顺平县第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案

一、选择题

1． 抛物线y=﹣8x2的准线方程是（ A．y=　

B．y=2C．x=

D．y=﹣2

）

11x,x[0,)222． 已知函数f(x)，若存在常数使得方程f(x)t有两个不等的实根x1,x23x2,x[1,1]2（x1x2），那么x1f(x2)的取值范围为（ ）

13313) C．[,) D．[,3)8616283． 如图甲所示， 三棱锥PABC 的高PO8,ACBC3,ACB30 ，M,N分别在BCA．[,1)

34B．[,（0，3，图乙的四个图象大致描绘了三棱锥NAMC的体积y与 和PO上，且CMx,PN2xx的变化关系，其中正确的是（

）

A．

B． C. D．1111]

4． 已知函数f（x）=2x﹣+cosx，设x1，x2∈（0，π）（x1≠x2），且f（x1）=f（x2），若x1，x0，x2成等差

）

数列，f′（x）是f（x）的导函数，则（ A．f′（x0）＜0

B．f′（x0）=0

C．f′（x0）＞0D．f′（x0）的符号无法确定　　

5． 若复数（2+ai）2（a∈R）是实数（i是虚数单位），则实数a的值为（

）

A．﹣2B．±2C．0D．2　

6． 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是，，，已知8b5c，C2B，则cosC（

）

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A．

7 25B．7 25C. 7 25D．

24257． 四棱锥P﹣ABCD的底面是一个正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，E是棱PA的中点，则异面直线BE与AC所成角的余弦值是（

）

A．B．C．D．

8． 已知d为常数，p：对于任意n∈N*，an+2﹣an+1=d；q：数列 {an}是公差为d的等差数列，则￢p是￢q的（ ）

A．充分不必要条件

2B．必要不充分条件

2C．充要条件D．既不充分也不必要条件

9． 自圆C：(x3)(y4)4外一点P(x,y)引该圆的一条切线，切点为Q，切线的长度等于点P到原点O的长，则点P轨迹方程为（

）

A．8x6y210　　B．8x6y210　　C．6x8y210　　D．6x8y210【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离，意在考查逻辑思维能力、转化能力、运算求解能力．

10．若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（ A．（0，+∞）

B．（0，2）C．（1，+∞）

D．（0，1）

）

211．已知抛物线C：y8x的焦点为F，P是抛物线C的准线上的一点，且P的纵坐标为正数，

Q是直线PF与抛物线C的一个交点，若PQ2QF，则直线PF的方程为（ ）

B．xy20

C．xy20

A．xy20 （ A．16

）B．﹣16

C．8

D．xy2012．已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x3﹣2x2，则f（2）+g（2）=

D．﹣8

二、填空题

13．已知函数f(x)asinxcosxsinx（

）

21的一条对称轴方程为x，则函数f(x)的最大值为26第 2 页，共 17 页

A．1　　　　B．±1　　　　C．2　　　　D．2【命题意图】本题考查三角变换、三角函数的对称性与最值，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想与方程思想．

214．已知平面向量a，b的夹角为，ab6，向量ca，cb的夹角为，ca23，则a与

33．c的夹角为__________，ac的最大值为 【命题意图】本题考查平面向量数量积综合运用等基础知识，意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力.

115．函数f(x)lg(x1)的定义域是 ▲ ．1xx2y216．已知抛物线C1：y4x的焦点为F，点P为抛物线上一点，且|PF|3，双曲线C2：221ab（a0，b0）的渐近线恰好过P点，则双曲线C2的离心率为 .2【命题意图】本题考查了双曲线、抛物线的标准方程，双曲线的渐近线，抛物线的定义，突出了基本运算和知识交汇，难度中等.

