将军饮马问题

第一讲 将军饮马问题

学习要点与方法点拨

一、主要内容 （1）将军饮马问题的概念。

（2）将军饮马问题在坐标系、一次函数、三角形、正方形中的应用。 （3）将军饮马问题与勾股定理。

二、本章重点 掌握将军饮马问题的概念和解题思路，能解决将军饮马问题和一次函数、坐标系、几何图形和勾股定理等的综合习题。

课前预习

轴对称的性质与作法；一次函数的性质；勾股定理的性质；三角形、矩形、正方形的性质；三角

形的三边关系、平移的性质。

模块精讲

一、将军饮马问题的概念和基本思路

起源：古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦。有一天，有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题：

如图，有一位将军从位于A点的军营，返回位于B点的家中，途中需要到达一条小河MN边，让马去河里喝水。那么，该如何选择路径，才能使将军回家的过程中，走过的路程最短？

精通数理的海伦稍加思索，便作了完善的回答。这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题。 A B M N 初一看，这个问题好像没有什么思路，那我们先把问题的概念转换一下。这个问题中A点和B点在河MN的同一侧，那么，如果A点和B点在河MN的不同侧呢？

这时我们好像有一点眉目了，我们要利用的定理就是：两点之间直线最短，先找线路再找点。 那我们再回到最开始时的问题，是不是有了启发呢？

思路：为了找线路，可以利用轴对称的原理，先做对称，再转化成三角形的三边关系。

例1，如图，一匹马从S点出发，先去河OP边喝水，再去草地OQ吃草，然后再回到S点。该如何选择线路，使得经过的总路程最短？

P y

河水 A .S N B O Q x 草地 O M 例1图 例2图

二、将军饮马与坐标系

例2，已知A(2,3)、B(3,2)，M是x轴上的一个动点，N是y轴上的一个动点，求AN+NM+BM的最小值，并求出此时M、N的坐标。 思路：作对称

① 两段折线 → 作一次对称 → 转化折线 三段折线 → 作两次对称 → 转化折线 ② 连线段 → 最小值

例3，已知A(-3,4)、B(-2,-5)、M(0,m)、N(0,m+1)，求BM+MN+AN的最小值，并求此时对应的m的值。

运用平移的性质

例4，已知A(4,1)、B(-3,-2)，试在x轴上找一点C，是|AC-BC|最大，求出点C的坐标和这个最大值。

构造三角形，运用三角形的边长关系

三、将军饮马问题解题思路的归纳

学习了几个常见的例子，我们再来整理一下思路。

首先明白几个概念，动点、定点、对称点。动点一般就是题目中的所求点，即那个不定的点。定点即为题目中固定的点。对称的点，作图所得的点，需要连线的点。

1. 怎么对称，作谁的对称？

简单说所有题目需要作对称的点，都是题目的定点。或者说只有定点才可以去作对称的。（不确定的点作对称式没有意义的）那么作谁的对称点？首先要明确关于对称的对象肯定是一条线，而不是一个点。那么是哪一条线？一般而言都是动点所在直线。 2. 对称完以后和谁连接？ 一句话：和另外一个顶点相连。绝对不能和一个动点相连。明确一个概念：定点的对称点也是一个定点。 3. 所求点怎么确定？ 首先一定要明白，所求点最后反应在图上一定是个交点。实际就是我们所画直线和已知直线的交点。 4. 将军饮马一定是求最短距离吗？ 肯定不是。或者说求最短距离是将军饮马中的最简单一类题目。根据将军饮马的基本模型可以拓展出很多题型。根本原因是因为在作轴对称过程中不但是作了点的对称，还作了边长和角度的对称！或者说边长和角度的对称才是最关键。

四、将军饮马与勾股定理

例5，如图，将军的军营在A处，与河岸的距离OA=4km，将军的家在B处。且QA=7km，QB=8km，他下班回家的路上先把马牵到小河边去饮水，然后再回到家中，求他下班回家要走的最短路程。

O 小河

P A• B A1 Q B 例5图 例6图 O A A2 Q 例6，如图，∠POQ = 20°，A为OQ上的点，B为OP上的点，且OA=1，OB=2，在OB上取点A1 ，在OQ上取点A2 ，求AA1 + A1A2 + A2B的最小值。

例7，∠AOB = 45°，P是∠AOB内一点，PO = 10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值。

