2015年高考模拟试卷(1)

第Ⅰ卷（必做题，共160分）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ． 1．设a,bR，

abi23i，其中i是虚数单位，则ab ． 1i2．已知集合Pxxa，Qyysin,R．若PQ，则实数a的取值范围是 ． 3．为了了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木 的底部周长（单位：cm)，所得数据如图．则在这100株树木 中，底部周长不小于100cm的有 株．

rrrrrrr4．设向量a(1,m)，b(m1,2)，且ab，若(ab)a，

第3题图

则实数m ．

5．如图所示的流程图的运行结果是 ．

6．将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BDa， 则三棱锥DABC的体积为 ．

7．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a19，a4a62． 当Sn取最大值时，n ． 8．已知开始a5,S1Na4YSSaaa1第5题图

输出S结束41，且cos4，则cos4sin4 ． 459．若在区间(1,1)内任取实数a，在区间(0,1)内任取实数b，则直线axby0与圆(x1)2(y2)21相交的概率为 ．

110．设函数f(x)sin(2x),x[,a]的值域是[,1]，则实数a的取值范围为 ．

66211111．已知函数f(x)满足：当x1,3时，f(x)lnx，当x[,1)时，f(x)2f()．若在区间[,3]

3x3内，函数g(x)f(x)ax(a0)恰有一个零点，则实数a的取值范围是 ．

x2y212．设椭圆C:221(ab0)和圆O:x2y2b2，若椭圆C上存在点P，使得过点P引圆O的两条切线，

ab切点分别为A、B，满足APB60o，则椭圆C的离心率的取值范围是 ．

nn33n113．设数列{an}的通项公式为an()，则满足不等式ai的正整数n的集合为 ．

2i1aii114．设函数f(x)3x3x2x，则满足(x2)f(log1x)0的x的取值范围是 ．

2

- 1 -

二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算．．．．．．．步骤.

15．（本小题满分14分）

在ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c，且btanA(2cb)tanB． （1）求角A的大小；

uuuruuur（2）设ADBC，D为垂足，若b2，c3，求ADAC的值．

16．（本小题满分14分）

如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PDBC，G为PA上一点． （1）求证：平面PCD平面ABCD；

（2）若PC∥平面BDG，求证：G为PA的中点．

- 2 -

PGDA CB17．（本小题满分14分）

如图，某城市有一条公路从正西方AO通过市中心O后转向东偏北角方向的OB．位于该市的某大学M与市中心O的距离OM313km，且AOM．现要修筑一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一

3站B，铁路在AB部分为直线段，且经过大学M．其中tan2，cos，AO15km．

13（1）求大学M与站A的距离AM；

B L （2）求铁路AB段的长AB．

L

18．（本小题满分16分）

3x2y2设椭圆C:221(ab0)的离心率为e，直线yx2与以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半

2ab径的圆O相切．

（1）求椭圆C的方程；

A L M  O （2）设直线x1与椭圆C交于不同的两点M,N，以线段MN为直径作圆D．若圆D与y轴相交于不同的两2点A,B，求ABD的面积；

（3）如图，A1、A2、B1、B2是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线B2P交x轴于点F，直

线A1B2交A2P于点E．设A2P的斜率为k，EF的斜率为m，求证：2mk为定值．

- 3 -

yB2EPA1O A2Fx B1第18题图 19．（本小题满分16分）

已知函数f(x)lnx，g(x)f(x)ax2bx，其中函数yg(x)的图象在点(1,g(1))处的切线平行于x轴． （1）确定a与b的关系；

（2）若a0，试讨论函数g(x)的单调性；

（3）设斜率为k的直线与函数yf(x)的图象交于两点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2)，求证：

20．（本小题满分16分）

设数列an的前n项和为Sn，满足anSnAn2BnC(A0,nN*)． （1）当C1时，

①设bnann，若a139，a2．求实数A,B的值，并判定数列bn是否为等比数列； 24B1的值； A*11k． x2x1 ②若数列an是等差数列，求

n311122， （2）当C0时，若数列an是等差数列，a11，且nN，n1i1aiai1求实数的取值范围．

- 4 -

第Ⅱ卷（附加题，共40分）

21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域 ．．．．．．．．．．．．．．．．．内作答． ．．．A．（选修４－１：几何证明选讲）

