第8章 第1节
一、选择题
1．(2010·崇文区)“m＝－2”是“直线(m＋1)x＋y－2＝0与直线mx＋(2m＋2)y＋1＝0相互垂直”的( )
A．充分不必要条件 C．充要条件 [答案] A
[解析] m＝－2时，两直线－x＋y－2＝0、－2x－2y＋1＝0相互垂直；两直线相互垂直时，m(m＋1)＋2m＋2＝0，∴m＝－1或－2，故选A.
2．(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( ) A．x－2y－1＝0 C．2x＋y－2＝0 [答案] A
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[解析] 解法1：所求直线斜率为2，过点(1,0)，由点斜式得，y＝2(x－1)，即x－2y－1＝0. 解法2：设所求直线方程为x－2y＋b＝0， ∵过点(1,0)，∴b＝－1，故选A.
(理)设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝( ) A．1 1C．－2 [答案] A
[解析] y′＝2ax，在(1，a)处切线的斜率为k＝2a， 因为与直线2x－y－6＝0平行，所以2a＝2，解得a＝1. 3．点(－1,1)关于直线x－y－1＝0的对称点是( ) A．(－1,1) C．(－2,2) [答案] D
[解析] 一般解法：设对称点为(x，y)，则
B．(1，－1) D．(2，－2)
1B.2 D．－1
B．x－2y＋1＝0 D．x＋2y－1＝0
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
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x－1y＋12－2－1＝0y－1x＋1＝－1
x＝2
，解之得，
y＝－2
特殊解法：当直线l：Ax＋By＋C＝0的系数满足|A|＝|B|＝1时，点A(x0，y0)关于l的对称－By0－C－Ax0－C
点B(x，y)的坐标，x＝，y＝. AB
4．(2010·惠州市模考)在平面直角坐标系中，矩形OABC，O(0,0)，A(2,0)，C(0,1)，将矩形折叠，使O点落在线段BC上，设折痕所在直线的斜率为k，则k的取值范围为( ) A．[0,1]
B．[0,2] D．[－2,0]
C．[－1,0] [答案] D
[解析] 如图，要想使折叠后点O落在线段BC上，可取BC上任一点D作线段OD的垂直平分线l，以l为折痕可使O与D重合，故问题转化为在线段CB上任取一点D，求直线OD的斜率的取值范围问题，
11
∵kOD≥kOB＝2，∴k＝－kOD≥－2，且k<0， 又当折叠后O与C重合时，k＝0，∴－2≤k≤0.
5．(文)已知点(3,1)和点(1,3)在直线3x－ay＋1＝0的两侧，则实数a的取值范围是( ) A．(－∞，10) B．(10，＋∞)
4C.－∞，3∪(10，＋∞)
4D.3，10
[答案] D
4[解析] 将点的坐标分别代入直线方程左边，所得两值异号，∴(9－a＋1)(3－3a＋1)<0，∴3 全国高考信息资源门户网站 www.gaokao.com 全国高考信息资源门户网站 www.gaokao.com A．5 C．4 [答案] C [解析] 由题意知(30－8a＋1)(15－4a＋5)<0， 31 ∴8 6．(2010·南充市)在直角坐标平面上，向量OA＝(1,3)、OB＝(－3,1)(O为原点)在直线l上的射影长度相等，且直线l的倾斜角为锐角，则l的斜率等于( ) A．1 1C.2 3B.2 3D.3 B．－5 D．－4 [答案] C →→ [解析] 过原点作与直线l平行的直线l′，则OA、OB在l′上的射影也相等，故A、B到直线l′的距离相等，设l′：y＝kx，则1 ∵l的倾斜角为锐角，∴k＝2. →→ [点评] 设直线l的斜率为k，则直线l的一个方向向量为a＝(1，k)，由OA，OB在a上射影→→|a·OA||a·OB| 的长度相等可得|a|＝|a|，可解出k. 7．设A(0,0)，B(2,2)，C(8,4)，若直线AD是△ABC外接圆的直径，则点D的坐标是( ) A．(16，－12) C．(4，－3) [答案] A [解析] 线段AB的垂直平分线x＋y－2＝0与线段AC的垂直平分线2x＋y－10＝0的交点即圆心(8，－6)，而圆心为AD的中点，所以得点D的坐标为(16，－12)． 8．(文)(2010·福建莆田市质检)经过圆x2＋y2＋2x＝0的圆心，且与直线x＋y＝0垂直的直线l的方程是( ) A．x＋y＋1＝0 C．x＋y－1＝0 B．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝0 B．(8，－6) D．(－4,3) |k－3|＝ 1＋k2 |－3k－1|1 ，∴k＝－2或2， 1＋k2 全国高考信息资源门户网站 www.gaokao.com 全国高考信息资源门户网站 www.gaokao.com [答案] B [解析] 设与直线x＋y＝0垂直的直线方程为x－y＋b＝0， ∵过圆心(－1,0)，∴b＝1，故选B. (理)(2010·山东潍坊)设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则log2010x1＋log2010x2＋…＋log2010x2009的值为( ) A．