第 1 章 线性空间和线性变换（详解）
1-1 证：用 Eii 表示 n 阶矩阵中除第 i 行，第 i
列的元素为 1 外，其余元素全为 0 的矩阵 . 用
Eij (i
j , i 1,2, , n 1) 表示 n 阶矩阵中除第 i 行，第 j 列元素与第 j 行第 i 列元素为
0的矩阵.
1 外，其余元素全为
显然， Eii ，E ij 都是对称矩阵， Eii 有 n( n
1)
个.不难证明 Eii ， E ij 是线性无关的，
2
且任何一个对称矩阵都可用这
n+ n( n 1) = n( n
1)
个矩阵线性表示，此即对称矩阵组成
n(n 1)
2
2
维线性空间 .
2
同样可证所有 n 阶反对称矩阵组成的线性空间的维数为
n(n 1)
.
评注 : 欲证一个集合在加法与数乘两种运算下是一个
n(n 1)
n(n
2
1)
2
维线性空间，只需找出
个向量线性无关， 并且集合中任何一个向量都可以用这
n(n 1)
2
个向量线性表示即
2
可.
1-2 解: 令x1 1 x2 2 解出 x1 , x2 , x3, x4 即可 . 1-3 解：方法一 设A
x
3 3
x
4 4
x1E1 x2E 2
x3E3 x4E 4
即
1 2 0 3
1 1 1 1 1 1 1 0
x
1
1 1
x2 1 0
x3 0 0
x4 00
故
1 2 0
于是
x1 x2 x3 x4
x1 x2
x3
3 x1 x2
x1
x1 x2
x3 x4 1, x1 x2 x1 x2 0, x1
x3 2
3
解之得
x1 3, x23, x3
即 A 在 E1, E2 , E3, E4 下的坐标为 (3, 3,2,
2, x4 1)T .
1
1
方法二 应用同构的概念，
R2 2 是一个四维空间，并且可将矩阵 A 看做 (1,2,0,3) T ，
E1 ,E2 , E3, E4 可看做 (1,1,1,1)T ,(1,1,1,0) T ,(1,1,0,0) T ,(1,0,0,0) T . 于是有
1 1 1 1 1 1
0 0
0 3 1 1 1 0 2 0 1 0 0 3 1 1 0 0 0 0 0 1 0 2 1
0 0 0 3
0 0 0 1 1
因此 A 在 E1 ,E2 , E3, E4 下的坐标为 (3,
3,2, 1)T .
解：证：设 k1 1
k2
2
k3
3
k4
4
0
即
1 1
1 1
1 1
1 0
k 1 1 1
k
2
0 1 k
3
1 0 k
4 1 1
k1 k2 k3 k4
k1 k2
k3
kk 4
k k 0 1 k3
k1
2
4
于是
k1 k2 k3 k4 0,k1 k2 k3
0
k1
k3 k4 0, k1 k2 k4 0
解之得
k1 k2
k3 k4 0
故 α,α, α, α 线性无关 .
1
2
3
4
设
a b x1 1
x 1 1
1 1 1
2
x3
c d
1 1
0 1 1 0
x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3
x1 x3 x4
x1 x2 x4
于是
x1 x2 x3 x4
0, x1 x2 x3 0
x1 x3 x4
0, x1 x2 x4
0
解之得
x1 b c d 2a, x2 a
c
2
x1 04
1 1
1-4
x3 a
d , x4 a b
x1, x2 , x3 , x4 即为所求坐标 .
1-5 解： 方法一 （用线性空间理论计算）
1
p( x) 1 2x
3
1,x, x , x
23
0
0
2
y1
1,x 1,( x 1) ,( x
2
32
y1)
y3 y4
又由于
1,x 1,( x 1)2 ,( x 1)3
1
31 1 1
2
0 1 0 0
1 3 3 1
1,x, x , x
20
0 0
于是 p( x) 在基 1, x
1,( x 1)2 ,( x 1)3 下的坐标为
y1 y2 y3 y4
1 0 0 0
1 1 0 0
1 2 1 0
1 3 3 1
1
1 0 0 2
3 6 6 2
方法二 将 p(x) 1
2x3 根据幂级数公式按 x 1 展开可得 p( x) 1 2x3
p(1) p (1)(x 1) p (1) (x 1)2 p (1)( x 1)3
2! 3!