如图，设AB、CD是圆O的两条弦，直线AB是线段CD 的垂直平分线．已知AB6,CD25，求线段AC的长度．

B．（选修４－２：矩阵与变换）

1a 若点A(2,1)在矩阵M对应变换的作用下得到点B(4,5)，求矩阵M的逆矩阵． b1ACBD

C．（选修４－４：坐标系与参数方程）

3在极坐标系中，设圆C经过点P，圆心是直线sin()与极轴的交点，求圆C的 （3，）326极坐标方程．

D．（选修４－５：不等式选讲） 设a,b,c均为正数，abc1．求证：

111abc． abc- 5 -

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分. 22．（本小题满分10分）

已知数列an满足a11，an1(3n3)an4n6,nN*．

na2（1）求证：数列n是等比数列；

n3n141（2）设bn． ,nN*，求证：当n2，nN*时，bn1bn2Kb2nan252n1

23．（本小题满分10分）

如图，已知点F(0,p)，直线l:yp(其中p为常数且p0)，M为平面内的动点，过M作l的垂线，垂足为uuuuruuuruuuuruuurN，且NMNFFMFN．

yMFOx （1）求动点M的轨迹C的方程；

（2）设Q是l上的任意一点，过Q作轨迹C的切线，切点为A、B． ①求证：A、Q、B三点的横坐标成等差数列；

②若Q(4,p)，AB20，求p的值．

- 6 -

l N2015年高考模拟试卷(1) 参

第Ⅰ卷（必做题，共160分）

一、填空题

2315； a； 7. 5； 8.

1255111119. ； 10. [,]； 11. (,6ln3]；【解析】当x[,1)时，(1,3]，由条件得，f(x)2f()2ln2lnx，16e3xx62x1. 6； 2. [1,)； 3. 70； 4. 1； 5.20； 6.

函数g(x)f(x)ax(a0)恰有一个零点方程f(x)ax(a0)有唯一解，在直角坐标系内分别作出yf(x)与

1当直线yax经过点(,2ln3)时，a6ln3 6ln3，当直线yax和曲线f(x)lnx相切时，yax(a0)的图象，

311切点为(e,1)，此时a，由图象可知，当a6ln3时，函数yf(x)与yax(a0)的图象由唯一的交点．

ee12. [3【解析】在四边形OAPB中，APB60o，OAPOBP90o，OAOBb，OP2b，由题,1)；2c33意得，2ba，即2a2c2a，化解得，又在椭圆中e1，【解析】e1． 13. {1，2，3}；

a221333由于数列{an}的通项公式为an()n1，所以数列{an}为等比数列，首项为a1，公比q1；数列{}也

an222231()n1()n312232，是等比数列，首项为，公比q2．不等式ai等价于3ai，即32333i1aii1i1aii1113222n解之得()1，QnN，n只能取1,2,3． 14. (0,1)U(2,)；【解析】

93xQf(x)3ln33xln32(3x3x)ln322ln320，函数f(x)在(,)上单调递增，且

x20x20f(0)0，(x2)f(log1x)0logx0或logx0，解得x2或0x1．

11222nnnn二、解答题

sinAsinB, (2sinCsinB)cosAcosB 又Q在ABC中，sinB0， sinAcosB2sinCcosAcosAsinB，

1 即sin(AB)2sinCcosA， 又Qsin(AB)sinC0， cosA，

215. （1）QbtanA(2cb)tanB， 由正弦定理，得sinB 又Q0A，A3；

， 3311 a7，QBCADABACsinA，即7AD32，

222uuuruuuruuuruuuruuur2321 AD， ADACADACcosCADAD27.

77

16.（1）Q底面ABCD为矩形，BCCD，又QPDBC，

CD,PD平面PCD，PDICDD， BC平面PCD， 又QBC平面ABCD， 平面ABCD平面PCD；

（2）连接AC，交BD于O，连接GO， QPC//平面BDG，

平面PCAI平面BDGGO， PC//GO，

- 7 -

（2） 由余弦定理，a2b2c22bccosA， Qb2，c3，APGCO，Q底面ABCD为矩形， O是AC的中点，即COOA， GAOAPGGA， G为PA的中点.