－log20102009 C．log20102009－1 [答案] B [解析] 由y＝xn＋1得y′＝(n＋1)xn，则在点(1,1)处切线的斜率k＝y′|x＝1＝n＋1，切线n方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0得，xn＝， n＋1∴log2010x1＋log2010x2＋…＋log2010x2009 ＝log2010(x1·x2·…·x2009) 12320091×××…×＝log2010234＝log201020102010＝－1，故选B. 9．(文)直线l过点(－2,0)，当l与圆x2＋y2＝2x有两个交点时，直线l的斜率k的取值范围是( ) A．(－22，22) C.－ B．(－2，2) B．－1 D．1 22 ，44 11D.－8，8 [答案] C [解析] 由题意得，圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，所以圆心为(1,0)，半径为1.当过点(－2,0)2 的直线l与圆相切时，可求得直线l的斜率k＝±4.所以直线l的斜率k的取值范围是22 －4，4.故选C. (理)(2010·汕头模拟)平行四边形ABCD的一条对角线固定在A(3，－1)，C(2，－3)两点，D点在直线3x－y＋1＝0上移动，则B点轨迹的方程为( ) A．3x－y－20＝0(x≠13) C．3x－y－9＝0(x≠－8) [答案] A B．3x－y－10＝0(x≠13) D．3x－y－12＝0(x≠－8) 5[解析] 线段AC的中点M2，－2，设B(x，y)，则B关于点M的对称点(5－x，－4－y)在 全国高考信息资源门户网站 www.gaokao.com 全国高考信息资源门户网站 www.gaokao.com 直线3x－y＋1＝0上，∴3(5－x)－(－4－y)＋1＝0，即3x－y－20＝0. ∵A、B、C、D不能共线，∴不能为它与直线AC的交点，即x≠13. 10．已知一动直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为p，直线l在两坐标轴上的截距之和为q，且p比q大1，则这个三角形面积的最小值为( ) A．4 B．2＋6 D．5＋26 C．4＋33 [答案] D xy11 [解析] 设直线l的方程为a＋b＝1(a>0，b>0)，则2ab＝a＋b＋1，∵a＋b≥2ab，∴2ab≥2ab＋1，即(ab)2－4ab－2≥0，解得ab≥2＋6， 11 ∴2ab≥2×(2＋6)2＝5＋26，当a＝b＝2＋6时，三角形面积的最小值为5＋26. 二、填空题 111．(2010·深圳中学)已知向量a＝(6,2)，b＝－4，2，直线l过点A(3，－1)，且与向量a ＋2b垂直，则直线l的一般方程为________． [答案] 2x－3y－9＝0 → [解析] a＋2b＝(－2,3)，设l上任一点P(x，y)，则AP＝(x－3，y＋1)，由条件知，(x－3，y＋1)·(－2,3)＝0，∴2x－3y－9＝0. x＋2y≤10 2x＋y≥3 12．(2010·浙江临安)设D是不等式组0≤x≤4 y≥1 所表示的平面区域，则区域D中的点P(x， y)到直线x＋y＝10的距离的最大值是________． [答案] 42 [解析] 画出不等式组所表示的平面区域D如图中阴影部分所示(包括边界)，显然直线y＝1与2x＋y＝3的交点(1,1)到直线x＋y＝10的距离最大，根据点到直线的距离公式可以求得最大值为42. 全国高考信息资源门户网站 www.gaokao.com 全国高考信息资源门户网站 www.gaokao.com 13．(2010·安徽怀宁中学月考)“直线ax＋2y＋1＝0和直线3x＋(a－1)y＋1＝0平行”的充要条件是“a＝____”． [答案] －2 a2[解析] 由条件知3＝，∴a2－a－6＝0，∴a＝－2或3，当a＝3时，两直线重合不合 a－1题意，∴a＝－2. y 14．(文)实数x、y满足3x－2y－5＝0 (1≤x≤3)，则x的最大值、最小值分别为________． 2 [答案] 3，－1 yy [解析] 设k＝x，则x表示线段AB：3x－2y－5＝0 (1≤x≤3)上的点与原点的连线的斜率．∵A(1，－1)，B(3,2)． 2 由图易知：kmax＝kOB＝3， kmin＝kOA＝－1. (理)(2010·河南许昌调研)如果f ′(x)是二次函数，且f ′(x)的图象开口向上，顶点坐标为(1，－3)，那么曲线y＝f(x)上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是________． π2π [答案] [0，2)∪(3，π) [解析] 由题意f ′(x)＝a(x－1)2－3， ∵a>0，∴f ′(x)≥－3，因此曲线y＝f(x)上任一点的切线斜率k＝tanα≥－3， π2π ∵倾斜角α∈[0，π)，∴0≤α<2或3<α<π. 