五、三角形、正方形中的将军饮马

例8，如图，在等边△ABC中，AB=6，AD⊥BC，E是AC上的一点，M是AD上的一点，且AE=2，求EM+EC的最小值。

例8图 例9图

例9，如图，在锐角△ABC中，AB=42，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是__________。

例10，如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上,且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为_________。

例10图 例11图

例11，在边长为2㎝的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________㎝

例12，一次函数y = kx + b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）． （1）求该函数的解析式；

（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标． y 例13，如图，在坐标系xOy中，有一条河， 河岸分别为x轴和直线MN，直线MN与y轴的 ·P 交点为A(0,2)，P、Q两地位于河的两岸，且 P(0,5)、Q(5,-1)。现在需要在河上架一座桥， (桥必须垂直于河岸)，来沟通P、Q两地，求 M A B N 桥的端点B、C的坐标，使得从P地到Q地的 路程最短。 O C x ·Q

总结：将军饮马问题 = 轴对称问题 = 最短距离问题（轴对称是工具，最短距离是题眼）。 所谓轴对称是工具，即这类问题最常用的做法就是作轴对称。而最短距离是题眼，也就意味着归类这类的题目的理由。比如题目经常会出现“线段a+b的最小值”这样的条件或者问题。一旦出现可以快速联想到将军问题，然后利用轴对称解题。

学习效果

能将实际问题中的“地点”、“河”、“草地”抽象为数学中的“点”、“线”，把最短路径问题抽象为数学中的线段和最小问题，能利用轴对称将处在直线同侧的两点，变为两点处在直线的异侧，能利用平移将两条线段拼接在一起，从而转化为“两点之间，线段最短”问题，能通过逻辑推理证明所求距离最短，在探索问题的过程中，体会轴对称、平移的作用，体会感悟转化的数学思想.

课后巩固习题

1，已知A(-1,4)，B(1,1)，在x轴上找一点C，使AC+BC最小。则C点的坐标是________，AC+BC的最小值是_______。

2，已知A(-1,3)，B(-3,1)，M是x轴上一动点，N是y轴上一动点，则当AN+NM+MB最小时，M的坐标

是________，N的坐标是_________。

3，已知A(-4,4)，B(-1,-3)，M(0,m)，N(0,m+1)，当BM+MN+AN最小时，点M的坐标是________，最小值是________。

4，已知A(-4,5)，B(2,-2)，在x轴上找一点C，则当|AC-BC|最大时，点C的坐标是_________，最大值是_________。

5，如图，点A,B位于直线l的同侧，到直线l的距离AC = 10，BD = 30，且CD = 30，在直线l上找到一点M，是AM+BM最短，则最短距离是__________。

B A

M A P

直线l

C D O N B 题5图 题6图

6，如图，∠AOB = 45°，点P在∠AOB内，且OP = 3，点M,N分别为射线OA，OB上的动点，则△PMN的周长的最小值为________。

7，如图，∠AOB = 40°，点P，Q都在∠AOB内，∠AOP = ∠BOQ = 10°，且OP = OQ = 6，作点P关于OA的对称点P1 ，作点Q关于OB的对称点Q1 ,则P1Q1 = _________。 A A P P Q Q O B O B 题7图 题8图 8，如图，∠AOB = 60°，点P，Q都在∠AOB内，∠AOP = ∠BOQ = 15°，且OP = 8，OQ = 6。在射线OA、OB上分别存在点M，N，是PM+MN+NQ的值最小，则最小值是___________。

9，如图，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，则这个最小值是多少？

题9图 例10图

10，如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC

上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为__________。

11, 如图，若四边形 ABCD 是菱形， AB=10cm，∠ABC=45°，E 为边 BC 上的一个动点，P 为 BD 上的一个动点，求 PC+PE的最小值.

12，如图，在锐角△ABC中，AB = 4，∠BAC = 45°，∠BAC的平分线交BC于点D。M、N分别是AD和AB上的动点，作出满足BM + MN最小时的M、N所在的位置，并求这个最小值。

C

D M

A N B

13, 如图，一次函数

与反比例函数

交于点 A，AM⊥x 轴于点 M，三角形OAM的面积

为 1。

(1) 求 k 的值；

(2) 点 B 为双曲线上不与 A 重合的一点，且 B(1，n)，在 x 轴上求一点 P，使 PA+PB最小。 y

A

O M x