317. （1）在AOM中，AO15，AOM且cos，OM313，

13 由余弦定理得，AM2OA2OM22OAOMcosAOM

3 (313)2152231315 13139151523153

72. AM62，即大学M与站A的距离AM为62km；

23（2）Qcos，且为锐角，sin，

1313AMOM在AOM中，由正弦定理得，, sinsinMAO 即623132，sinMAO，MAO， 2sinMAO241321 ABO， Qtan2，sin，cos，

45512，又AOB， sinAOBsin()， sinABOsin()4105ABAO 在AOB中，AO15， 由正弦定理得，， sinAOBsinABOAB15 即，AB302，即铁路AB段的长AB为302km． 2151018. （1）圆O的方程为x2y2b2， Q直线yx2与圆O相切，

b233， 12， b，即b1，又Qea222x2a2， 椭圆C的方程为y21；

4115115（2）由题意，可得M(,),N(,)，

24241511115圆D的半径r，AB2， 1242 ABD的面积为S111111； 2228（3）由题意可知A1(2,0),A2(2,0),B1(0,1),B2(0,1)，

QA2P的斜率为k，直线A2P的方程为yk(x2)，

yk(x2)2222(14k)x16kx16k40， 由x2，得2y148k228k224k其中xA2，xP，P(,)，

14k214k214k22k1则直线B2P的方程为yx1，

（22k1)- 8 -

令y0，则x2(2k1)2(2k1)， 即F(,0)，

2k12k1Q直线A1B2的方程为x2y20，

4k2xx2y204k24k2k1由，解得，E(,)，

4kyk(x2)2k12k1y2k14k2k12k1EF的斜率m ， 2(2k1)4k242k12k12k112mk2． k（定值）

42119. （1）Qg(x)f(x)ax2bxlnxax2bx， g(x)2axb，

x由题意得g(1)12ab0， b2a1；

11(2ax1)(x1)（2）Qg(x)2axb2ax2a1(x0)，

xxx(x1)①当a0时，g(x)(x0)，

x当x1时，g(x)0，函数g(x)在(1,)单调减； 当0x1时，g(x)0，函数g(x)在(0,1)单调增；

12a(x)(x1)112a②当0a时，即(x0)， 1，g(x)x22a1函数g(x)在(1,)上单调减；

2a1函数g(x)在(,)和(0,1)单调增；

2a1(x1)2③当a时，即2a1，g(x)0(x0)，

x2函数g(x)在(0,)单调增；

12a(x)(x1)112a④当a时．即(x0)， 1，g(x)x2a21函数g(x)在(,1)单调减区间；

2a1函数g(x)在(1,)和(0,)单调增；

2a （3）由题设x2x10，

111lnx2lnx11k x2x1x2x2x1x1xxxx 21lnx2lnx121

x2x1xx1 1ln221 ①

x2x1x1x1令h(x)lnxx1(x1)，则h(x)11x1(x1)， xxx1时，h(x)0， 函数g(x)在(1,)是减函数， 而h(1)0，x1时，h(x)h(1)0

- 9 -

xxxx2xx1， h(2)ln2210，即ln221， ②

x1x1x1x1x1x1111x1 令H(x)lnx1(x1)，则H(x)22(x1)，

xxxx x1时，H(x)0， H(x)在(1,)是增函数，

xx1 x1时，H(x)H(1)0， H(2)ln210，

xx1x12x1x111即1ln2 ③由①②③得k．

x2x2x1x1x1Qx2x10，20.（1）QC1，anSnAn2Bn1，

①令n1，可得2a1AB1，即AB2，

令n2，可得a12a24A2B1，即4A2B5，

1313A,B,anSnn2n1， ①

222213当n2时，an1Sn1(n1)2(n1)1， ②

22①-②，得2anan1n1(n2)，

11ann[an1(n1)]，即bnbn1，

221又b1a110，bn0，

2b1n， 数列bn是等比数列； bn12② Q数列an是等差数列， 设ana1(n1)d,Snna1n(n1)d， 2QanSnAn2Bn1， ddn2(a1)na1dAn2Bn1，nN* 22dA2dBa1，