17．为了近似估计π的值，用计算机分别产生90个在[﹣1，1]的均匀随机数x1，x2，…，x90和y1，y2，…，y90，在90组数对（xi，yi）（1≤i≤90，i∈N*）中，经统计有25组数对满足

，则以此估计的π值为　　　　　　．　　

18．如图是一个正方体的展开图，在原正方体中直线AB与CD的位置关系是　　　　　　．三、解答题

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19．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2旋转一周所成几何体的表面积．

，AD=2，求四边形ABCD绕AD

20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，该椭圆的离心率为

相切．

，以原点为圆心

，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线y=x+（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）如图，若斜率为k（k≠0）的直线l与x轴，椭圆C顺次交于P，Q，R（P点在椭圆左顶点的左侧）且∠RF1F2=∠PF1Q，求证：直线l过定点，并求出斜率k的取值范围．

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21．(本小题满分10分）选修4­4：坐标系与参数方程．

＝1＋3cos α在直角坐标系中，曲线C1：x（α为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐

＝＋23ysin α{)标系，C2的极坐标方程为ρ＝

.πsin（θ＋）4

（1）求C1，C2的普通方程；

（2）若直线C3的极坐标方程为θ＝3π（ρ∈R），设C3与C1交于点M，N，P是C2上一点，求△PMN的面

4

积．

222．已知直线l1：ρ2﹣2

ρcosθ﹣4ρsinθ+6=0．

（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C1：

（1）求圆C1的直角坐标方程，直线l1的极坐标方程；（2）设l1与C1的交点为M，N，求△C1MN的面积．　

23．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝1x2＋x＋a，g（x）＝ex.

2

（1）记曲线y＝g（x）关于直线y＝x对称的曲线为y＝h（x），且曲线y＝h（x）的一条切线方程为mx－y－1＝0，求m的值；

（2）讨论函数φ（x）＝f（x）－g（x）的零点个数，若零点在区间（0，1）上，求a的取值范围．

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24．[50，60][60，70][70某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：，80][80，90][90，100]．（1）求图中a的值；

（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分．

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顺平县第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案（参）一、选择题

1． 【答案】A

【解析】解：整理抛物线方程得x2=﹣y，∴p=∵抛物线方程开口向下，∴准线方程是y=故选：A．

【点评】本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置．　

2． 【答案】C【解析】

试题分析：由图可知存在常数，使得方程fxt有两上不等的实根，则

，

313t1，由x，可得424311131112x，由13x2，可得x（负舍），即有x1,x2，即x2，则

3422344331x1fx23x13x22,.故本题答案选C.

162考点：数形结合．

【规律点睛】本题主要考查函数的图象与性质,及数形结合的数学思想方法.方程解的个数问题一般转化为两个常见的函数图象的交点个数问题来解决.要能熟练掌握几种基本函数图象,如二次函数,反比例函数,指数函数,对数函数,幂函数等.掌握平移变换,伸缩变换,对称变换,翻折变换,周期变换等常用的方法技巧来快速处理图象.

3． 【答案】A【解析】

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考

点：几何体的体积与函数的图象.

【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的体积与函数的图象之间的关系，其中解答中涉及到三棱锥的体积公式、一元二次函数的图象与性质等知识点的考查，本题解答的关键是通过三棱锥的体积公式得出二次函数的解析式，利用二次函数的图象与性质得到函数的图象，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，是一道好题，题目新颖，属于中档试题.

4． 【答案】 A

【解析】解：∵函数f（x）=2x﹣∴

，

+cosx，设x1，x2∈（0，π）（x1≠x2），且f（x1）=f（x2），

∴存在x1＜a＜x2，f'（a）=0，∴

，∴

，解得a=

，

假设x1，x2在a的邻域内，即x2﹣x1≈0．∵∴

，

，

∴f（x）的图象在a的邻域内的斜率不断减少小，斜率的导数为正，∴x0＞a，

又∵x＞x0，又∵x＞x0时，f''（x）递减，∴故选：A．

【点评】本题考查导数的性质的应用，是难题，解题时要认真审题，注意二阶导数和三阶导数的性质的合理运用．　

5． 【答案】C

【解析】解：∵复数（2+ai）2=4﹣a2+4ai是实数，∴4a=0，解得a=0．

．

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故选：C．

【点评】本题考查了复数的运算法则、复数为实数的充要条件，属于基础题．　

6． 【答案】A【解析】

考

点：正弦定理及二倍角公式.

