如何求二元函数的最值梁锦华（苏州工业职业技术学院）摘要多元函数的最值问题是高等教学中的一个难题，本人在教学过程中发现许多教材对这方面的介绍存在一定的不足为此，拟通过二元函数的求最值例题讲解，归纳出一定的方法以帮助学生解决求多元函数最值找到一条正确的途径＝关键词二元函数驻点最大值最小值在一元函数中，最值问题有两个方面：第一是最值的存在性；第二是如果已知最值存在，如何求最值．，对第二个问题，在解决了极值问题之后就比较简单：只要求出不可导点、端点的函数值，与全部极值（或全部驻点值）作比较，就能求得最值。在多元函数中求最值问题同样有这两个问题：最值是否存在？如果存在又如何求出最值？第一个问题有理论保证：在有界闭域上连续的函数必定存在最大值和最小值。凶此很多教材就非常笼统地将二元函数的求最值问题，简单地ｉ兑成和一元函数类似，只要将觑砂在Ｄ内的所有驻点处的函数值及在Ｄ的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值，而对其例题都不够详细的敷述。其实，求二元函数的最值问题并没有这么简单。解决第二个问题远远不网于一元函数那么容易。首先二元函数的驻点可能有无限多个，其次二元函数的边界通常是曲线．边界点也是无限个．要比较无限个函数值，从中找出最值，常常还要再次用一元函数的极值Ｉ’ｕｌ题来解决之。以下我们不妨对儿争晡况举例说明如何来求二元函数的最值。ｌ－ｍ∽在Ｄ内可微且只有有限个驻点．且问题的最值一定在Ｄ的内部取得。这种情况只要比较舭功全部驻点值的大小即可。它在解决在实际应片Ｉ题上比较常用，特别是驻点唯一时，当然问题事先已知最值肯定存在，那么这样的最值点非该驻点莫羁。例：欲做一个容量一定的长方形箱子，问应选择怎样的尺寸．才能使此箱子的材料最省？解：设箱子的长、宽、高分别为ｘ，ｙ，ｚ，容量为Ｖ，［ＪｌｑＶ＝ｘｙｚ，箱子的表面积为Ｓ－－２（ｘｙ＋ｙｚ＋ｘｚ）。要使使用的材料最少，则应求ｓ的最小值。山于口一Ｖ，所以ｓ＝２（媳，＋兰＋三）．（舢．伽）。这是一个Ｘ．Ｙ的二元函数。令趴渺＝２廿乓瑚，ｓ阮ｙ净２∞乓即．求得唯一的驻点＾河．污）。根据问题的实际意义可知ｓ一定存在最小值，所以可以断定ＰＰ－．Ｉ］为Ｓ的最小值点，即当冲何时，函数Ｓ取得最小值。此时ａ—ｖ－－＇Ｖ－＃，所以长方体实际上是正方体。这表明在体积固定为Ｖ长方体中，以正方体的表面积最小，最小值ｓ。：６｛／万。２．舭蚰在Ｄ内可微，而闭域Ｄ的边界由直线所转成。例：求函数目Ｉ．一增２）在肛ｌ阢砂三ｓ蛞；．．－Ｉｓ骑：１Ｉ上的最大、最小值，解：ｚ在闭区域Ｄ上连续，最大、最小值必定存在．轳－２Ｘ，匈一２ｙ；由即ｎ辱神解得唯一驻点（‘１．ｏ）；Ａ＝ｚｏｃｒ（０，０）＝－２＜０，Ｂｆｆｉｚｗ（Ｏ．Ｏ）＝０．ｏ＝黾一０，０）＝－２．Ａ＝Ｂ２诅凸删，故ｚ在（‘’．Ｉ，）取得极大值ｚ＝ｌ（其实显而易见为ｚ的最大值）。Ｄ的边界是ｌ！！Ｉ条直线段：“＃扣；邵；№１２。－＿．Ｉ（｛够；Ｊ山驴ｊＩ＿（．；蟋；）山ｙ＝－ｉＩｔ（－１２鲻三２）．