函数求定义域方法总结和配套习题

（1）分式中的分母不为零；

（2）偶次方根下的数（或式）大于或等于零； （3）指数式的底数大于零且不等于一；

（4）对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零； （5）正切函数ytanxxR,且xk,k； 2（6）余切函数ycotxxR,且xk,k； （7）反三角函数的定义域

函数y＝arcsinx的定义域是[－1，1]，值域是；

函数y＝arccosx的定义域是[－1，1]，值域是[0，π] ；

函数y＝arctgx的定义域是R，值域是；

函数y＝arcctgx的定义域是R，值域是(0，π)。

1、 抽象的

一、已知f(x)的定义域，求fg(x)的定义域

例1

已知函数f(x)的定义域为15，，求f(3x5)的定义域．

分析：该函数是由u3x5和f(u)构成的复合函数，其中x是自变量，u是中间变量，由于f(x)与f(u)是同一个函数，因此这里是已知1≤u≤5，即

1≤3x5≤5，求x的取值范围．

解：

410f(x)的定义域为15，，1≤3x5≤5，≤x≤．

33410故函数f(3x5)的定义域为，．

33二、已知fg(x)的定义域，求f(x)的定义域

例2 已知函数f(x22x2)的定义域为0，3，求函数f(x)的定义域．

分析：令ux22x2，则f(x22x2)f(u)，

由于f(u)与f(x)是同一函数，因此u的取值范围即为f(x)的定义域． 解：由0≤x≤3，得1≤x22x2≤5．

令ux22x2，则f(x22x2)f(u)，1≤u≤5． 故f(x)的定义域为15，．

三、运算型的抽象函数

例３ 若f(x)的定义域为3，5，求(x)f(x)f(2x5)的定义域．

3≤x≤5， 解：由f(x)的定义域为3解得，5，则(x)必有3≤2x5≤5，4≤x≤0．

所以函数(x)的定义域为4，0．

3、逆向型

例5已知函数ymx26mxm8的定义域为R求实数m的取值范围。

分析：函数的定义域为R，表明mx26mxm80，使一切xR都成立，由x2项的系数是m，所以应分m0或m0进行讨论。

解：当m0时，函数的定义域为R；

当m0时，mx26mxm80是二次不等式，其对一切实数x都成立的充要条件是

m0 0m1 2(6m)4m(m8)0综上可知0m1。

评注：不少学生容易忽略m0的情况，希望通过此例解决问题。 例6已知函数f(x)kx7的定义域是R，求实数k的取值范围。

kx24kx3解：要使函数有意义，则必须kx24kx30恒成立， 因为f(x)的定义域为R，即kx24kx30无实数解

①当k0时，16k243k0恒成立，解得0k②当k0时，方程左边30恒成立。 综上k的取值范围是0k

3； 43。 4抽象函数的定义域

总结解题模板

1.已知f(x)的定义域，求复合函数f[gx]的定义域

由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若f(x)的定义域为xa,b，求出

f[g(x)]中ag(x)b的解x的范围，即为f[g(x)]的定义域。

2.已知复合函数f[gx]的定义域，求f(x)的定义域

方法是：若f[gx]的定义域为xa,b，则由axb确定g(x)的范围即为

f(x)的定义域。

3.已知复合函数f[g(x)]的定义域，求f[h(x)]的定义域

结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由f[gx]定义域求得fx的定义域，再由fx的定义域求得f[hx]的定义域。 4.已知f(x)的定义域，求四则运算型函数的定义域

若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。

例1已知函数f(x)的定义域为15，，求f(3x5)的定义域．

得x的取值范围即为fg(x)的定义域．本题该函数是由u3x5和f(u)构成的复合函数，其中x是自变量，u是中间变量，由于f(x)与f(u)是同一个函数，因此这里是已知1≤u≤5，即1≤3x5≤5，求x的取值范围．

解：

分析：若f(x)的定义域为a≤x≤b，则在fg(x)中，a≤g(x)≤b，从中解

410f(x)的定义域为15，，1≤3x5≤5，≤x≤．

33故函数f(3x5)的定义域为，．

33410变式训练：

若函数yf(x)的定义域为,2，则f(log2x)的定义域为 。 2分析：由函数yf(x)的定义域为,2可知：x2；所以yf(log2x)22中有

1111log2x2。 2解：依题意知： ∴

1log2x2 解之，得：2x4 2f(log2x)的定义域为x|2x4

例2已知函数f(x22x2)的定义域为0，3，求函数f(x)的定义域．

分析：若fg(x)的定义域为m≤x≤n，则由m≤x≤n确定的g(x)的范围

即为f(x)的定义域．这种情况下，f(x)的定义域即为复合函数fg(x)的内函数的值域。本题中令ux22x2，则f(x22x2)f(u)，

由于f(u)与f(x)是同一函数，因此u的取值范围即为f(x)的定义域． 解：由0≤x≤3，得1≤x22x2≤5．

令ux22x2，则f(x22x2)f(u)，1≤u≤5． 故f(x)的定义域为15，． 变式训练：

已知函数的定义域为，则的定义域为

________。 解：由所以例3. 函数

，得

，故填定义域是

，则

的定义域是（ ）

A. B. C. 的定义域，求

D.