3 6(x 1) 6(x 1)2 2(x 1)3
T
因此 p( x) 在基 1, x
1,( x 1)2 ,( x 1)3 下的坐标为 3,6,6, 2 .
评注 ：按照向量坐标定义计算，第二种方法比第一种方法更简单一些
1-6 解：①设
.
β1,β2, β3, β4 α1, α2,α3 ,α4 P
3
将 α1,α2 ,α3, α4 与 β1, β2, β3,β4 代入上式得
2 0 5 6 1 0 0 1 1 3 3 6 1 1 0 0
P
1 1 2 1 0 1 1 0 1 0
1 3
0
0 1 1
故过渡矩阵
1
1 0 0 1 2 0 5 6 P
1 1 0 0 1 3 3 6
0
1 1
0 1 1 2 1
0 0 1 1 1
0 1 3
1
1 2
2
2
2
3
5 4
2 1 2
1
9
5
2 1 2
3
11
8
2 2
2
②设
1
y1
ξ
0 β β β β
1 ( 1, 2, 3 , 4 )
y2
y3
0
y4
将 β1, β2, β3, β4 坐标代入上式后整理得
7
1
9 y1 2 0 5 6 1 8 y2 1 3 3 6 0 27 y3 1 1 2 1 1 1 y4
1
0
1 3
0
3 2
27
评注 ：只需将
i
β1,β2 ,β3, β41,
, β代入过渡矩阵的定义
P .
4
,,
234
P
α α α α 计算出
1-7 解：因为
span{ α1, α2} span{ β1,β2} span{ α1, α2, β1,β2}
由于秩 span{ α1,α2 , β1, β2} 3 ，且 α1, α2, β1是向量 α1, α2, β1,β2 的一个极大线性 无关组，所以和空间的维数是
设
方法一
3，基为 α1, α2 ,β1.
ξ span{α1,α2} span{ β1, β2} ，于是由交空间定义可知
1 2 1 0
k2
k1
1 1 1 1
k3
2 1 0 1
k4
1 1 3 7
0
解之得
k1
于是
l2 , k2 4l2 ,l1
3l2 (l2 为任意数 )
ξ k1α1
所以交空间的维数为 1，基为 [ 方法二 不难知
k2α2
l 2[ 5,2,3,4] T ( 很显然 ξ l1 1 l2 2 )
5,2,3,4] T .
span{ α1,α2} span{ α1,α2}, span{ β1,β2} span{ β1, β2}
其中 α
2
[ 2, 2,0,1]
T
, β [
2
133 x1
,2,1,0] T . 又
span{ α1,α2 }
也是线性方程组
x3 2x4
x4
x2 2x3
的解空间 . span{ β1,β2} 是线性方程组
x1 x2
13
3 2x3 x4
x3 2x4
的解空间，所以所求的交空间就是线性方程组
5
x1 x2 x1 x2
x3 2x4
133
2x3 x4
x3 2x4
2x3
x4
的解空间，容易求出其基础解系为
[ 5,2,3,4] T ，所以交空间的维数为
1，基为
[ 5,2,3,4] T .
评注：本题有几个知识点是很重要的.
(1)span{ α1,α2 , , αn} 的 基 底 就 是
α1, α2, , αn { α1,α2 ,
的极大线性无关组. 维数等于秩
,αn} . (2) span{α1, α2} span{ β1, β2} span{ α1,α2 , β1, β2} . (3) 方法
一的思路，求交
span{ α,α} span{ β, β} 就是求向量 ，既可由 α, α 线性表
12
1 2
ξ
1 2
示，又可由 β, β线性表示的那部分向量 . (4) 方法二是借用“两个齐次线性方程
1 2
组解空间的交空间就是联立方程组的解空间” 程组来求解 .
