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2015年高考模拟试卷(1)

来源:爱go旅游网
2015年高考模拟试卷(1)

第Ⅰ卷(必做题,共160分)

一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分 . 1.设a,bR,

abi23i,其中i是虚数单位,则ab . 1i2.已知集合Pxxa,Qyysin,R.若PQ,则实数a的取值范围是 . 3.为了了解一片经济林的生长情况,随机测量了其中100株树木 的底部周长(单位:cm),所得数据如图.则在这100株树木 中,底部周长不小于100cm的有 株.

rrrrrrr4.设向量a(1,m),b(m1,2),且ab,若(ab)a,

第3题图

则实数m .

5.如图所示的流程图的运行结果是 .

6.将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使BDa, 则三棱锥DABC的体积为 .

7.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a19,a4a62. 当Sn取最大值时,n . 8.已知开始a5,S1Na4YSSaaa1第5题图

输出S结束41,且cos4,则cos4sin4 . 459.若在区间(1,1)内任取实数a,在区间(0,1)内任取实数b,则直线axby0与圆(x1)2(y2)21相交的概率为 .

110.设函数f(x)sin(2x),x[,a]的值域是[,1],则实数a的取值范围为 .

66211111.已知函数f(x)满足:当x1,3时,f(x)lnx,当x[,1)时,f(x)2f().若在区间[,3]

3x3内,函数g(x)f(x)ax(a0)恰有一个零点,则实数a的取值范围是 .

x2y212.设椭圆C:221(ab0)和圆O:x2y2b2,若椭圆C上存在点P,使得过点P引圆O的两条切线,

ab切点分别为A、B,满足APB60o,则椭圆C的离心率的取值范围是 .

nn33n113.设数列{an}的通项公式为an(),则满足不等式ai的正整数n的集合为 .

2i1aii114.设函数f(x)3x3x2x,则满足(x2)f(log1x)0的x的取值范围是 .

2

- 1 -

二、解答题:本大题共6小题,共90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算.......步骤.

15.(本小题满分14分)

在ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,且btanA(2cb)tanB. (1)求角A的大小;

uuuruuur(2)设ADBC,D为垂足,若b2,c3,求ADAC的值.

16.(本小题满分14分)

如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,PDBC,G为PA上一点. (1)求证:平面PCD平面ABCD;

(2)若PC∥平面BDG,求证:G为PA的中点.

- 2 -

PGDA CB17.(本小题满分14分)

如图,某城市有一条公路从正西方AO通过市中心O后转向东偏北角方向的OB.位于该市的某大学M与市中心O的距离OM313km,且AOM.现要修筑一条铁路L,L在OA上设一站A,在OB上设一

3站B,铁路在AB部分为直线段,且经过大学M.其中tan2,cos,AO15km.

13(1)求大学M与站A的距离AM;

B L (2)求铁路AB段的长AB.

L

18.(本小题满分16分)

3x2y2设椭圆C:221(ab0)的离心率为e,直线yx2与以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半

2ab径的圆O相切.

(1)求椭圆C的方程;

A L M  O (2)设直线x1与椭圆C交于不同的两点M,N,以线段MN为直径作圆D.若圆D与y轴相交于不同的两2点A,B,求ABD的面积;

(3)如图,A1、A2、B1、B2是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意点,直线B2P交x轴于点F,直

线A1B2交A2P于点E.设A2P的斜率为k,EF的斜率为m,求证:2mk为定值.

- 3 -

yB2EPA1O A2Fx B1第18题图 19.(本小题满分16分)

已知函数f(x)lnx,g(x)f(x)ax2bx,其中函数yg(x)的图象在点(1,g(1))处的切线平行于x轴. (1)确定a与b的关系;

(2)若a0,试讨论函数g(x)的单调性;

(3)设斜率为k的直线与函数yf(x)的图象交于两点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2),求证:

20.(本小题满分16分)

设数列an的前n项和为Sn,满足anSnAn2BnC(A0,nN*). (1)当C1时,

①设bnann,若a139,a2.求实数A,B的值,并判定数列bn是否为等比数列; 24B1的值; A*11k. x2x1 ②若数列an是等差数列,求

n311122, (2)当C0时,若数列an是等差数列,a11,且nN,n1i1aiai1求实数的取值范围.