【思路点晴】本题中用到了正弦定理实现三角形中边与角的互化，同角三角函数间的基本关系及二倍角公式，如sin理

2cos21,cos2cos2sin2,这要求学生对基本公式要熟练掌握解三角形时常借助于正弦定

abc2R，余弦定理a2b2c22bccosA， 实现边与角的互相转化.sinAsinBsinC7． 【答案】B

【解析】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则B（2，0，0），E（0，0，1），A（0，0，0），C（2，2，0），=（﹣2，0，1），

=（2，2，0），

设异面直线BE与AC所成角为θ，则cosθ=故选：B．

=

=

．

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8． 【答案】A

【解析】解：p：对于任意n∈N*，an+2﹣an+1=d；q：数列 {an}是公差为d的等差数列，则￢p：∃n∈N*，an+2﹣an+1≠d；￢q：数列 {an}不是公差为d的等差数列，由￢p⇒￢q，即an+2﹣an+1不是常数，则数列 {an}就不是等差数列，若数列 {an}不是公差为d的等差数列，则不存在n∈N*，使得an+2﹣an+1≠d，即前者可以推出后者，前者是后者的充分条件，即后者可以推不出前者，故选：A．

【点评】本题考查等差数列的定义，是以条件问题为载体的，这种问题注意要从两个方面入手，看是不是都能够成立．　

9． 【答案】D

【解析】由切线性质知PQCQ，所以PQPCQC，则由PQPO，得，

222(x3)2(y4)24x2y2，化简得6x8y210，即点P的轨迹方程，故选D，

10．【答案】D

【解析】解：∵方程x2+ky2=2，即∴

故0＜k＜1

表示焦点在y轴上的椭圆

故选D．

【点评】本题主要考查了椭圆的定义，属基础题．　

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11．【答案】B【

解

析

】

考点：抛物线的定义及性质．

【易错点睛】抛物线问题的三个注意事项：（1）求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p的值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，若是标准方程，则要由焦点位置（或开口方向）判断是哪一种标准方程．（2）注意应用抛物线定义中的距离相等的转化来解决问题．（3）直线与抛物线有一个交点，并不表明直线与抛物线相切，因为当直线与对称轴平行（或重合）时，直线与抛物线也只有一个交点．12．【答案】B

【解析】解：∵f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x3﹣2x2，∴f（﹣2）﹣g（﹣2）=（﹣2）3﹣2×（﹣2）2=﹣16．即f（2）+g（2）=f（﹣2）﹣g（﹣2）=﹣16．故选：B．

【点评】本题考查函数的奇函数的性质函数值的求法，考查计算能力．　

二、填空题

13．【答案】A【

解

析

】

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14．【答案】【解析】

6，18123.

