积化和差和差化积专题(精选)

积化和差、和差化积专题

三角函数的积化和差公式：

积化和差公式是由正弦或余弦的和角公式与差角公式通过加减运算推导而得.其中前两个公式可合

并为一个：

三角函数的和差化积公式：

和差化积公式是积化和差公式的逆用形式，要注意的是：

①其中前两个公式可合并为一个：sin+ sin=2 sincos

②积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了“换元”思想.

③只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果一个正弦与一个

余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式化积. ④合一变形也是一种和差化积.

⑤三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解，因此，因式分解在代数中起什么作用，和差化

积公式在三角中就起什么作用.

积化和差与积差化积是一种孪生兄弟，不可分离，在解题过程中，要切实注意两者的交替使用.如在一般情况下，遇有正、余弦函数的平方，要先考虑降幂公式，然后应用和差化积、积化和差公式交替使用进行化简或计算.和积互化公式其基本功能在于：当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而利于化简求值.正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段.

典型例题：

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例1．把下列各式化为和或差的形式：

例2．求值：sin6°sin42°sin66°sin78°.

例3．

例4．求值：cos24°﹣sin6°﹣cos72°

例5．求tan20°＋4sin20°的值.

例6．求值：

例7．已知sin(A+B)=

，sin(A-B)=﹣

，求值：

例8．求sin20°+cos80°+

2

2

22

sin20°cos80°的值.

例9．试证：cos(A-)+cos(B﹣)-2cos(A-B)cos(A-)cos(B-)的值与无关.

专题训练一

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一、基础过关

1． 函数y＝cos x＋cosx＋π

3的最大值是

A．2

B.3

C.3

2 2． 化简1＋sin 4α－cos 4α

1＋sin 4α＋cos 4α

的结果是

A．cot 2α B．tan 2α C．cot α

D．tan α

3． 若cos(α＋β)cos(α－β)＝1

3

，则cos2α－sin2β等于

A．－23

B．－13

C.13 4． sin 20°cos 70°＋cos 40°cos 80°的值为

A.1

4

B.3

2

C.12

5.

sin 35°－sin 25°

cos 35°－cos 25°的值是________．

6． 给出下列关系式：

①sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 8θcos 2θ； ②cos 3θ－cos 5θ＝－2sin 4θsin θ； ③sin 3θ－sin 5θ＝－1

2cos 4θcos θ；

④sin 5θ＋cos 3θ＝2sin 4θcos θ； ⑤sin xsin y＝1

2[cos(x－y)－cos(x＋y)]．

其中正确的序号是________．

7． 化简：

sin 40°1＋2cos 40°

2cos240°＋cos 40°－1

.

8． 在△ABC中，求证：sin A＋sin B＋sin C

＝4cos ABC2cos 2cos 2.

二、能力提升

9． cos2α－cos αcos(60°＋α)＋sin2(30°－α)的值为

A.1

2

B.32

C.34

10．已知cos2α－cos2β＝m，那么sin(α＋β)·sin(α－β)＝________. 11．化简：tan 20°＋4sin 20°.

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D.3

3

( D.23

D.34

D.14

( )

( ) )

( )

( )

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11

12．已知cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－，

23

求sin(α＋β)的值．

三、探究与拓展

13．已知△ABC的三个内角A，B，C满足：A＋C＝2B，

112A－C

＋＝－，求cos 的值． cos Acos Ccos B2

专题训练二

1．下列等式错误的是( )

A．sin(A＋B)＋sin(A－B)＝2sinAcosB B．sin(A＋B)－sin(A－B)＝2cosAsinB C．cos(A＋B)＋cos(A－B)＝2cosAcosB D．cos(A＋B)－cos(A－B)＝2sinAcosB 2．sin15°sin75°＝( ) 111

A. B. C. D．1 8423．sin105°＋sin15°等于( )

3266A. B. C. D. 22244．sin37.5°cos7.5°＝________. 1．sin70°cos20°－sin10°sin50°的值为( ) 3313A. B. C. D. 42242．cos72°－cos36°的值为( )

11

A．3－23 B. C．－ D．3＋23

22

C

3．在△ABC中，若sinAsinB＝cos2，则△ABC是( )

2

A．等边三角形 B．等腰三角形 C．不等边三角形 D．直角三角形

π

4．函数y＝sinx－6cosx的最大值为( )

()

112A. B. C．1 D. 242

1

5．若cos(α＋β)cos(α－β)＝，则cos2α－sin2β等于( )

3

2112A．－ B．－ C. D. 3333

ππ

6．函数y＝sinx＋3－sinx(x∈[0，])的值域是( )