- 4 -

第Ⅱ卷(附加题,共40分)

21.[选做题]本题包括A、B、C、D四小题,每小题10分;请选定其中两题,并在相应的答题区域 .................内作答. ...A.(选修4-1:几何证明选讲)

如图,设AB、CD是圆O的两条弦,直线AB是线段CD 的垂直平分线.已知AB6,CD25,求线段AC的长度.

B.(选修4-2:矩阵与变换)

1a 若点A(2,1)在矩阵M对应变换的作用下得到点B(4,5),求矩阵M的逆矩阵. b1ACBD

C.(选修4-4:坐标系与参数方程)

3在极坐标系中,设圆C经过点P,圆心是直线sin()与极轴的交点,求圆C的 (3,)326极坐标方程.

D.(选修4-5:不等式选讲) 设a,b,c均为正数,abc1.求证:

111abc. abc- 5 -

【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分. 22.(本小题满分10分)

已知数列an满足a11,an1(3n3)an4n6,nN*.

na2(1)求证:数列n是等比数列;

n3n141(2)设bn. ,nN*,求证:当n2,nN*时,bn1bn2Kb2nan252n1

23.(本小题满分10分)

如图,已知点F(0,p),直线l:yp(其中p为常数且p0),M为平面内的动点,过M作l的垂线,垂足为uuuuruuuruuuuruuurN,且NMNFFMFN.

yMFOx (1)求动点M的轨迹C的方程;

(2)设Q是l上的任意一点,过Q作轨迹C的切线,切点为A、B. ①求证:A、Q、B三点的横坐标成等差数列;

②若Q(4,p),AB20,求p的值.

- 6 -

l N2015年高考模拟试卷(1) 参

第Ⅰ卷(必做题,共160分)

一、填空题

2315; a; 7. 5; 8.

1255111119. ; 10. [,]; 11. (,6ln3];【解析】当x[,1)时,(1,3],由条件得,f(x)2f()2ln2lnx,16e3xx62x1. 6; 2. [1,); 3. 70; 4. 1; 5.20; 6.

函数g(x)f(x)ax(a0)恰有一个零点方程f(x)ax(a0)有唯一解,在直角坐标系内分别作出yf(x)与

1当直线yax经过点(,2ln3)时,a6ln3 6ln3,当直线yax和曲线f(x)lnx相切时,yax(a0)的图象,

311切点为(e,1),此时a,由图象可知,当a6ln3时,函数yf(x)与yax(a0)的图象由唯一的交点.

ee12. [3【解析】在四边形OAPB中,APB60o,OAPOBP90o,OAOBb,OP2b,由题,1);2c33意得,2ba,即2a2c2a,化解得,又在椭圆中e1,【解析】e1. 13. {1,2,3};

a221333由于数列{an}的通项公式为an()n1,所以数列{an}为等比数列,首项为a1,公比q1;数列{}也

an222231()n1()n312232,是等比数列,首项为,公比q2.不等式ai等价于3ai,即32333i1aii1i1aii1113222n解之得()1,QnN,n只能取1,2,3. 14. (0,1)U(2,);【解析】

93xQf(x)3ln33xln32(3x3x)ln322ln320,函数f(x)在(,)上单调递增,且

x20x20f(0)0,(x2)f(log1x)0logx0或logx0,解得x2或0x1.

11222nnnn二、解答题

sinAsinB, (2sinCsinB)cosAcosB 又Q在ABC中,sinB0, sinAcosB2sinCcosAcosAsinB,

1 即sin(AB)2sinCcosA, 又Qsin(AB)sinC0, cosA,

215. (1)QbtanA(2cb)tanB, 由正弦定理,得sinB 又Q0A,A3;

, 3311 a7,QBCADABACsinA,即7AD32,

222uuuruuuruuuruuuruuur2321 AD, ADACADACcosCADAD27.

77

16.(1)Q底面ABCD为矩形,BCCD,又QPDBC,

CD,PD平面PCD,PDICDD, BC平面PCD, 又QBC平面ABCD, 平面ABCD平面PCD;

(2)连接AC,交BD于O,连接GO, QPC//平面BDG,

平面PCAI平面BDGGO, PC//GO,

- 7 -

(2) 由余弦定理,a2b2c22bccosA, Qb2,c3,APGCO,Q底面ABCD为矩形, O是AC的中点,即COOA, GAOAPGGA, G为PA的中点.