，将本题已知条件改造为齐次线性方
1-8 解:
(1):解出方程组 （Ⅰ）
x1 2x2 x3 x4
0
的基础解系 ,即是 V1 的基 ,
5x1 10x2 6x3 4 x4 0
解出方程组 （Ⅱ） x1
x2 x3 2 x4 0 的基础解系 ,即是 V2 的基 ;
2x2 x3
x3
x4 0 2x4 0
x1
(2): 解出方程组
5x1 10 x2 6x3 4 x4 x1 x2
0 的基础解系 ,即为 V1
V2的基 ;
(3): 设 V1 span 是V1 V2 的基 . 1-9 解 : 仿上题解 .
1
,
,
k
,V2 span
1
,, l ,则
1
,
, k ,
1
,
, l 的极大无关组即
1-10 解 : 仿上题解 . 1-11 证：设
l 0ξ l1A (ξ) l2A
2
(ξ)
6
lk 1A
k 1
(ξ) 0
①
用 A k 1 从左侧成 ① 式两端，由 A k (ξ) 0 可得
l0A k 1 (ξ) 0
因为 A k 1 (ξ) 0 ，所以 l0
0，代入 ①可得
l1A (ξ) l 2A 2 (ξ)
用
k 2
l k 1A k 1 (ξ) 0
k
0
②
0，继续下去，可得
从左侧乘②式两端，由A
ξ
可 得 l
A
( ) 0
l 2
1-12
lk 1 0 ，于是 ξ,A (ξ), A 2 (ξ), ,A k 1(ξ) 线性无关 .
1-11
解：由
0,A ( ),A
可知， n 个向量 ξ ξ
2
(ξ),
2
,A
(ξ)
n 1
线性无关，它是 V 的
一个基 . 又由
A [,A
ξ
[A (ξ),A (ξ), [A (ξ),A
( ),A 2
2ξ
( ),
ξ
,A
n 1
n 1
( )]
ξ
,A ,
n 1
(ξ)]
(ξ),
2
A
(ξ),0]
0 1
0 0
0 0 0
0 0 0
ξξ
[,A (),A
ξ ( ),
n 1
ξ 0 1
( )]
,A
0 0
0 0
0 1
0 0 n n
所以 A
在
2 (ξ), , (ξ),
ξA A
,
A
n 1
(ξ)下矩阵表示为 n 阶矩阵
0 0 1 0 0 1 0 0 0 0
1n
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0
评注 ： 维线性空间 V 中任何一组 因此 ξ,
n
个线性无关的向量组都可以构成
V 的一个基，
(ξ), A A , r , , r ,
2
(ξ), ,
A
n
(ξ)是 V 的一个基 .
1-13 证: 设 1, 设 1 , , r 是 1,
, s
1 , , m A, A1, , r , , s
, s的极大无关组，
7
(2) 由于
则可以证明,
,
1
, r 是 1, , r
,
s的极大无关组 .
1-14 解： (1) 由题意知
A [α1, α2,α3 ] [ α1,α2 ,α3] A
1 1 1
[β, β, β] [ α,α , α ] 0 1 1
1 2
3
1 2
3
0 0 1
设 A
在基 β1, β2, β3下的矩阵表示是 B ，则
1
1 1 1 1 2 3 1 1 1
BP1AP 01 1
1 0 3 0 1 1
0 0 1 2 1 5 0 0 1
2 4 4 3 4 6
2
3
8
A
0 ，故 AX 0 只有零解，所以 A
的核是零空间 . 由维数定理可知
A 的值域是线性空间 R3 .