沿边界ｆＩ，ｚ成为Ｙ的一元函数；；∥；有二次曲线的知识，可知函数在ｆＩ上的最大值和最小值分别为２＇Ｉ。一寻．蜀—＝喜．Ｉ司样讨论ｚ沿边界ｂ．Ｉｓ．Ｌ的最大、最小值均是：ｚｎｎ一两ｍｒ＝丑ｍｒ＝；·盈—一＝ｚ，ｍ＊＝丑．．畸．．；·最后，比较函数在区域ＤＩ勺部的全部极值、各边界上的最大、最小值．得到在Ｄ上的最大值ｚｎ。、最小值ｚ。。为：Ｚｍａ产ｍａｘ｛１．兰在，万 方数据象，（ｏ，０）达到；确ｔ；Ｉ·在仕÷．±；Ｊ达到。在图ｌ中表示了所得结果的形上达到图１为为为＝压ｓｉｎｋｙ＋争邮ｙ‘争图２所以，ｌ：上最大值和最小值分别为ｚｎ。＝压。ｚ－ｐｌ（３）］笙１３．．ＩＵ－，边界线可表示为：，；；（ｏ§ｘｓ争．其函数表达式为：ｚ＝ｃｏｓｘ＋ｃｏｓ（，一争ｍＳ¨＝压ｓｉｎ【Ｈ三）．（０…争同样。＾上最大值和最小值分别为ｚ。，＝√三．‰舻ｌ（４）在厶上。边界线可表示为：，：０（ｏｓｙｓ罢）。其函数表达式为：ｚｆｆｉ２ｌ＋２ｃｏｓｙ，（０ＳｙＳ争同样￡．上最大值和最小值分别为ｚ４。＝３，７，４。。＝ｌ，比较四条边界ｆＩ，如．ｂ，１４上最大和最小值，可得该二元函数的最大值和最小值即为３和ｌ。上两题我们在考察边界的最大和最小值的时候．分别利用的是二次函数和三角函数的最值问题来解之。一般我们也可以利用一元函数函数值和端点的函数值的大小，即可得到边界上的最大和最小值。３．骶蚰在Ｄ内可微，而闭域Ｄ的边界由若干曲线围成。例：求函数：＝Ｊ３４－Ｙ３—３可区域Ｄ上的最大和最小值．其中Ｄ由曲线）’＝工２和Ｊ＝Ｙ２所围成。解：｛ｚＺ，．：ｆｆｉ３３ｘ，２：－－３３ｙ。＝：Ｏ。得驻点（‘Ｊ．ｏ）和（１．１）显然这样的驻点都在边界线上，也就是ｉ兑函数的最值只有在边界上取得，在边界ｙ＝Ｘ２，（ｏｓＪｓｌ）上．函数表达式为：：＝Ｊ３４－Ｐ一３ｘ３＝ｐ一２，（ｏｓｘｓＩ），令：，＝６ｘ５—６ｘ２＝６ｘ！（』３一１）＝０，得边界（转１６５页）求最值的方法来求得最大值和最小值．即先求出驻点．再比较驻点的不仪引起学生的自豪感，而且对函数概念理解非常透彻．，３．４展示知识情景要用化静为动的策略在传统的课堂教学中，其辅助手段一般是出示卡片、模型．挂图或实物等，即以静态形象为主，难以再现事物的客观属性，而通过信息技术与学科ｉ｝｜ｌ程整合，采用化静为动的策略，既能活现教材内容，又能再现知识发生、发展的过程，即把知识形成的全过程淋漓尽致地呈现在学生的眼前．它以鲜艳的色彩、优美的图案、直观形象地再现了客观事物，充分地刺激学生的感官，溯动学生的积极性，吸弓Ｉ长期的注意力。以轻松愉快的心情参与到课堂教学中来，达到了从“要我学”到“我要学”的转变。化静止为运动。运动的儿何图形更加有效地刺激大脑视觉神经元，产生强烈的印象。有些题目，不经意用鼠标移动一个点，Ｉ：奎Ｉ形变化了，结论仍然成立，比如：图形中移动Ｃ点或Ｅ点始终有ＣＥｆｌＤＦ问题。情境创设的方法非常多．但如何来创没一个合适的、有价值的，能够让学生获取知识，促进学生发展和获得情感体验的问题情境，还ｉ嚼我们一线的教师在实践ｑ｜不断地去分析、反思和探讨。３．