317. (1)在AOM中,AO15,AOM且cos,OM313,

13 由余弦定理得,AM2OA2OM22OAOMcosAOM

3 (313)2152231315 13139151523153

72. AM62,即大学M与站A的距离AM为62km;

23(2)Qcos,且为锐角,sin,

1313AMOM在AOM中,由正弦定理得,, sinsinMAO 即623132,sinMAO,MAO, 2sinMAO241321 ABO, Qtan2,sin,cos,

45512,又AOB, sinAOBsin(), sinABOsin()4105ABAO 在AOB中,AO15, 由正弦定理得,, sinAOBsinABOAB15 即,AB302,即铁路AB段的长AB为302km. 2151018. (1)圆O的方程为x2y2b2, Q直线yx2与圆O相切,

b233, 12, b,即b1,又Qea222x2a2, 椭圆C的方程为y21;

4115115(2)由题意,可得M(,),N(,),

24241511115圆D的半径r,AB2, 1242 ABD的面积为S111111; 2228(3)由题意可知A1(2,0),A2(2,0),B1(0,1),B2(0,1),

QA2P的斜率为k,直线A2P的方程为yk(x2),

yk(x2)2222(14k)x16kx16k40, 由x2,得2y148k228k224k其中xA2,xP,P(,),

14k214k214k22k1则直线B2P的方程为yx1,

(22k1)- 8 -

令y0,则x2(2k1)2(2k1), 即F(,0),

2k12k1Q直线A1B2的方程为x2y20,

4k2xx2y204k24k2k1由,解得,E(,),

4kyk(x2)2k12k1y2k14k2k12k1EF的斜率m , 2(2k1)4k242k12k12k112mk2. k(定值)

42119. (1)Qg(x)f(x)ax2bxlnxax2bx, g(x)2axb,

x由题意得g(1)12ab0, b2a1;

11(2ax1)(x1)(2)Qg(x)2axb2ax2a1(x0),

xxx(x1)①当a0时,g(x)(x0),

x当x1时,g(x)0,函数g(x)在(1,)单调减; 当0x1时,g(x)0,函数g(x)在(0,1)单调增;

12a(x)(x1)112a②当0a时,即(x0), 1,g(x)x22a1函数g(x)在(1,)上单调减;

2a1函数g(x)在(,)和(0,1)单调增;

2a1(x1)2③当a时,即2a1,g(x)0(x0),

x2函数g(x)在(0,)单调增;

12a(x)(x1)112a④当a时.即(x0), 1,g(x)x2a21函数g(x)在(,1)单调减区间;

2a1函数g(x)在(1,)和(0,)单调增;

2a (3)由题设x2x10,

111lnx2lnx11k x2x1x2x2x1x1xxxx 21lnx2lnx121

x2x1xx1 1ln221 ①

x2x1x1x1令h(x)lnxx1(x1),则h(x)11x1(x1), xxx1时,h(x)0, 函数g(x)在(1,)是减函数, 而h(1)0,x1时,h(x)h(1)0

- 9 -

xxxx2xx1, h(2)ln2210,即ln221, ②

x1x1x1x1x1x1111x1 令H(x)lnx1(x1),则H(x)22(x1),

xxxx x1时,H(x)0, H(x)在(1,)是增函数,

xx1 x1时,H(x)H(1)0, H(2)ln210,

xx1x12x1x111即1ln2 ③由①②③得k.

x2x2x1x1x1Qx2x10,20.(1)QC1,anSnAn2Bn1,

①令n1,可得2a1AB1,即AB2,

令n2,可得a12a24A2B1,即4A2B5,

1313A,B,anSnn2n1, ①

222213当n2时,an1Sn1(n1)2(n1)1, ②

22①-②,得2anan1n1(n2),

11ann[an1(n1)],即bnbn1,

221又b1a110,bn0,

2b1n, 数列bn是等比数列; bn12② Q数列an是等差数列, 设ana1(n1)d,Snna1n(n1)d, 2QanSnAn2Bn1, ddn2(a1)na1dAn2Bn1,nN* 22dA2dBa1,