2a1d1ddda11a11dB12223； dddA222 （2）当C0时，anSnAn2Bn

Q数列an是等差数列，a11， an1(n1)d,Snnn(n1)d， 2ddn2(1)n1dAn2Bn， 22d1，ann， Q11111n(n1)11111， 2222anann(n1)n(n1)nn11- 10 -

1i1n111n1， ai2ai21n1n31131122n1，

n1i1aiai1n1n122， nN*，n1， n1n12x222令f(x)x， Qf(x)12， 2xxx即n1当x2时，f(x)0， f(x)在[2,)上是增函数，而n12，(n12 )min3， 3．

n1第Ⅱ卷（附加题，共40分）

21. A．连接BC，AB,CD相交于点E．因为AB是线段CD的垂直平分线，

所以AB是圆的直径，∠ACB＝90°．设AEx，则EB6x，由射影定理得

CE2＝AE·EB，又CE5，即有x(6x)5，解得x1（舍）或x5 所以，AC2＝AE·AB＝5×6＝30，AC30．

B．M，即5， 2b15. 解得b3.，M31， 152b1 解法一：det(M)127， M1242a42a4,a2,123117372177137727. 17c3dcd101解法二:设M1，由，得MM01e3fef2cd10 2ef011c,7c3d1,1d2,e3f0,771M 解得2cd0,33e,772ef1.f1.727． 172C．因为圆心为直线sin()sin与极轴的交点，所以令0，得1，即圆心是(1,0)，

33又圆C经过点P， 圆的半径r3123cos1，圆过原点， （3，）66圆C的极坐标方程是2cos． （说明：化为普通方程去完成给相应的分数）

11D.由a,b,c为正数，根据平均值不等式，得ab11122 将此三式相加，得2()abcabbc 由abc1，则有abc1．所以，

112112，，．

acbcabacbc2111111，即． abcacabbcac2111abcabcabcabc． abcabbcac- 11 -

22.（1）令cnan2， n(3n3)an4n62an12(3n3)(an2)a2n则cn13n3cn， n1n1n(n1)ncQc1a1210，cn0，n13，

cna2数列cn，即n是等比数列；

nan23n11n1n1（2）由（1）得， 3，ann32，bnan2nn41． 52n111741373①当n2时，不等式的左边b3b4，右边，而，

3412555125n2时，不等式成立；

41②假设当nk(k2)时，不等式成立，即bk1bk2Kb2k；

52k1当nk1时，bk11bk12Kb2(k1)(bk1bk2Kb2k)(b2k1b2k2bk1) 下面用数学归纳法证明当n2，nN*时，bn1bn2Kb2n41111 52k12k12k2k141152k2k141 

52(k1)4152(k1)1当nk1时，不等式也成立． 由①②可得，

41当n2，nN*时，bn1bn2Kb2n．

52n1uuuur23. （1）设M(x,y)，则N(x,p)，NM(0,yp)，

uuuruuuuruuurNF(x,2p)，FM(x,yp)，FN(x,2p)， uuuuruuuruuuuruuur QNMNFFMFN，2p(yp)x22p(yp)，

x24py，即动点M的轨迹C的方程为x24py；

uuuruuuuruuuuruuuuruuuruuuuruuur 另解：设M(x,y)，则N(x,p)，QNMNFFMFN，NF(MNMF)0，

以MN,MF为邻边的平行四边形是菱形，MFMN，

x2(yp)2yp ，x24py，

即动点M的轨迹C的方程为x24py； x12x22（2）①设Q(x0,p)，A(x1,)，B(x2,)，则

4p4px12x1(xx1,)， 切线QA的方程y4p2px12xp1(x0x1)，x122x0x14p20， ①

4p2p 同理x222x0x24p20， ② 方法1:①②得(x1x2)(x1x22x0)0，

Qx1x2,x1x22x00，x1x22x0，

- 12 -

即A、Q、B三点的横坐标成等差数列.

方法2：由①②得x1,x2是方程x22x0x4p20的两根，

x1x22x0，即A、Q、B三点的横坐标成等差数列.

xx22x0②由①②得x1,x2是方程x22x0x4p20的两根，1， 2xx4p12xx28 QQ(4,p)，1， 2xx4p12x12x222)20， QAB20，(x1x2)(4p4p2(x1x2)242(x1x2)[1]20(16p)(1)20， ，

16p2p22p417p2160，p1或p4.

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