５创新教育情景要用自主探究策略信息技术与数学教学整合，为学生的自主学习提供了一个良好的学习环境，教师可根据教学目标对教材进行分析和处理，决定用什么形式，呈现什么教学内容，并以课件或嘲页的形式传送到学生的桌面。学生接受学习任务以后，在教师的指导下．利用嘲络提供的资源开展个别化和协作式相结合的自主学习。要以开放的教学方法，挖掘出学生的创新潜能，还孩子一片自由发展的创新空间可采用：①知识的迁移；②自主学习的方法；③需求“启发式”为核心的灵活多样的教学方法，采取以“探究式”为中心的自主合作的学习方式，重视引导学生在探究中学爿．在学习中探究。这些育人的教学理念，既继承了中华传统教育的宝贵经验．又吸收了西方现代教育思想的精华。因此，在数学课堂教学中，要针对不同学段学生的实际和不Ｉ司的学习内容，在灵活采用的各种教学方法中，恰当地渗透数学“情境问题”教学的基本理念ｎ，。３．７教材主题图情境要采取问题定位策略在教学中，教材提供的是一种教学线索。而教材中的主题图只是教材内容的一部分，其使用与否也应看该幽是否有利于教师的教学。凶此，丢开主题ｌ刘进行教学，且学生能够学好相关知识，这种教学至少反映了教师对教材的不盲从。根据学生的数学基础．在教学中创造性地使用教材，这是对教师的基本要求。用好教材的主题图可以从下面儿个方面着手：领会“主题图”的丰富内涵；将静态情景幽转化为操作性的动态情境；合理把握呈现方式和呈现时机。为避免学生提出的问题漫无边际脱离数学，教学中最好不用“你能提出哪些问题？”，而是问“你能提出哪些数学Ｍ题？”，一旦学生出现“漫无边际”的苗头时．要轰刻把他们引ＩＥＩ到数学的世界里来．｝Ｉ＝学生在数学的内容范围里进行时ｉ仑Ｉ…。参考文献…孙晓天．近年来中国数学教育发展述要【Ｍ】，数学通报．２ｆｌｎ７，（６）【２Ｊ汪隶彝先生，扬孝斌．如何创设高质量的数学问题情境【ＮＪ．２００６·（３＋】【３Ｊ陆广地信息技术与数学教学整合的实践ⅡＪ，职教通讯．鬟莹ｉ鐾警銎冀望罢雾轧寻求解决问题的方法和工具，在问题解决过程中产生新的东西…。３．６研究性学习情景要采取启发问题裳略重视数学情境的创没；重视问题意识的培养（数学教学要不断唤起学生的好奇心、质疑、批判和探究的意识，恰当地引导学生提出Ｉ’ｕＪ题，并以问题趋动教学）；重视学生的“数学获得”；重视仓ＪＪ新意ｉ｝；｛的培养；重视探究精神的培养。数学“情境问题”教学中倡导使用以（接１６８页）上的驻点就是边界上的端点，ＢＩＩｘ．＝０，ｘ！＝Ｉ，其端点值为ｚ（Ｏ，０）－－０，ｚ（１，Ｉ）＝－Ｉ由于本题的对称性，在边界．ｒ＝ｙ２，（Ｏ≤ｙｓ１）上Ｉ司样其最值为端点２‘耵５‘占９：广地．信息技术与与教学教学如何有效整合？ⅡＪ。中国教育信ｏ。。”Ｊ’。ｌ：’ｊｉ、………。一一一…一…’…’。…～’１５】陆广地．道靖．培养学生提出数学问题的尝试Ⅱ】，江苏教育学院…晕招～２００５（Ｑ１【（１Ｊ陆广地．信息技术与数学教学整合的尝试Ⅲ，数学教育研究２００７，Ｉ（收稿日期：２００８·１（Ｊ·０７）参考文献…张国昌．高等数学（第一册）ＩＭｌ．苏州：苏州大学出版社，２（Ｘｂ，８：１３７—１３８值ｚ（Ｏ．