2a1d1ddda11a11dB12223; dddA222 (2)当C0时,anSnAn2Bn

Q数列an是等差数列,a11, an1(n1)d,Snnn(n1)d, 2ddn2(1)n1dAn2Bn, 22d1,ann, Q11111n(n1)11111, 2222anann(n1)n(n1)nn11- 10 -

1i1n111n1, ai2ai21n1n31131122n1,

n1i1aiai1n1n122, nN*,n1, n1n12x222令f(x)x, Qf(x)12, 2xxx即n1当x2时,f(x)0, f(x)在[2,)上是增函数,而n12,(n12 )min3, 3.

n1第Ⅱ卷(附加题,共40分)

21. A.连接BC,AB,CD相交于点E.因为AB是线段CD的垂直平分线,

所以AB是圆的直径,∠ACB=90°.设AEx,则EB6x,由射影定理得

CE2=AE·EB,又CE5,即有x(6x)5,解得x1(舍)或x5 所以,AC2=AE·AB=5×6=30,AC30.

B.M,即5, 2b15. 解得b3.,M31, 152b1 解法一:det(M)127, M1242a42a4,a2,123117372177137727. 17c3dcd101解法二:设M1,由,得MM01e3fef2cd10 2ef011c,7c3d1,1d2,e3f0,771M 解得2cd0,33e,772ef1.f1.727. 172C.因为圆心为直线sin()sin与极轴的交点,所以令0,得1,即圆心是(1,0),

33又圆C经过点P, 圆的半径r3123cos1,圆过原点, (3,)66圆C的极坐标方程是2cos. (说明:化为普通方程去完成给相应的分数)

11D.由a,b,c为正数,根据平均值不等式,得ab11122 将此三式相加,得2()abcabbc 由abc1,则有abc1.所以,

112112,,.

acbcabacbc2111111,即. abcacabbcac2111abcabcabcabc. abcabbcac- 11 -

22.(1)令cnan2, n(3n3)an4n62an12(3n3)(an2)a2n则cn13n3cn, n1n1n(n1)ncQc1a1210,cn0,n13,

cna2数列cn,即n是等比数列;

nan23n11n1n1(2)由(1)得, 3,ann32,bnan2nn41. 52n111741373①当n2时,不等式的左边b3b4,右边,而,

3412555125n2时,不等式成立;

41②假设当nk(k2)时,不等式成立,即bk1bk2Kb2k;

52k1当nk1时,bk11bk12Kb2(k1)(bk1bk2Kb2k)(b2k1b2k2bk1) 下面用数学归纳法证明当n2,nN*时,bn1bn2Kb2n41111 52k12k12k2k141152k2k141 

52(k1)4152(k1)1当nk1时,不等式也成立. 由①②可得,

41当n2,nN*时,bn1bn2Kb2n.

52n1uuuur23. (1)设M(x,y),则N(x,p),NM(0,yp),

uuuruuuuruuurNF(x,2p),FM(x,yp),FN(x,2p), uuuuruuuruuuuruuur QNMNFFMFN,2p(yp)x22p(yp),

x24py,即动点M的轨迹C的方程为x24py;

uuuruuuuruuuuruuuuruuuruuuuruuur 另解:设M(x,y),则N(x,p),QNMNFFMFN,NF(MNMF)0,

以MN,MF为邻边的平行四边形是菱形,MFMN,

x2(yp)2yp ,x24py,

即动点M的轨迹C的方程为x24py; x12x22(2)①设Q(x0,p),A(x1,),B(x2,),则

4p4px12x1(xx1,), 切线QA的方程y4p2px12xp1(x0x1),x122x0x14p20, ①

4p2p 同理x222x0x24p20, ② 方法1:①②得(x1x2)(x1x22x0)0,

Qx1x2,x1x22x00,x1x22x0,

- 12 -

即A、Q、B三点的横坐标成等差数列.

方法2:由①②得x1,x2是方程x22x0x4p20的两根,

x1x22x0,即A、Q、B三点的横坐标成等差数列.

xx22x0②由①②得x1,x2是方程x22x0x4p20的两根,1, 2xx4p12xx28 QQ(4,p),1, 2xx4p12x12x222)20, QAB20,(x1x2)(4p4p2(x1x2)242(x1x2)[1]20(16p)(1)20, ,

16p2p22p417p2160,p1或p4.

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