1-15 解 :已知 A,,
123
1,2,3
A
(1) 求得式 ,,
2 , 3 P中的过渡矩
1 , 2 3 1 阵 P,则B
P 1AP即为所求 ; (2) 仿教材例 1.5.1.(见<矩阵分析 >史荣昌编著 .北京理工大学出版社 .)
1-16 解 : 设 A
1 , 2 , 3 , 则 R( A)
span
1 , 2 , 3 ; N ( A) 就是齐次方程组 Ax
0
的解空间 . 1-17 证 :
由矩阵的乘法定义知
AB与 BA 的主对角线上元素相等 , 故知 AB与 BA 的迹相等 ; 再由 1-18题可证 .
1-18 证 :
对 k 用数学归纳法证。 1-19 证：设 A
,则A2
2
,即 = 2 ,即 =1或-1。
1-20 证：设 A
,则A2
2
,即A = 2 ,即 =1或0 。
8
1-21 解：设 A
,其中 0，则 A
-1
1
。
1-22证：设 B
P 1AP,则
E-B
E-P 1AP = P 1
E A P E A。
1-23 解：仿线性代数教材例题。 1-24 证：若
k1
1 0 0 0
k2
0 1 0 0
k3
0 0 1 0
k4
0 0 0 1
0
即
k1 k2 k3 k4
0
所以
k1 k2 k3 k4 0
因此满足
k1E11 k2E12 k3E 21 k4 E22
E ,E ,E ,E
11
12
21
22
0
的 k , k , k , k 只能全为零，于是
1 2
3 4
线性无关 .
1-25 证：容易验证等式
α
所以
α
2
α = 0
3
ααα
1
2
1
, , 线性相关 .
3
1-26 证：先证： R x n 中的元素
1,x, x2 , , xn 1
是线性无关的 . 设
k0 1 k1 x k2 x2 kn 1 xn 1
0
由于 R x n 中 x 是变量，所以欲使上式对于任何
x 都成立的充分必要条件是
k0 k1
于是 1,x, x2 ,
kn 1 0
, xn 1 线性无关 .
对于 R x n 中任何一个向量（多项式）
9
f ( x) a0 , xn
a1x a2 x2
an 1 xn 1 R x n
均可由 1,x, x2 ,
1
线性表出， 这表明： 1,x, x2 , , xn 1 是 R x n 的基，于是 R x n
是 n 维的 .
不难验证： 1, x
a,( x a) 2 , ,( x a) n 1 也是 R x n 的一组基 . 因为
f (a)( x a)
f ( x) f (a)
f (a) (x a)2 2!
f
(n
1) (a) ( x a)n 1
(n 1)!
故 f (x) 在这组基下的坐标为
f ( a), f (a),
f
(a) , 2!
, f (n 1) (a)
(n 1)!
1-27 解： A 的核空间就是 A x
0 的解空间， 所以 A x 0 的基础解系就是核空间的基
. 对 A
作初等行变换后得
A
1 1
0 2 2
2 1 5
1 3 5 2
1 2
1 0 2 1 0 1 3 2
2
0 0 0 0 0 0 0
2 1
0
因此 A x
0 的解为
x1
2x3 x4 3
2 x3 2x4
x2
其中 x3 , x4 为自由变量 . 不难知 A x
0 的基础解系可以取为
α
1 2
( 4, 3,2,0) T
α
T
或
α1 ( 4, 3,2,0) T α2 ( 6, 7,2,2)
T
( 1, 2,0,1)
它们都可以作为 A 的核空间的基，核空间是二维的 .
T
解：设 α (1,2,1,1) 在所给基 α1, α2, α3 , α4 下的坐标为 k1, k2 ,k3, k4 ，故 1-28
α k1α1
k2α2 k3α3+k4α4
即
(1,2,1,1)T k1 (1,1,1,1)T k2 (1,1, 1, 1)T k3 (1, 1,1, 1)T k4 (1, 1, 1,1)T
10
(k1 k2 k3 k4 ,k1 k2 k3 k4 , k1 k2 k3 k4 , k1 k2 k3 k4 )
于是有
k1 k2 k1 k2 k1 k2 k1 k2
k3 k4 k3 k4 k3 k4 k3 k4
1 2 1 1
解之得
k1
α
5 , k2
1
4
, k3
1
, k4
4
所以 在所给基
4
1 4
( ,
,
T
.
