利用MATLAB求解微积分的方法

极限与级数的符号运算

 MATLAB的极限与级数运算在符号系统中进行

极限运算

 limit(f, x, a) 求符号函数f的极限 lim  a f ( x ) x limit(f, x, a, ’right’) 求符号函数f的右极限 limf(x)xa limit(f, x, a, ’left’) 求符号函数f的左极限 limf(x)xa说明：上述命令中的a可以是无穷大 inf 或 -inf

说明：多元函数的极限需要使用累次极限来计算  举例

级数运算

 symsum(an, n, i, j) j 求符号通项an的和 anni

其中，当j为无穷大inf时，即为无穷级数。  举例

级数运算

 taylor(f, n, a, x)

求符号函数f在点a关于变量x的n-1阶泰勒多项式  举例

 taylortool 泰勒工具  举例

微积分的符号运算

导函数与偏导函数

 diff(f, x) 求符号函数f对x的一阶导函数或偏导函数  diff(f, x, n) 求符号函数f对x的n阶导函数或偏导函数  注：diff是differential(微分)的缩写

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 例：计算

 问:如何求符号函数在给定点的导数值或偏导数值？

dsinx(2x),dxe1322ln(xyxy)2xy

求完导函数或偏导函数之后，使用符号替换命令 subs 可以求得导函数值或偏导函数值

不定积分与定积分

 int(f, x)

求符号函数f关于变量x的不定积分  注：int是integration(积分)的缩写  int(f, x, a, b)

求符号函数f关于变量x的定积分，a、b分别是积分下限和上限，a、b可以是函数表达式，也可以是无穷大inf或-inf  举例

 对于定积分，当系统求不出精确解时，如果被积函数中不含待定符号，可以使用vpa命令给出近似解 例如：  syms x  a=int(sin(sin(x)), 1, 2)  vpa(a)

说明：  参数方程求导和隐函数求导需要使用相关数学公式（见教材66-67页）  重积分、曲线积分与曲面积分需要使用数学方法转化为累次积分来计算

微积分的数值运算

微积分的数值运算特点

 采用数值算法，主要用于解决导数和定积分的近似计算问题  还可以解决离散数据的相关计算问题

 实例：某河床的横断面如图所示，试根据图示的测量数据(单位: m)，计算各测量点的坡度和横断面的面积。

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0

4 1

10 12 15 3

6

8

22 9

28 5

34 3

40

数值导数

 gradient(f, x)

该命令求一元函数 f 的数值导数f ’(x)

其中，x是自变量的一组取值(离散数据)，f是因变量的对应取值(离散数据) ，计算结果是各离散数据点的导数值(近似解)。

说明：

x的取值越密集，得到的导数值就越精确。 该命令常用于求解离散型数据的变化率。

 例：计算前例中的坡度

x=[0,4,10,12,15,22,28,34,40]; f=[0,-1,-3,-6,-8,-9,-5,-3,0]; fx=gradient(f,x)

 例：求函数y=x2sinx在区间[-3,3]的一阶和二阶数值导数，作出原函数与一、二阶导函数的图形，并观察函数的单调性、凹凸性、极值、拐点与一、二阶导数之间的关系。  x=-3:0.01:3; f=x.^2.*sin(x);

 fx=gradient(f,x)  fxx=gradient(fx,x)  plot(x,f, x,fx,'r--', x,fxx,'k--'), grid on

 思考：怎样求函数在指定点的数值导数？

比如：上面函数在x=1.5和x=1.501的数值导数是多少？  f(find(x==1.5)) 或者 f(x==1.5)  一般方法：[p,q]=min(abs(x-x0)); f(q)

数值偏导数

 [fx, fy]=gradient(f, x, y)

该命令求二元函数f的数值偏导数f ’x和f ’y

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其中，x, y 分别是自变量x和y的一组取值(向量表示) ；

f 是定义在x-y平面点集区域上的函数值(矩阵表示)，平面点集区域可以使用meshgrid命令生成；

fx和fy分别得到每个点处偏x和偏y的偏导数值(矩阵表示)。  说明：x和y的取值越密集，得到的偏导数值就越精确；该命令常用于求解离散型数据的方向导数、梯度、散度、旋度等。  举例

数值定积分

 梯形法数值积分：trapz(x, y)

 其中x 表示自变量在积分区间的一组取值，y 表示被积函数对应于x 的一组函数值。

 例：计算前面例题中的横断面积

x=[0,4,10,12,15,22,28,34,40]; y=[0,1,3,6,8,9,5,3,0]; s=trapz(x, y)

 例：求积分

 解：x=-1: 0.1: 1 ; y=exp(-x.^2) ; trapz(x,y)

 高精度数值积分：quad(f, a, b)或quadl(f, a, b)

 求函数f 在区间[a, b] 上的定积分，其中：f 使用字符串函数表达式或内联函数，定义函数的乘、除、乘方时要使用点运算 。积分限 a 、b 必须是常量 。

quad 采用自适应步长Simpson 积分法 quadl 采用高精度Lobatto 积分法

 例 求积分

 解：z=quadl('exp(-x.^2)', -1, 1)

 注意：trapz, quad, quadl都不能用于求反常积分。

数值重积分

 矩形区域上的二重积分和立方体区域上的三重积分： 二重积分命令 dblquad(f, a1, a2, b1, b2)

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f 为被积函数, 积分区域为矩形[a1, a2; b1, b2] 三重积分命令 triplequad(f, a1, a2, b1, b2 , c1, c2)

f 为被积函数, 积分区域为立方体[a1, a2; b1, b2; c1, c2]

说明：①被积函数使用字符串函数表达式或内联函数；②乘、除、乘方要用点运算；③积分限必须是常量；④f是字符串函数表达式时，积分的顺序按照自变量的字典顺序进行，f是内联函数时，积分的顺序按照自变量的定义顺序进行。

 积分顺序举例

 dblquad('sin(t./r.^2)',1,2,6,9)

即 二重积分 92tdtsin61r2dr

 f=inline('sin(t./r.^2)', 't', 'r')  dblquad(f,1,2,6,9)

即 二重积分 9

6dr21tsin2dtr微积分的数值运算

数值重积分

 例 计算重积分

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