和差化积积化和差的证明

和差化积公式及其推导过程

一 和差化积公式

sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]

sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]

cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]

cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]

和差化积公式由积化和差公式变形得到，积化和差公式是由正弦或余弦的和角公式与差角公式通过加减运算推导而得。

二 推导过程：

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

把两式相加得到：sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ

所以，sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2

同理，把两式相减，得到：cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ，cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

把两式相加，得到：cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ

所以，cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2

同理，两式相减，得到sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2

这样，得到了积化和差的四个公式:

sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2

cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2

cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2

sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2

有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.我们把上述四个公式中的α+β设为θ,α-β设为φ, 那么α=(θ+φ)/2,β=(θ-φ)/2

把α,β分别用θ,φ表示就可以得到和差化积的四个公式:

sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]

sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]

cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]

cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]

积化和差公式及其推导过程

一 积化和差公式

sinαsinβ=[cos(α-β)-cos(α+β)]/2

cosαcosβ=[cos(α-β)+cos(α+β)]/2

sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2

cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2

积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。

即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明：

二 推导过程

sinαsinβ=-1/2[-2sinαsinβ]

=-1/2[(cosαcosβ-sinαsinβ)-(cosαcosβ+sinαsinβ)]

=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]

其他的3个式子也是相同的证明方法。