2009年上海高考数学试题及答案(理科)

2009年全国普通高等学校招生统一考试

上海 数学试卷（理工农医类）

考生注意：

1． 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上

条形码.

2． 本试卷共有23道试题，满分150分 .考试时间20分钟 .

一．填空题 （本大题满分56分）本大题有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分

1． 若复数 z 满足z (1+i) =1-i (i是虚数单位)，则其共轭复数z=__________________ .

Bx|xa，2． 已知集合Ax|x1，且ABR，

则实数a的取值范围是______________________ .

4 5 x3． 若行列式1 x 3中，元素4的代数余子式大于0，则x

7 8 9满足的条件是________________________ .

4．某算法的程序框如右图所示，则输出量y与输入量x满足

的关系式是____________________________ .

5．如图，若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的大小是______________（结果用反三角函数表示）.

6．函数y2cosxsin2x的最小值是_____________________ .

7．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量表

示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E=____________（结果用最简分数表示）. 8. 已知三个球的半径R1，R2，R3满足R12R23R3，则它们的表面积S1，S2，S3，

满足的等量关系是___________.

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x2y29. 已知F1、F2是椭圆C:221（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，

ab且PF1PF2.若PF1F2的面积为9，则b=____________. 10. 在极坐标系中，由三条直线0，________.

11.当0x1时，不等式sin3，cossin1围成图形的面积是

x2kx成立，则实数k的取值范围是_______________.

，，且公2212．已知函数f(x)sinxtanx.项数为27的等差数列an满足an差d0.若f(a1)f(a2)f(a27)0，则当k=___________时，f(ak)0. 13. 某地街道呈现东—西、南—北向的网格状，相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点。

若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（3，1），（3，4），（-2，3），（4，5），（6，6）为报刊零售点.请确定一个格点（除零售点外）____为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短 14. 将函数y46xx22(x0，6)的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角

(0)，得到曲线C.若对于每一个旋转角，曲线C都是一个函数的图像，

则的最大值为__________

二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分。 15. 是“实系数一元二次方程xax10有虚根”的 “2a2”（A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 16. 若事件E与F相互，且PEPF21，则PEIF的值等于 4111（A）0 （B） （C） （D）

12染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”。根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是

17. 在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规模群体感

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（A）甲地：总体均值为3，中位数为4 （B）乙地：总体均值为1，总体方差大于0 （C）丙地：中位数为2，众数为3 （D）丁地：总体均值为2，总体方差为3

(x1)(y1)1的圆心，作直线分别交x、y正半轴于18. 过圆C：点A、B，AOB被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足SISIVSIISIII，则直线AB有（ ）

（A） 0条 （B） 1条 （C） 2条 （D） 3条

三．解答题（本大题满分78分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤 19. （本题满分14分）

22如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1BCAB2,

ABBC,求二面角B1AC1C1的大小。

20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。

有时可用函数

a0.115ln,(x6)axf(x)

x4.4,　　　　(x6)x4描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数（xN），f(x)表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关。

（1）证明：当x7时，掌握程度的增长量f(x1)f(x)总是下降；

（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为（115，121], (121,127], (127,133]。当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科。

21．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分。

*第3页

vx22已知双曲线c:y1,设过点A(32,0)的直线l的方向向量e(1,k)

2（1）当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离； （2）证明：当k>

22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。

已知函数yf1(x)是yf(x)的反函数。定义：若对给定的实数a(a0)，函数；若函数yf(xa)与yf1(xa)互为反函数，则称yf(x)满足“a和性质”。 yf(ax)与yf1(ax)互为反函数，则称yf(x)满足“a积性质”（1） 判断函数g(x)x1(x0)是否满足“1和性质”，并说明理由； （2） 求所有满足“2和性质”的一次函数；

（3） 设函数yf(x)(x0)对任何a0，满足“a积性质”。求yf(x)的表达式。

23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。

已知an是公差为d的等差数列，bn是公比为q的等比数列。 （1） 若an3n1，是否存在m、kN*，有amam1ak?说明理由； （2） 找出所有数列an和bn，使对一切nN*,

22时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为6。 2an1bn,并说明理由； an（3） 若a15,d4,b1q3,试确定所有的p，使数列an中存在某个连续p项的和

是数列bn中的一项，请证明。

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2009年全国普通高等学校招生统一考试 上海数学试卷（理工农医类）答案要点及评分标准

说明

1. 本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评

分标准的精神进行评分。

2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，

当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。 解答

一、（第一题至第14题）

2x,x181. i 2. a1 3. x 4. y

3x2,x15 arctan5 6. 1-2 7.

4 8. s12s23s3 79. 3 10.

33 11. k1 12. 14 413. 3,3 14. arctan二．（第15题至第18题）

题号 代号

15 A 2 316 B 17 D 18 B 三. （第19题至第23题） 19.解：

如图，建立空间直角坐标系。

则 A2,0,0，C0,2,0，A12,0,2， B10,0,2，C10,2,2， „„ 2分 设AC的中点为M，BMAC，BMCC1，

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 BM平面AC11C，即BM=（1，1，0）是平面AC11C的一个法向量。„„5分