ｏ瑚．ｚ（Ｉ，１）＝．１比较知，本题的最大值为“ｏ，Ｏ）－－Ｏ，最小值为ｚ（１，１）－．１总之，多元函数的求最值问题还足比较复杂的，解决该类题型，一定要仔细、细心，考虑问题要周全。对一般学生来说，我们还是要［２１华东师范大学教学系．数学分析（第三版）［ＭＩ．北京：高等投日出版冀·．２ｌ¨１．．．．“…““…、．唑．桂德怀·高等应用数学（第二册）［ＭＩ·苏州：苏州大学出版社，（收稿日期：２００８．１０．ｆ１７）…。呈警壁堡难喜·壁到精尊掣练，注摹讲授方法，但也不必而而俱全，重点仍应立足于解决最值的应用问题，（接１７１页）修课过程中，考核不及格，可重修或重选，重修或重选课程需交纳重修费。５绩语证作用、参考文献…１昊晓明．学分制的特征、内涵与搀｝ｉ＇ｌＪＪ，社会科学家．２０（）２【２】陈学飞．中国高等教育研究５¨年【Ｍ】．北京：教育科学出版社．１９９９总之，学分制的实施是教育改革发展的需要，也是教育发暖的必然趋势。探索学分制将是一个艰苦的过程，在具体实施中会遇到许多的困难和问题，尤其是当学分制和学年制两套管理体制同时运行的时候，这就需要我们坚定信心。学分制的实施本身就是一大进步，问题和困难是前进道路上不可避免的。只要我们在实践过程中不断总结和完善，学分制的实施一定会对学校人才培养质量的提高起至Ⅱ根本的保（接１７６页）文件保存为多个副本等。当然，我们也可以做成两段视频，分别ｉ己录保存和另存为，并作为对比，这个就看各位老师的创意和想法了。４绪语作者简介佐彪，本科学历．河南理工大学毕业。现任职于乎顶山工业职业技术学院，主要从事自动化技术、电子技术与应用方面的研究工作。（收稿日期：２００８·１０·０６）教学是一个不错的软件，值得推广和使用。参考文献【１ｌ蒋贤维浅谈高等职业教育中聋人计算机教学的特点．南京特教学院学报，２００５１２Ｉ季佩玉。简栋梁．程益基．聋教育教师培训教材．中国盲文出版社．２（Ｈ）Ｏ除了在计算机教学ｑＪ可以引）ｋｓ—Ｄｏｍｅ，在其他类的教学中也可以用到Ｓ－Ｄｏｍｅ的没汁和演示；Ｓ－Ｄｏｍｅ的应用除了对于聋人学习有重要意义和帮助，对于普通学生的教学也可以起到很好的辅助作用；甚至我们可以让学生完成作业时＿｝｝ｌｓ—Ｄｏｍｅｉ已，录下自己的制作过程，用米区别其他人的作品，防止抄袭和盗版。因此，Ｓ－Ｄｏｍｅ对于我们的【３】张双勤．聋校计算机教学的几点体会．中国特殊教育网，２ＩＭｌ４．１０作者简介蒋贤维，南京特殊教育职业技术学院信息技术系讲师。（收稿日期：２１Ｘ）８·１）９·２４）万方数据 如何求二元函数的最值
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
梁锦华
苏州工业职业技术学院内江科技
NEIJIANG KEJI2008,29(12)
1.桂德怀 高等应用数学 20072.华东师范大学教学系 数学分析 20013.张国昌 高等数学 2003
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