α1 ,α2 , α3 , α4 下的坐标为 5 1 1 ,
1
)
4 4
4
4
1-29 解：设
1 2 1 0
k1
1 1
1 1
k2
1 1 1 0
k3
1 1
k4
1 0
0 1
1 1
k1 k2 k3 k4 k1 k2 k3 k1 k2 k4
k1 k3 k4
于是有
k1 k2 k1 k2 k1 k2 k1
k3 k4 1 k3
2
k4
1 0
k3 k4
解之得
k1 1, k2 1, k3 0, k4
所以 A 在已给基下的坐标为
1
(1,1,0, 1)T .
1-30 解：因为
x a ( a) 1 1 x
( x a) 2 ( a)2 1 2a x 1 x2 ( x a) 3 ( a) 3 1 3a2 x 3a x2
x3
( x a) n 1 ( a) n 1 1 ( n 1)( a) n 2 x (n 1)(n 2) ( a) n 3 x2
2
xn 1
故由 1,x, x2 , , xn 1 到 1, x a,( x a) 2 , ,( x a)n 1 的过渡矩阵为
11
1 0 0
a ( a) 2 1 2( a) 0
( a)3 3( a) 2 3( a)
( a) n 1 (n 1)( a)n
2
1
(n 1)(n 2) ( a)n 3
2
1
0 0 0 0
1-31 解：将矩阵
α1, α2, α3, α4 β1, β2,β3, β4 作初等行变换得
α1, α2, α3 ,α4 β1,β2,β3, β4 1 2 1
1 1 1 1
1 2 1 0 1 1
2
1 2 1 1
0 1
4
0 2 1
3 1 2
2
3
4
1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0
1 1 2 1 2 2
1
0
上式表明由基
α,α , α , α
1
3
到基
β,β, β, β的关系为（为什么？） 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0
(β,β ,β, β)
1
2
3
4
(α,α, α, α)
1
2
3
4
所以由
α1, α2 ,α3 ,α4 到 β1,β2 ,β3 ,β4的过渡矩阵为
1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0
设
x , x , x , x
ξ= (
1 23 4
)T 在
β β β β 下的坐标为 y , y
1 , 2 , 3 , 4
, y , y ，即
12
3
4
ξ (ε, ε,
1
2
ε, ε)
x1
x2 x3 x4
(β, β ,β , β)
1
2
y1
y2
3
34
4
y3 y4
其中 ε1
(1,0,0,0) T , ε2 (0,1,0,0) T , ε3 (0,0,1,0) T , ε4 (0,0,0,1) T 则
12
x1 ε )
4
1
2
(β,β ,β , β )
3
4
2 0 1
ξ (ε, ε,ε,
1
x2 x3 x4
1
2 1 y1 1 3 y2
2
3
1
0 1
2 2
1 2
1 y3 2 y4
于是
y1 y2 y3
2 1 0 1 4 13 2 13 3
0 1 2 2
2 1 1 3 1 1 2 2 6 13 3 13 2 13 8 13
x1
x2 x3 x4 8 13 9 13 7 13 2 13
y4
11 13 1 13 8 13 6 13
x1 x2 x3 x4
4 x 6 x 8 x 11 x 13 1 13 2 13 3 13 4 2 3 9 1
13 1
13
13 x1 13 x2 13 x3 13 x4 3 2 7 8
x2 x3 x4 x1
13 13 13 13
1
x1
8
x2
2
x3
6
x4
13 13 13 13
1-32 解： (1) 由定理知
V V
1
1
2
2
span{ α,α ,β, β}
1
2
1
2
α, α, β 是 向 量 组 α, α ,β β, 的 极 大 无 关 组 ， 故 它 是 V V 的 基 ，
1
1
2
1
2
1
2
dim(V1 V2 ) 3 .