设平面A1B1C的一个法向量是n=x,y,z，

AC=2,2,2，A1B1=2,0,0， „„ 7分 1nA1B1=2x=0，nAC=2x2y2z0，令z1，解得x0,y1。 1n=0,1,1， „„ 10分 设法向量n与BM的夹角为，二面角B1AC 1C1的大小为，显然为锐角。

nBM1coscos，解得=

3n|BM2∴二面角B1AC1C1的大小为

20. 证明：

（1）当x7时，f(x1)f(x) „„ 14分 30.4

(x3)(x4)而当x7时，函数y=(x3)(x4)单调递增，且(x3)(x4)0 „„3分 故f(x1)f(x)单调递减。

所以，当x7，掌握程度的增长量f(x1)f(x)总是下降 „„6分 解：

（2）由题意可知0.115ln整理得

a0.85 „„9分 a6ae0.05 „„13分 a6e0.05620.506123.0,　　123.0121,127 „„14分 解得a0.05e1由此可知，该学科是乙学科 21.解：

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（1）双曲线C的渐近线m:xy0，即x2y0 „„ 2分 2直线l的方程x2y320 „„ 6分

直线l与m的距离d（2）证法一：

326 „„ 8分 12设过原点且平行于l的直线b:kxy0,

则直线l与b的距离d32k1k2，

当k2时，d6。 „„ 12分 2又双曲线C的渐近线为x2y0，

双曲线C的右支在直线b的右下方， 双曲线C右支上的任意点到直线l的距离大于6。

故在双曲线C的右支上不存在点Q(x0,y0)到到直线l的距离为6 „„ 16分 证法二：假设双曲线C右支上存在点Q(x0,y0)到直线l的距离为6，

kx0y032k6　　　(1)2则  1k22(2)x02y02　　　　　　2由（1）得y0kx032k61k， „„ 11分

设t32k61k 当k222时，t32k61k0： 22t32k61k62k213k1k22220 „„ 13分

2将y0kx0t代入（2）得(12k)x04tkx02(t1)0， （*）

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k2，t0 212k20,4kt0,2(t21)0.

∴方程（*）不存在正根，即假设不成立，

故在双曲线C的右支上不存在点Q(x0,y0)到直线l的距离为6 „„ 16分

22.解：（1）函数g(x)x1(x0)的反函数是g(x)21x1(x1)，

g1(x1)x(x0)，

2而g(x1)(x1)1(x1) ，其反函数为 y2x11(x1)

故函数g(x)x1(x0)不满足“1和性质” „„ 4分 （2）设函数f(x)kxb(xR)满足“2和性质”，k0。

f1(x)xb(xR,f1(x2)x2b „„ 6分

kk而f(x2)k(x2)b(xR)，得反函数y由“2和性质”定义可知

xb2k， „„ 8分 kk2bxb2k对(xR)恒成立。 ＝kkk1,bR即所求一次函数f(x)xb(bR）. „„10分

（3）设a0,x00,且点(x0,y0)在yf(ax)图像上，

则(y0,x0)在函数yf故1(ax)图像上，

f(ax0)y0 可得ay0f(x0)af(ax0)， „„12分

f1(ay0)x0令ax0x,则axf(x0)xxf(x),即f(x)0，f(x0). „„14分

x0x0x综上所述，f(x)（k0),此时f(ax)而f23． 解：

1kxkk， ,其反函数是yaxax(ax)k,故yf(ax)与yf1(ax)互为反函数。 „„16分 ax第8页

（1）由amam1ak,得6m53k1， „„2分

整理后，可得k2m4，m、kN*，k2m为整数， 3不存在m、kN*，使等式成立。 „„5分

（2）解法一：若

an1a1ndbn,即b1qn1， （*） ana1(n1)dn1（ⅰ）若d0,则1b1qbn，

当an为非零常数列，bn为恒等于1的常数列，满足要求。 „„7分 （ⅱ）若d0，（*）式等号左边取极限得lima1nd1,（*）式等号右边的

na(n1)d1极限只有当q1时，才可能等于1，此时等号左边是常数，∴d0，矛盾。

综上所述，只有当an为非零常数列，bn为恒等于1的常数列，满足要求。

„„10分

解法二：设anndc，若

an1bn，对n都成立，且bn为等比数列， an则

an2an12/q，对n都成立，即anan2qan1， an1an(dnc)(dn2dc)q(dndc)2，对n都成立， d2qd2 „„7分

（ⅰ）若d0,则anc0，bn1,n。

（ⅱ）若d0，则q1,bnm（常数），即

dndcm，则d0，矛盾

dncan1bn „„10分 an综上所述，有anc0，bn1，使对一切n，

（3）an4n1,bn3,nN，

设am1am2ampbk3,p、kN,m

k*n*第9页

4(m1)14(mp)1p3k，

23k4m2p3＝，p、kN*，p3s,sN „„13分

p取k3s2,4m32S22S+22S3（4-1）2S30，„„15分

2S+2（4-1）=4M1+1， 由二项展开式可得正整数M1、M2，使得

S2（4-1）8M2(1)S2

4m4(M12M2)((1)S1)2,存在整数m满足要求。

故当且仅当p3,sN，命题成立。 „„18分 说明：第（3）题若学生从以下角度解题，可分别得部分分（即分步得分）

若p为偶数，则am1am2amp为偶数，但3为奇数。

故此等式不成立，p一定为奇数。 „„1分 当p1时，则am1bk,即4m53， 而3(41)

0k1k1kck4kc1(1)ck4(1)k1ck(1)k4M(1)k,M k4kskkk当k为偶数时，存在m，使4m53成立， „„1分 当p3时，则am1am2am3bk,即3am2bk， 也即3(4m9)3，4m93kk1k,4(m1)53k1，

k由已证可知，当k1为偶数即k为奇数时，存在m，4m93成立，„„2分 当p5时，则am1am2am5bk,即5am3bk，

也即5(4m13)3，而3不是5的倍数，当p5时,所要求的m不存在，

kk故不是所有奇数都成立。 „„2分

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