三、解答题 15．(文)有一个装有进出水管的容器，每单位时间进出的水量各自都是一定的，设从某时刻开始10分钟内只进水、不出水，在随后的30分钟内既进水又出水，得到时间x(分)与水量 全国高考信息资源门户网站 www.gaokao.com 全国高考信息资源门户网站 www.gaokao.com y(升)之间的关系如图所示，若40分钟后只放水不进水，求y与x的函数关系． 20 [解析] 当0≤x≤10时，直线过点O(0,0)，A(10,20)，∴kOA＝10＝2， ∴此时直线方程为y＝2x； 当10 40－103 1 ∴此时的直线方程为y－20＝3(x－10)， 150即y＝3x＋3； 当x>40时，由题意知，直线的斜率就是相应放水的速度，设进水的速度为v1，放水的速度为v2，在OA段时是进水过程，∴v1＝2.在AB段是既进水又放水的过程，由物理知识可知，1 此时的速度为v1＋v2＝3， 15 ∴2＋v2＝3.∴v2＝－3. 5 ∴当x>40时，k＝－3. 又过点B(40,30)， 5290 ∴此时的直线方程为y＝－3x＋3. 令y＝0得，x＝58，此时到C(58,0)放水完毕． 1x＋50，10 5290－3x＋3，40 y＝2x，0≤x≤10 1(理)已知矩形ABCD的两条对角线交于点M2，0，AB边所在直线的方程为3x－4y－4＝0. (1)求AD所在直线的方程及矩形ABCD的外接圆C1的方程； 全国高考信息资源门户网站 www.gaokao.com 全国高考信息资源门户网站 www.gaokao.com 1(2)已知点E－2，0，点F是圆C1上的动点，线段EF的垂直平分线交FM于点P，求动点 P的轨迹方程． [解析] (1)∵AB所在直线的方程为3x－4y－4＝0，且AD与AB垂直， 4 ∴直线AD的斜率为－3. 又点N在直线AD上， 14 ∴直线AD的方程为y－3＝－3(x＋1)， 即4x＋3y＋3＝0. 3x－4y－4＝0由，解得点A的坐标为(0，－1)． 4x＋3y＋3＝0 又两条对角线交于点M， ∴M为矩形ABCD的外接圆的圆心． 而|MA|＝ 0－12＋－1－02＝5， 22 51∴外接圆的方程为x－22＋y2＝4. 5 (2)由题意得，|PE|＋|PM|＝|PF|＋|PM|＝|FM|＝2，又|FM|>|EM|， 5x2y2 ∴P的轨迹是以E、M为焦点，长半轴长为4的椭圆，设方程为a2＋b2＝1(a>b>0)， 15511∵c＝2，a＝4，∴b2＝a2－c2＝16－4＝16. x2y2 故动点P的轨迹方程是5＋1＝1. 1616 2 16．已知直线l1过点A(－1,0)，且斜率为k，直线l2过点B(1,0)，且斜率为－k，其中k≠0，又直线l1与l2交于点M. (1)求动点M的轨迹方程； 1(2)若过点N2，1的直线l交动点M的轨迹于C、D两点，且N为线段CD的中点，求直线 l的方程． [解析] (1)设M(x，y)，∵点M为l1与l2的交点， 全国高考信息资源门户网站 www.gaokao.com 全国高考信息资源门户网站 www.gaokao.com yx＋1＝k∴y2 ＝－x－1k (k≠0)， y2 消去k得，＝－2， x2－1 ∴点M的轨迹方程为2x2＋y2＝2(x≠±1)． (2)由(1)知M的轨迹方程为 2x2＋y2＝2(x≠±1)， 设C(x1，y1)，D(x2，y2)， 则2x12＋y12＝2① 2x22＋y22＝2② ①－②得2(x1－x2)(x1＋x2)＋(y1－y2)(y1＋y2)＝0， y1－y2x1＋x2即＝－2×， x1－x2y1＋y21∵N2，1为CD的中点， 有x1＋x2＝1，y1＋y2＝2， 1 ∴直线l的斜率k＝－2×2＝－1， 1∴直线l的方程为y－1＝－x－2， 整理得2x＋2y－3＝0. 17．如图，在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A(33，2)的入射光线l1被直线l：3 y＝3x反射，反射光线l2交y轴于B点，圆C过点A且与l1、l2都相切，求l2所在直线的方程和圆C的方程． [解析] 直线l1：y＝2，设l1交l于点D，则D(23，2)． ∵l的倾斜角为30°.∴l2的倾斜角为60°.∴k2＝3. ∴反射光线l2所在的直线方程为y－2＝3(x－23)，即3x－y－4＝0. 全国高考信息资源门户网站 www.gaokao.com 全国高考信息资源门户网站 www.gaokao.com 已知圆C与l1切于点A，设C(a，b)． ∵⊙C与l1、l2都相切， ∴圆心C在过点D且与l垂直的直线上， ∴b＝－3a＋8① 圆心C在过点A且与l1垂直的直线上， ∴a＝33② a＝33 由①②得，圆C的半径r＝3， b＝－1 故所求圆C的方程为(x－33)2＋(y＋1)2＝9. 全国高考信息资源门户网站 www.gaokao.com 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容