(2) 设 α V1
V2 ，即 α V1 且 α V2 ，于是 α k1α1 k2 α2 k3β1 k4 β2
将 α1,α2, β1,β2 的坐标代入上式，解之得
于是
k1 0, k2 5 k 4 , k3
3
2
k4
3
α k1α1 k2 α2
所以 V1
V2的基为 ( ,,
3 3
55
k4 ( , , 5, )
3 3 3
555T5, ) ，维数为 1. 3
13
5T
又解交空间
V V 的向量实质上就是求在 V 中向量 k β k β 也能由 α, α 线
1
2
2
1 1
2 2
1
2
性表示的这部分向量，即确定
秩
k1 , k2 使得
(α1, α2,k1β1, k2β2) 秩 (α1, α2)
此即
2 1 4k1 k2
1 1 5k1 5k2
1 1 5k1 5k2 0 1 2k1 3k2 3 3 3k1 3k2 0 0 3k1 2k2 1
1
k1 k2
0
0 0
于是
3k0, k21 2k2
1
k2
3
代入
2
β
β β
k1 1
kβ
2 2
k2 ( 2 )
3
1
k2 ( 5, 5, 5,5)T
5
3 3 3
所以 V1
V2 的基为 ( 5,5,
5, )T ， dim(V1
V2) 1.
3 3
3
1-33 解：方程组（Ⅰ） 与（Ⅱ） 的交空间就是这两个方程组的所有公共解所构成的空间，
即方程组
x1 x2
3x4
x5 0 x1 x2 2x3 4x4
0 4x1 2x2 6x3 3x4 4x5 0
2x1 4x2 2x3 4x4 7 x5
0
的解空间 . 容易求得该方程组的基础解系为 ( 1,1,1,0,0) T ,(12,0, 5,2,6) T ，它就是所求 V1 V2 的基， dim(V1
V2) 2.
1-34 解： (1) 不难看出 α1, α2 是线性齐次方程组 （Ⅰ）
x3 2x1 x2 x（Ⅰ）4
x
2
的基础解系，方程组 （Ⅰ） 的解空间为 V . 而 β,β 是线性齐次方程组 （Ⅱ）
1
1 2
14
此
x2 2x1 3x4
x3
的基础解系，方程组 （Ⅱ） 的解空间为 V2 . 交空间 V1
3x4
（Ⅱ）
V2 实质上是 （Ⅰ）与（Ⅱ）公共解的空间，即方程组
x3 2x1 x2
x4
x2 3x4
（Ⅲ）
x2 2x1 3x4
x3
的解空间 . 不难求得方程组 （Ⅲ） 的基础解系为 ( 维数为 1.
1, 1, 3,1)T ，此即 V1 V2 的基，
(2)
V1 V2 span{ α1, α2, β1, β2} span{α1, α2, β1}
span{α1,α2, β2} span{ α2, β1,β2}
所以 dim(V
V ) 3 ，基为 α, α,β.
