值问题的方式之一——求出动点轨迹，即可求出关于动点的最值． 本文继续讨论另一类动点引发的最值问题，在此类题目中，题目或许先描述的是动点P，但最终问题问的可以是另一点Q，当然P、Q之间存在某种联系，从P点出发探讨Q点运动轨迹并求出最值，为常规思路． 一、轨迹之圆篇 引例1：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点． 考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？ AQPO 【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？ 考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO＝AQ:AP＝1:2． PQAOM 【小结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径， 由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线， 由Q为AP中点可得：AM＝1/2AO． Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放． 根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系； 根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系． ———————————————————————————————————————————————— 引例2：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ＝AP． 考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？ QAPO 【分析】Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ，故Q点轨迹与P点轨迹都是圆．接下来确定圆心与半径． 考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO； 考虑AP＝AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM＝AO，且可得半径MQ＝PO． 即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM． MQPAO ———————————————————————————————————————————————— 引例3：如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ＝90°且AP＝2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？ QPAO 【分析】考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO； 考虑AP:AQ＝2:1，可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM＝2:1． 即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2． MQPAO 【模型总结】 为了便于区分动点P、Q，可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”． 此类问题的必要条件：两个定量 主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）． QQMPαAOAααPO 【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角： ∠PAQ＝∠OAM； （2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比： AP:AQ＝AO:AM，也等于两圆半径之比． 按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转＋伸缩． 古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”． ———————————————————————————————————————————————— 【思考1】：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为一边作等边△APQ． 考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？ QAPO 【分析】Q点满足（1）∠PAQ＝60°；（2）AP＝AQ，故Q点轨迹是个圆： 考虑∠PAQ＝60°，可得Q点轨迹圆圆心M满足∠MAO＝60°； 考虑AP＝AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM＝AO，且可得半径MQ＝PO． 即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM． QMP60°AO 【小结】可以理解AQ由AP旋转得来，故圆M亦由圆O旋转得来，旋转角度与缩放比例均等于AP与AQ的位置和数量关系． 【思考2】如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为斜边作等腰直角△APQ． 考虑：当点P在圆O上运动时，如何作出Q点轨迹？ QQMPAPOAO 【分析】Q点满足（1）∠PAQ＝45°；（2）AP∶AQ＝2∶1，故Q点轨迹是个圆． 连接AO，构造∠OAM＝45°且AO∶AM＝2∶1．M即为Q点轨迹圆圆心，此时任意时刻均有△AOP∽△AMQ．即可确定点Q的轨迹圆． ———————————————————————————————————————————————— 【练习】如图，点P（3，4），圆P半径为2，A（2.8，0），B（5.6，0），M是圆P上的动点，C是MB的中点，则AC的最小值是_______． yPMC 【分析】M点为主动点，C点为从动点，B点为定点．考虑C是BM中点，可知C点轨迹：取BP中点O，以O为圆心，OC为半径作圆，即为点C轨迹． yOABxPMOCBxOA 当A、C、O三点共线且点C在线段OA上时，AC取到最小值，根据B、P坐标求O，利用两点间距离公式求得OA，再减去OC即可． yPMCOABxO ———————————————————————————————————————————————— 【2016武汉中考】如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝22，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为________． PAMCB 【分析】考虑C、M、P共线及M是CP中点，可确定M点轨迹： 取AB中点O，连接CO取CO中点D，以D为圆心，DM为半径作圆D分别交AC、BC于E、F两点，则弧EF即为M点轨迹． PAMEDCFBO 当然，若能理解M点与P点轨迹关系，可直接得到M点的轨迹长为P点轨迹长一半，即可解决问题． ———————————————————————————————————————————————— 【2018南通中考】如图，正方形ABCD中，AB=25，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．求线段OF长的最小值． ADEBOCF 【分析】E是主动点，F是从动点，D是定点，E点满足EO＝2，故E点轨迹是以O为圆心，2为半径的圆． ADADMEBOCFBEFOC 考虑DE⊥DF且DE＝DF，故作DM⊥DO且DM＝DO，F点轨迹是以点M为圆心，2为半径的圆． 直接连接OM，与圆M交点即为F点，此时OF最小．可构造三垂直全等求线段长，再利用勾股定理求得OM，减去MF即可得到OF的最小值． ADFEBOCM ———————————————————————————————————————————————— 【练习】△ABC中，AB＝4，AC＝2，以BC为边在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于点O，则线段AO的最大值为_____________． ABCOED 【分析】考虑到AB、AC均为定值，可以固定其中一个，比如固定AB，将AC看成动线段，由此引发正方形BCED的变化，求得线段AO的最大值．根据AC＝2，可得C点轨迹是以点A为圆心，2为半径的圆． AAABCBMCBMOCOO 接下来题目求AO的最大值，所以确定O点轨迹即可，观察△BOC是等腰直角三角形，锐角顶点C的轨迹是以点A为圆心，2为半径的圆，所以O点轨迹也是圆，以AB为斜边构造等腰直角三角形，直角顶点M即为点O轨迹圆圆心． 