八年级培优--因式分解之换元法与主元法

因式分解是针对多项式的一种恒等变形，提公因式法、公式法，分组分解法是因式分解的基本方法。 一些复杂的因式分解问题．常用到换元法和主元法． 所谓换元，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用．

换元法

例1、分解因式：

（1）(x4x24)(x4x23)10

（2）(x1)(x2)(x3)(x6)x2 练习：

(1)(a2a1)(a26a1)12a2

(2)(2a5)(a29)(2a7)91；

(3) xy2xyxy2xy12

.

.实用文档.

(4) (x24x8)23x(x24x8)2x2

(5) (2x23x1)222x233x1

例2、把下列各式分解因式：a3b3(ab)(a2abb2)

(2x3y)3(3x2y)3125(xy)3

练习：分解因式：

（1）(x2)3(y2)3(xy)3

（2）(2a3bc)3(a2b5c)3(3ab4c)3

例3：1999x2199921x1999

练习：x42001x22000x2001

主元法

所谓主元，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式，则能排除字母间的干扰，简化问题的结构．

例1、a2bcb2cac2ab

例2、 多项式x2yy2zz2xx2zy2xz2y2xyz因式分解后的结果是( )．

A．yzxyxz B．yzxyxz C．yzxyxz D．yzxyxz 练习

把下列各式分解因式： (1)x2+xy－2y2－x+7y－6．

(2)a22b23c23ab4ac5bc；

(3) x2xy6y2x13y6

.

.实用文档.

(4)2x3x2z4x2y2xyz2xy2y2z．

说明(1)式子字母多次数高，可尝试用主元法；(2)式是形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的二元二次多项式，解题思路宽，用主元法或分组分解法或用待定系数法分解．

练习题

1．分解因式：(x2+3x)2-2(x2+3x)－8 2．分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)－12

3．分解因式：x2－xy－2y2－x－y= ． 4．已知二次三项式x2mx8在整数范围内可以分解为两个一次因式的积，则整数m的可能取值为 ．

5．若ab1，a3b1，则3a23512ab9b25的值

为( )． A．

29 B．23 C．45 D．0 6．2x3x213x6的因式是( )

A．2x1 B．x2 C．x3D．x21 E．2x1 7．已知abc，M=a2bb2cc2a，N=ab2bc2ca2，则M与N的大小关系是( )

A．M N C．M＝N D．不能确定

8．已知在ΔABC中，a216b2c26ab10bc0(a、b、c是三角形三边的长)．求证：ac2b