2017年河南中考三角函数应用

2、（2015•河南）如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°，若坡角∠FAE=30°，求大树的高度（结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，≈1.73）

3、（2014•河南）在中俄“海上联合﹣2014”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30°，位于军舰A正上方1000米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68°，试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度．（结果保留整数，参考数据：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5，

1.7）

4、（2013•河南）我国南水北调中线工程的起点是丹江水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝土加高，使坝高由原来的162米增加到176.6米，以抬高蓄水位．如图是某一段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体的高为BE，背水坡坡角∠BAE=68°，新坝体的高

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为DE，背水坡坡角∠DCE=60°．求工程完工后背水坡坡底端水平方向增加的宽度AC（结果精确到0.1米．参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.50，

）．

5、2012•河南）某宾馆为庆祝开业，在楼前悬挂了许多宣传条幅．如图所示，一条幅从楼顶A处放下，在楼前点C处拉直固定．小明为了测量此条幅的长度，他先在楼前D处测得楼顶A点的仰角为31°，再沿DB方向前进16米到达E处，测得点A的仰角为45°．已知点C到大厦的距离BC=7米，∠ABD=90°．请根据以上数据求条幅的长度（结果保留整数．参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）．

6、2011•河南）如图所示，中原福塔（河南广播电视塔）是世界第﹣高钢塔．小明所在的课外活动小组在距地面268米高的室外观光层的点D处，测得地面上点B的俯角α为45°，点D到AO的距离DG为10米；从地面上的点B沿BO方向走50米到达点C处，测得塔尖A的仰角β为60°．请你根据以上数据计算塔高AO，并求出计算结果与实际塔高388米之间的误差．（参考数据：≈1.732，≈1.414．结果精确到0.1米）

7、(9分)如图所示，电工李师傅借助梯子安装天花板上距地面2 .90m的顶灯.已知梯子由两个相同的矩形面组成，每个矩形面的长都被六条踏板七等分，使用时梯脚的固定跨度为1m．矩形面与地面所成的角α为78°.李师傅的身高为l.78m，当他攀升到头顶距天花板0.05～0.20m时，安装起来比较方便.他现在竖直站立在梯子的第三级踏板上，请你通过计

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算判断他安装是否比较方便?

(参考数据：sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4.70.)

8、

9、如图，在小山的西侧A处有一热气球，以30米/分钟的速度沿着与垂直方向所成夹角为30°的方向升空，40分钟后到达C处，这时热气球上的人发现，在A处的正东方向有一处着火点B，十分钟后，在D处测得着火点B的俯角为15°，求热气球升空点A与着火点B的距离。（结果保留根号，参考数据：

(

sin15624，

cos15624，

tan1523，cot1523）。

3

10、（9分）如图所示，A、B两地之间有一条河，原来从A地到B地需要经过DC，沿折线A→D→C→B到达，现在新建了桥EF，可直接沿直线AB从A地到达B地．一直BC=11km， ∠A=45°，∠B=37°．桥DC和AB平行，则现在从A地到达B地可比原来少走多少路程？（结果精确到0.1km．参考数据：21.41，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）

A45°DCEF37°B

11、请你画出一个以BC为底边的等腰△ABC，使底边上的高AD = BC． （1）求tan B和sinB的值；

（2）在你所画的等腰△ABC中，假设底边BC = 5米，求腰上的高BE． ．．

12、如图，山顶建有一座铁塔，塔高BC80米，测量人员在一个小山坡的P处测得塔的底部B点的仰角为45，塔顶C点的仰角为60．已测得小山坡的坡角为30，坡长MP40米．求山的高度AB（精确到1米）．（参考数据：21.414，31.732）

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答案

1、【分析】通过解直角△BCD和直角△ACD分别求得BD、CD以及AD的长度，则易得AB的长度，则根据题意得到整个过程中旗子上升高度，由“速度=

”进行解答

即可．

【解答】解：在Rt△BCD中，BD=9米，∠BCD=45°，则BD=CD=9米．

在Rt△ACD中，CD=9米，∠ACD=37°，则AD=CD•tan37°≈9×0.75=6.75（米）． 所以，AB=AD+BD=15.75米，

整个过程中旗子上升高度是：15.75﹣2.25=13.5（米）， 因为耗时45s， 所以上升速度v=

=0.3（米/秒）．

答：国旗应以0.3米/秒的速度匀速上升．

2、【分析】根据矩形性质得出DG=CH，CG=DH，再利用锐角三角函数的性质求出问题即可． 【解答】解：如图，过点D作DG⊥BC于G，DH⊥CE于H， 则四边形DHCG为矩形． 故DG=CH，CG=DH， 在直角三角形AHD中， ∵∠DAH=30°，AD=6， ∴DH=3，AH=3， ∴CG=3， 设BC为x，