连接AM并延长与圆M交点即为所求的点O，此时AO最大，根据AB先求AM，再根据BC与BO的比值可得圆M的半径与圆A半径的比值，得到MO，相加即得AO． 此题方法也不止这一种，比如可以如下构造旋转，当A、C、A′共线时，可得AO最大值． AEDEDEDBCOA'ED 或者直接利用托勒密定理可得最大值． ———————————————————————————————————————————————— 二、轨迹之线段篇 引例：如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？ AQBPC 【分析】当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线． 可以这样理解：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP＝2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线． AQ 【引例】如图，△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ＝90°且AP＝AQ，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？ ABPNMCBPQC 【分析】当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形． 当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段． Q2ABQ1C ———————————————————————————————————————————————— 【模型总结】 必要条件： 主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）． 结论： P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于∠PAQ（当∠PAQ≤90°时，∠PAQ等于MN与BC夹角） AαQMαBPCN P、Q两点轨迹长度之比等于AP:AQ（由△ABC∽△AMN，可得AP:AQ＝BC:MN） AαNMαBC 【2017姑苏区二模】如图，在等边△ABC中，AB＝10，BD＝4，BE＝2，点P从点E出发沿EA方向运动，连结PD，以PD为边，在PD的右侧按如图所示的方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是________． APEBDFC 【分析】根据△DPF是等边三角形，所以可知F点运动路径长与P点相同，P从E点运动到A点路径长为8，故此题答案为8． ———————————————————————————————————————————————— 【2013湖州中考】如图，已知点A是第一象限内横坐标为23的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y＝－x于点N，若点P是线段ON上的一个动点，∠APB＝30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是________． yABOPMxNC 【分析】根据∠PAB＝90°，∠APB＝30°可得：AP∶AB＝3:1，故B点轨迹也是线段，且P点轨迹路径长与B点轨迹路径长之比也为3:1，P点轨迹长ON为26，故B点轨迹长为22． ———————————————————————————————————————————————— 【练习】如图，在平面直角坐标系中，A（－3,0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x正半轴上，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，求OP的最小值． yBOAPx 【分析】求OP最小值需先作出P点轨迹，根据△ABP是等边三角形且B点在直线上运动，故可知P点轨迹也是直线． 取两特殊时刻：（1）当点B与点O重合时，作出P点位置P1；（2）当点B在x轴上方且AB与x轴夹角为60°时，作出P点位置P2．连接P1P2，即为P点轨迹． yBOAP2P1x 根据∠ABP＝60°可知：P1P2与y轴夹角为60°，作OP⊥P1P2，所得OP长度即为最小值，OP2＝OA＝3，所以OP＝3． 2yBOAPP1P2x ———————————————————————————————————————————————— 【2019宿迁中考】如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为 ． ADFGBEC 【分析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求CG最小值，可以将F点看成是由点B向点A运动，由此作出G点轨迹： 考虑到F点轨迹是线段，故G点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻G点在G1位置，最终G点在G2位置（G2不一定在CD边），G1G2即为G点运动轨迹． ADG2G1BCE CG最小值即当CG⊥G1G2的时候取到，作CH⊥G1G2于点H，CH即为所求的最小值． 根据模型可知：G1G2与AB夹角为60°，故G1G2⊥EG1． 13过点E作EF⊥CH于点F，则HF＝G1E＝1，CF＝CE=， 22所以CH＝55，因此CG的最小值为． 22ADG2FHG1BEC ———————————————————————————————————————————————— 三、轨迹之其他图形篇 所谓“瓜豆原理”，就是主动点的轨迹与从动点的轨迹是相似性，根据主、从动点与定点连线形成的夹角以及主、从动点到定点的距离之比，可确定从动点的轨迹，而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是． 【2016乐山中考】如图，在反比例函数y=−2的图像上有一个动点A，连接AO并延长交图像的另一xk的图像上运动，x支于点B，在第一象限内有一点C，满足AC＝BC，当点A运动时，点C始终在函数y=若tan∠CAB＝2，则k的值为（ ） yACOBx A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】∠AOC＝90°且AO:OC＝1:2，显然点C的轨迹也是一条双曲线，分别作AM、CN垂直x轴，垂足分别为M、N，连接OC，易证△AMO∽△ONC，∴CN＝2OM，ON＝2AM，∴ON·CN＝4AM·OM，故k＝4×2＝8． yANMOBCx 【思考】若将条件“tan∠CAB＝2”改为“△ABC是等边三角形”，k会是多少？ ———————————————————————————————————————————————— 【练习】如图，A（－1,1），B（－1,4），C（－5,4），点P是△ABC边上一动点，连接OP，以OP为斜边在OP的右上方作等腰直角△OPQ，当点P在△ABC边上运动一周时，点Q的轨迹形成的封闭图形面积为________． yCBPQAOx 【分析】根据△OPQ是等腰直角三角形可得：Q点运动轨迹与P点轨迹形状相同，根据OP:OQ＝2:1，可得P点轨迹图形与Q点轨迹图形相似比为2:1，故面积比为2:1，△ABC面积为1/2×3×4＝6，故Q点轨迹形成的封闭图形面积为3． 【小结】根据瓜豆原理，类似这种求从动点轨迹长或者轨迹图形面积，根据主动点轨迹推导即可，甚至无需作图． ———————————————————————————————————————————————— 【练习】如图所示，AB＝4，AC＝2，以BC为底边向上构造等腰直角三角形BCD，连接AD并延长至点P，使AD＝PD，则PB的取值范围为___________． PDCBA 【分析】固定AB不变，AC＝2，则C点轨迹是以A为圆心，2为半径的圆，以BC为斜边作等腰直角三角形BCD，则D点轨迹是以点M为圆心、2为半径的圆 PPDMCEBDMCENAAB 考虑到AP＝2AD，故P点轨迹是以N为圆心，22为半径的圆，即可求出PB的取值范围． ———————————————————————————————————————————————— 最值系列之“胡不归”问题 在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA＋PB最值，除此之外我们还可能会遇上形如“PA＋k·PB”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：（1）胡不归问题；（2）阿氏圆．本文简单介绍“胡不归”模型． 【故事介绍】 从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”） 而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？ BV1V1驿道砂石地AV2C 【模型建立】 如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1