15．【答案】1,11,第 12 页，共 17 页

考点：定义域16．【答案】317．【答案】　

　．

【解析】设A（1，1），B（﹣1，﹣1），则直线AB过原点，且阴影面积等于直线AB与圆弧所围成的弓形面积S1，由图知，

，又

，所以

【点评】本题考查了随机数的应用及弓形面积公式，属于中档题．　

18．【答案】　异面　．

【解析】解：把展开图还原原正方体如图，

在原正方体中直线AB与CD的位置关系是异面．故答案为：异面．　

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三、解答题

19．【答案】

【解析】解：四边形ABCD绕AD旋转一周所成的几何体，如右图：

S表面=S圆台下底面+S圆台侧面+S圆锥侧面=πr22+π（r1+r2）l2+πr1l1=

=

=

20．【答案】

【解析】（Ⅰ）解：椭圆的左，右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），椭圆的离心率为

，即有=

，即a=

c，b=

=c，

以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆方程为x2+y2=b2，直线y=x+即有a=

，

+y2=1；

与圆相切，则有

=1=b，

则椭圆C的方程为

（Ⅱ）证明：设Q（x1，y1），R（x2，y2），F1（﹣1，0），由∠RF1F2=∠PF1Q，可得直线QF1和RF1关于x轴对称，即有

+

=0，即

+

=0，

即有x1y2+y2+x2y1+y1=0，①

设直线PQ：y=kx+t，代入椭圆方程，可得（1+2k2）x2+4ktx+2t2﹣2=0，

判别式△=16k2t2﹣4（1+2k2）（2t2﹣2）＞0，即为t2﹣2k2＜1②x1+x2=

，x1x2=

，③

y1=kx1+t，y2=kx2+t，

代入①可得，（k+t）（x1+x2）+2t+2kx1x2=0，

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将③代入，化简可得t=2k，

则直线l的方程为y=kx+2k，即y=k（x+2）．即有直线l恒过定点（﹣2，0）．将t=2k代入②，可得2k2＜1，解得﹣

＜k＜0或0＜k＜

．

，0）∪（0，

）．

则直线l的斜率k的取值范围是（﹣

【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率的运用，注意运用直线和圆相切的条件，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题和易错题．　

21．【答案】

＝1＋3cos α【解析】解：（1）由C1：x（α为参数）

＝＋23ysin α{)得（x－1）2＋（y－2）2＝9（cos2α＋sin2α）＝9.即C1的普通方程为（x－1）2＋（y－2）2＝9，由C2：ρ＝

得

πsin（θ＋）

4

ρ（sin θ＋cos θ）＝2，即x＋y－2＝0，

即C2的普通方程为x＋y－2＝0.

（2）由C1：（x－1）2＋（y－2）2＝9得x2＋y2－2x－4y－4＝0，

其极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ－4＝0，将θ＝3π代入上式得42ρ－2ρ－4＝0，

ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝－4，

2∴|MN|＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2＝32.

C3：θ＝3π（ρ∈R）的直角坐标方程为x＋y＝0，

4

∴C2与C3是两平行直线，其距离d＝2＝2.2∴△PMN的面积为S＝1|MN|×d＝1×32×2＝3.

22

即△PMN的面积为3.22．【答案】

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【解析】解：（1）∵∴圆C1的直角坐标方程为：由直线l1：

，将其代入C1得：

．x，可得

，

（t为参数），消去参数可得：y=

（ρ∈R）．

，可得

．

（ρ∈R）．

∴直线l1的极坐标方程为：（2）∴

⇒，

【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　

23．【答案】

【解析】解：（1）y＝g（x）＝ex关于直线y＝x对称的曲线h（x）＝ln x，设曲线y＝h（x）与切线mx－y－1＝0的切点为（x0，ln x0），由h（x）＝ln x得h′（x）＝1，（x＞0），＝m

则有x0，

mx0－ln x0－1＝0解得x0＝m＝1.∴m的值为1.

（2）φ（x）＝1x2＋x＋a－ex，

2

φ′（x）＝x＋1－ex，令t（x）＝x＋1－ex，∴t′（x）＝1－ex，

当x＜0时，t′（x）＞0，x＞0时，t′（x）＜0，x＝0时，t′（x）＝0.

∴φ′（x）在（－∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，∴φ′（x）max＝φ′（0）＝0，即φ′（x）≤0在（－∞，＋∞）恒成立，即φ（x）在（－∞，＋∞）单调递减，

{1

x)第 16 页，共 17 页

且当a＝1有φ（0）＝0.

∴不论a为何值时，φ（x）＝f（x）－g（x）有唯一零点x0，当x0∈（0，1）时，则φ（0）φ（1）＜0，

2e－3

即（a－1）（a－）＜0，

2

2e－32e－3

∴1＜a＜，即a的取值范围为（1，）．

22

24．【答案】

【解析】解：（1）依题意，

根据频率分布直方图中各个小矩形的面积和等于1得，10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，解得a=0.005．∴图中a的值0.005．

（2）这100名学生语文成绩的平均分为：55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73（分），

【点评】本题考查频率分布估计总体分布，解题的关键是理解频率分布直方图，熟练掌握频率分布直方图的性质，且能根据所给的数据建立恰当的方程求解　

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