定义域求

分析：已知得

的定义域，可先由

的定义域

的定义域，再由

的定义域 的定义域是

的定义域求得

解：先求

，

，再求

的定义域

即的定义域是

变式训练：

的定义域是，故应选A

已知函数f(2x）的定义域是［-1，1］，求f(log2x)的定义域.

分析：先求2x的值域为M则log2x的值域也是M，再根据log2x的值域求定义域。

1解 ∵y=f(2x)的定义域是［-1，1］，即-1≤x≤1,∴2≤2x≤2.

1∴函数y=f(log2x)中2≤log2x≤2.即log22≤log2x≤log24,∴2≤x≤4.

故函数f(log2x)的定义域为［2，4］

例4 若f(x)的定义域为3，5，求(x)f(x)f(2x5)的定义域．

分析：求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，然后再求交集．

解：由f(x)的定义域为3，5，则(x)必有所以函数(x)的定义域为4，0． 变式训练：已知函数

的定义域是

3≤x≤5，解得4≤x≤0．

3≤2x5≤5，，求

的定义域。

分析：分别求f(x+a)与f(x-a)的定义域，再取交集。

解：由已知，有函数的定义域由

，即

确定

函数

的定义域是

1，2]，求f(x2)的定义域． 2111，2]，x满足－≤x≤2，于是＜x＋1＜3，222例5 若函数f(x+1)的定义域为[－

分析：已知f(x+1)的定义域为[－

得到f(x)的定义域，然后f(x2)的定义域由f(x)的定义域可得．

解：先求f(x)的定义域：

由题意知－

111≤x≤2，则＜x＋1＜3，即f(x)的定义域为[，3]， 222再求f[h(x)] 的定义域：

∴

221＜x2＜3，解得－3＜x＜－或＜x＜3．

22222或＜x＜3}． 22∴f(x2)的定义域是{x|－3＜x＜－例6、 某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm2. 问x、y分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省?

分析：应用题中的定义域除了要使解析式有意义外，还需考虑实际上的有效范围。实际上的有效范围，即实际问题要有意义，一般来说有以下几中常见情况：

（1）面积问题中，要考虑部分的面积小于整体的面积；

（2）销售问题中，要考虑日期只能是自然数，价格不能小于0也不能大于题设中规定的值（有的题没有规定）；

（3）生产问题中，要考虑日期、月份、年份等只能是自然数，增长率要满足题设；（4）路程问题中，要考虑路程的范围。本题中总面积为S三角形S矩形xy由于xy0，于是

12x8，412x8，即x42。又x0，∴x的取值范围是0x42。 4解：由题意得

x28124=8x(0x4x4

于是, 框架用料长度为 l=2x+2y+2(

2316x)=(+2)x+≥4642. 22x 当(

316+2)x=,即x=8－42时等号成立. 2x 此时, x≈2.343,y=22≈2.828.

故当x为2.343m,y为2.828m时, 用料最省. 变式训练：

13.（2007·北京理，19）如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r，短半轴长为r.计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上.记CD=2x,梯形面积为S.

(1)求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域； (2)求面积S的最大值.

解（1）依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系O-xy（如图）， 则点C的横坐标为x,点C的纵坐标y满足方程

x2y2r24r21(y≥0), 解得y=2r2x2 (01(2x+2r)·2r2x22

=2(x+r)·r2x2,其定义域为{x|02）记f(x)=4(x+r)2(r2-x2),00; 当

r212r时，S也取得最大值，最大值为f(12r)332r2. 即梯形面积S的最大值为332r2. 巩固训练

1. 设函数的定义域为，则

（1）函数的定义域为________。

（2）函数

的定义域为__________。

分析：做法与例题1相同。 解：（1）由已知有，解得

故

的定义域为

（2）由已知，得

，解得

（故的定义域为

2、已知函数________。

的定义域为，则的定义域为

分析：做法与例题2相同。 解：由

所以

，得

，故填

3、已知函数________。

的定义域为，则y=f(3x-5)的定义域为

分析：做法与例题3相同。 解：由

所以

，得

，所以0≤3x-5≤1,所以5/3≤x≤2.