2
1
2
1
1
1-35 解： A (α) (1,1,0) T
1
1
β β, A ( α) (2,1,1) T
2
2
2 β β β于是所求矩阵为
1
2
3
1 2
A
1 1 0 132
1-36 解： D(1)
求矩阵为
0 ， D
(x) 1 ， D
( x2 ) 2x ，
， D
( xn ) nxn 1 ，于是所
0
D
0
1 0
0 2
0 0
0 0 0
nd
n ( n 1 )
注 对于线性映射 D
： R[ x] n 1 R[ x]n
f ( x)
D ( f ( x))
dx
在基 1, x, x2 , , xn 与基 1,x, x2 , , xn 1 下的矩阵表示为
15
0 1 0
0 0 n 0
( n 1) (n 1)
0 0 2
D
0 0 0
0 0 0
1-37 解：
1-38 解：S(1)x
x
dt
x, S( x)
tdt
1 x2 ,
0
0
2
S( x2
) x 2t dt
1
x
3
,
,
0 3
S( xn 1 ) x 1
tn
dt1x n
0
n
于是所求矩阵为
0 0 0
1 0 0
0
1 S
20
0 01
n ( n 1) n
(1) 核子空间就是求
X
R3 满足 A (x)
0 ，由于 X
R3 .故x1 X
(α ,1
α α2,
3 )x 2
x3
于是
x1 x1
A ( x) A (α, 1
α , 2
α)
3
x
2
(β,1β
) A2
x
2
x3
x3
所以所求 X 的坐标 x1, x2 , x 3
应是齐次方程组
1 1x1
1
0 1
2
x
2 0
x
3的解空间，求的它的基础解系为
16
x1 3, x2
的基是2, x3 1
x1α1 x2α2
T 2,1)
因此核子空间 N (A )
x3 α3 3α1 2α2 α3 ( 5,4,4) T ,
dim N (A ) 1 .
注： N(A
α α . 为什么？
的基是
) 的基不是
(3,
. 而是 α
3 1
2 2
3
N(A)
(3, 2,1)T .
(2) A
的值域
R(A ) span{ A (
span{ 1
α
, 1
β β β
1
), A
2
,
β
1
(
α
2
),A
2
β
2
( 3)}
α
}
span{β1 ,β1 β2}
2
β β
span{ 1 , 2} R
1-39 解： (1) 不难求得
A (α1 ) A
α1 α1 α2 α1 α1
(α2 ) α2
α3
α2 α3 2α2
α3
A (α3 )
因此 A
在 α, α, α 下矩阵表示为
1
2
3
1 1 0
1 1
A
1 1
2
1
(2)
k1
设 ξ (α, α ,α ) k ，即
1
2
3
2
k3 1 2 3
1 1 1
0 2 1
1 k1 0 k2 1 k3
解之得
k1 10, k2 4, k3
9
所以
在基
T
ξ
α1, α2 , α3 下坐标为
(10, 4, 9) .
17
y1 y2 yn 1 2 1
x1 A x2 得
A (ξ) 在基 α1,α2, α3下坐标可由式
xn 23 32 13
y1 y2
1 1 0
1 1 1
10 4 9
y3
在基 α ,α ,α 下坐标为
12
3
(3) ξ
10
A 1
4 9
1 1 1
0 2 1
1 0 1
10 4 9
1 6
15
A (ξ)
在基 α ,α , α 下坐标为
1
23
23
A 1
32 13
1 1 1
0 2 1
1 0 1
23 32 13
10 4 9
1-40 解： R2 2 是 4 维线性空间，利用同构的概念，可把题中矩阵写成向量形式
α
1
(1,0,1,1) ,
T T
α
2
T
(0,1,1,1) ,
(1,1,0,2), 4 3
T T
α α )
A ( 1 ) (1,1,0,0) , A ( 2 (0,0,0,0) ,
(α) (0,0,1,1)T , (α) (0,1,0,1)T , A A 3 4
α α
T
(1,3,1,0)
于是
A (α1,α2, α3,α4 ) (A (α1), A (α2),A (α3),A (α4 ))
1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1
0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 3 0 1 2 0
(α1, α2, α3, α4 )A
A
于是
18
1
A
1 0 1 1
0 1 1 1 1 3 1 0 1 1 2 0 1
0
4 3 8 1 0 0 0 1 0 0 1
0 0 1 0 0 0 1 1
1
3
7
40 8 1
140
81
120
4注 根据同构映射的定义，R
22
(a1 1 ,a 1 2,a 2 ,1a T2.) 2
1
1
0
中 矩 阵a1
a219
a
12
可以看做 R4 中向量1
a 2 2
1
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