2

11313

A．[－2,2] B.－， C.2，1 D.，

222222

7．cos75°＋cos15°＋cos75°·cos15°的值等于________．

2π1

8．已知α－β＝，且cosα＋cosβ＝，则cos(α＋β)等于________．

33

π2π

9．函数y＝cosx＋3cosx＋3的最大值是______． 10．化简下列各式： cosA＋cos120°＋B＋cos120°－BsinA＋2sin3A＋sin5A(1)； (2).

sin3A＋2sin5A＋sin7AsinB＋sin120°＋A－sin120°－A

()

[]

()()

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11. 在△ABC中，若B＝30°，求cosAsinC的取值范围．

5sinx21

12．已知f(x)＝－＋，x∈(0，π)．

2x

2sin

2

(1)将f(x)表示成cosx的多项式； (2)求f(x)的最小值． 答案

1解析：选D.由两角和与差的正、余弦公式展开左边可知A、B、C正确．

11111

2解析：选B.sin15°sin75°＝－[cos(15°＋75°)－cos(15°－75°)]＝－(cos90°－cos60°)＝－(0－)＝.

22224105°＋15°105°－15°6

3解析：选C.sin105°＋sin15°＝2sincos＝2sin60°cos45°＝. 2222＋112＋1121

＝＝.＝(sin45°＋sin30°) ＋422242

1

4解析：sin37.5°cos7.5°＝[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)]

2

11

5解析：选A.sin70°cos20°－sin10°sin50°＝(sin90°＋sin50°)＋(cos60°－cos40°)

22

11113＝＋sin50°＋－cos40°＝. 22424答案：

72°＋36°72°－36°6解析：选C.原式＝－2sinsin＝－2sin54°·sin18°＝－2cos36°cos72°

22

sin36°cos36°cos72°sin72°cos72°sin144°1＝－2·＝－＝－＝－，故选C.

sin36°sin36°2sin36°2

11

7解析：选B.由已知等式得[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝(1＋cosC)，

22又A＋B＝π－C.所以cos(A－B)－cos(π－C)＝1＋cosC.

所以cos(A－B)＝1，又－π8解析：选B.y＝sinx－6cosx＝sinx－＋x＋sinx－6－x

26

π1π111111

＝sin2x－6－2＝sin2x－6－. ∴ymax＝－＝. 224244

1

9解析：选C.cos(α＋β)cos(α－β)＝(cos2α＋cos2β)

2

1

＝[(2cos2α－1)＋(1－2sin2β)] 2

＝cos2α－sin2β，

1

∴cos2α－sin2β＝.

3

πππ

10解析：选B.y＝sinx＋3－sinx＝2cosx＋6sin 6

π

＝cos(x＋)．

6π

∵x∈0，2， ππ2π∴≤x＋≤， 663

[()](

()

)

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13

∴y∈－，.

2211解析：y＝sin215°＋cos215°＋cos75°·cos15°

155＝1＋(cos90°＋cos60°)＝. 答案：

244

α＋βα－βα＋β1πα＋β12解析：cosα＋cosβ＝2coscos＝2coscos＝cos＝，

223223α＋β177－1＝2×－1＝－. 答案：－ 2999

π1

13解析：y＝cos2x＋π＋cos－3

2

π111

＝－cos2x＋cos3＝－cos2x， 242

33

因为－1≤cos2x≤1，所以ymax＝. 答案： 44∴cos(α＋β)＝2cos2

()()

cosA＋2cos120°cosBcosA－cosBA＋B

14解：(1)原式＝＝＝＝tan. 2sinB＋2cos120°sinAsinB－sinAA＋BB－A

2cossin22sinA＋sin5A＋2sin3A

(2)原式＝ sin3A＋sin7A＋2sin5A＝＝

2sin3Acos2A＋2sin3A

2sin5Acos2A＋2sin5A2sin3Acos2A＋1sin3A

＝.

2sin5Acos2A＋1sin5A

A＋BB－A2sinsin22

15解：由题意得

1

cosAsinC＝[sin(A＋C)－sin(A－C)]

2

1

＝[sin(π－B)－sin(A－C)] 211

＝－sin(A－C)． 42

∵－1≤sin(A－C)≤1，

1113∴－≤－sin(A－C)≤，

442413∴cosAsinC的取值范围是－4，4.

5xxsin－sin22

16解：(1)f(x)＝ x2sin

2

3x2cossinx

23xx

＝＝2coscos

x222sin

2＝cos2x＋cosx＝2cos2x＋cosx－1.

19

(2)∵f(x)＝2(cosx＋)2－，

48且－1＜cosx＜1. 19

∴当cosx＝－时，f(x)取最小值－. 48

[]

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