在直角三角形ABC中，AC=∴DG=3

+

，BG=x﹣3，

=

，

在直角三角形BDG中，∵BG=DG•tan30°， ∴x﹣3=（3

+

）

解得：x≈13，

∴大树的高度为：13米． 3、【分析】过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深度，分别在Rt△ACD中表示出CD和在Rt△BCD中表示出BD，从而利用二者之间的关系列出方程求解．

【解答】解：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深度， 根据题意得：∠ACD=30°，∠BCD=68°，

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设AD=x，则BD=BA+AD=1000+x， 在Rt△ACD中，CD=

=

=

，

在Rt△BCD中，BD=CD•tan68°， ∴1000+x=x•tan68° 解得：x=

≈

≈308米，

∴潜艇C离开海平面的下潜深度为308米．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从题目中抽象出直角三角形并选择合适的边角关系求解． 4、【分析】在Rt△BAE中，根据BE=162米，∠BAE=68°，解直角三角形求出AE的长度，然后在Rt△DCE中解直角三角形求出CE的长度，然后根据AC=CE﹣AE求出AC的长度即可．

【解答】解：在Rt△BAE中， ∵BE=162米，∠BAE=68°， ∴AE=

=

=.8（米），

在Rt△DCE中，

∵DE=176.6米，∠DCE=60°， ∴CE=

=

=

≈102.1（米），

则AC=CE﹣AE=102.1﹣.8=37.3（米）．

答：工程完工后背水坡坡底端水平方向增加的宽度AC约为37.3米．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形并解直角三角形． 5、【分析】设AB=x米．根据∠AEB=45°，∠ABE=90°得到BE=AB=x，然后在Rt△ABD中得到tan31°=

．求得x=24．然后在Rt△ABC中，利用勾股定理求得AC即可．

【解答】解：设AB=x米． ∵∠AEB=45°，∠ABE=90°，

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∴BE=AB=x米

在Rt△ABD中，tan∠D=即tan31°=∴x=

即AB≈24米 在Rt△ABC中， AC=

≈

=25米．

． ≈

=24． ，

答：条幅的长度约为25米． 6、【分析】先作DF⊥BO于点F，根据DE∥BO，α=45°可判断出△DBF是等腰直角三角形，进而可得出BF的值，再根据四边形DFOG是矩形可求出FO与CO的值，在Rt△ACO中利用锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值可求出AO的长，进而可得出其误差． 【解答】解：作DF⊥BO于点F， ∵DE∥BO，α=45°， ∴∠DBF=α=45°，

∴Rt△DBF中，BF=DF=268，（2分） ∵BC=50，

∴CF=BF﹣BC=268﹣50=218， 由题意知四边形DFOG是矩形， ∴FO=DG=10，

∴CO=CF+FO=218+10=228，（5分） 在Rt△ACO中，β=60°，

∴AO=CO•tan60°≈228×1.732=394.6，（7分） ∴误差为394.6﹣388=6.6≈6.9．（米）． 即计算结果与实际高度的误差约为6.9米．（9分）

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，涉及到的知识点为：等腰直角三角形的判定与性质、矩形的性质、锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，熟知以上知识是解答此题的关键．

7、过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F．

∵AB=AC, ∴CE=

1BC=0.5． 2AE， EC0

在Rt△ABC和Rt△DFC中， ∵tan78=

0

∴AE=EC×tan78 0.5×4.70=2.35.

7

又∵sinα=

AEDF=， ACDCDF=

DC3·AE=×AE1.007． AC7李师傅站在第三级踏板上时，头顶距地面高度约为： 1.007+1.78=2.787．

头顶与天花板的距离约为：2.90-2.7870.11． ∵0.05＜0.11＜0.20，

∴它安装比较方便．

10、解：由题意可知，AD＝(40＋10)×30＝1500（米） 过点D作DH⊥BA，交BA延长线于点H。· 在Rt△DAH中，DH＝AD·sin60° ＝1500×

3＝7503（米）。 2AH＝AD·cos60°＝1500×在Rt△DBH中，

1＝750（米）。 2BH＝DH·cot15°＝7503×(2＋3)＝（15003＋2250）（米） ∴BA＝BH－AH＝15003＋2250－750＝1500（3＋1）（米） 答：热气球升空点A与着火点B的距离为1500（3＋1）（米）

11、解：如图，正确画出图形．

（1）∵AB = AC，AD⊥BC，AD = BC， ∴BD∴AB11BCAD．即 AD = 2BD． 22BD2AD25BD．

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∴tanBAD2， BDAD25． AB5A

sinB （2）作BE⊥AC于E． 在Rt△BEC中，sinCsinABC又∵sinC25． 5E BE， BCB ∴

25BE． 55D

C

故BE25（米）．

12、解：如图，过点P作PE⊥AM于E，PF⊥AB于F． 在Rt△PME中，∠PME30，PM40，PE20． 四边形AEPF是矩形，FAPE20．

设BFx米．

C

∠FPB45，

FPBFx．

∠FPC60，

CFPFtan603x．

B

CB80，

80x3x．

F A

P M E

AB40解得x403120604031．

3129（米）．

答：山高AB约为129米．

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