2018年全国统一高考数学试卷理科新课标ⅲ含解析版

C．D．

4．（5分）若sinα=，则cos2α=（　　） A． B． C．﹣ D．﹣ 5．（5分）（x2+）5的展开式中x4的系数为（　　） A．10 B．20 C．40 D．80 2+y2=26．（5分）直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）

上，则△ABP面积的取值范围是（　　） 第1页（共32页） ”“

A．[2，6] B．[4，8] C．[，3] D．[2，3] 7．（5分）函数y=﹣x4+x2+2的图象大致为（　　） A．B．

C．D．

8．（5分）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4，P（x=4）＜P（X=6），则p=（　　）A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3 9．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为

，则C=（　　）

A．

B．

C．

D．

10．（5分）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为9A．12

，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（　　） B．18C．24﹣

D．

11．（5分）设F1，F2是双曲线C：

=1（a＞0．b＞0）的左，右焦点，O

|OP|，

是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|=则C的离心率为（　　） A．

B．2 C．

第2页（共32页） D．

”“

12．（5分）设a=log0.20.3，b=log20.3，则（　　） A．a+b＜ab＜0 　 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．（5分）已知向量=（1，2），=（2，﹣2），=（1，λ）．若∥（2+），则λ=　 　． 14．（5分）曲线y=（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，则a=　 　． 15．（5分）函数f（x）=cos（3x+

）在[0，π]的零点个数为　 　． B．ab＜a+b＜0 C．a+b＜0＜ab D．ab＜0＜a+b

16．（5分）已知点M（﹣1，1）和抛物线C：y2=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB=90°，则k= 　 　． 　 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。 17．（12分）等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3．（1）求{an}的通项公式； （2）记Sn为{an}的前n项和．若Sm=63，求m． 第3页（共32页） ”“

18．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图： （1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由； （2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表： 超过m 第一种生产方式 第二种生产方式 （3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：K2=

P（K2≥k） k ， 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 不超过m 第4页（共32页） ”“

19．（12分）如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧垂直，M是

上异于C，D的点．

所在平面

（1）证明：平面AMD⊥平面BMC； （2）当三棱锥M﹣ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值． 20．（12分）已知斜率为k的直线l与椭圆C：AB的中点为M（1，m）（m＞0）．（1）证明：k＜﹣； （2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且|

|成等差数列，并求该数列的公差． +

+=1交于A，B两点，线段

+=．证明：||，||，

21．（12分）已知函数f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）﹣2x． （1）若a=0，证明：当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0；当x＞0时，f（x）＞0；（2）若x=0是f（x）的极大值点，求a． 第5页（共32页） ”“

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为参数），过点（0，﹣（1）求α的取值范围； （2）求AB中点P的轨迹的参数方程． ，（θ为

）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．

　 [选修4-5：不等式选讲]（10分）23．设函数f（x）=|2x+1|+|x﹣1|．（1）画出y=f（x）的图象； （2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，求a+b的最小值． 第6页（共32页） ”“

　 第7页（共32页） ”“

2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ） 参与试题解析 　 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）已知集合A={x|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=（　　） A．{0} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2} 【考点】1E：交集及其运算．

【专题】37：集合思想；4A：数学模型法；5J：集合． 【分析】求解不等式化简集合A，再由交集的运算性质得答案． 【解答】解：∵A={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，B={0，1，2}，∴A∩B={x|x≥1}∩{0，1，2}={1，2}． 故选：C． 【点评】本题考查了交集及其运算，是基础题． 　 2．（5分）（1+i）（2﹣i）=（　　） A．﹣3﹣i B．﹣3+i C．3﹣i D．3+i 【考点】A5：复数的运算．

【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：（1+i）（2﹣i）=3+i．故选：D． 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．　 第8页（共32页） ”“

3．（5分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（　　） A．B．

C．D．

【考点】L7：简单空间图形的三视图．

【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】直接利用空间几何体的三视图的画法，判断选项的正误即可． 【解答】解：由题意可知，如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，小的长方体，是榫头，从图形看出，轮廓是长方形，内含一个长方形，并且一条边重合，另外3边是虚线，所以木构件的俯视图是A． 故选：A． 【点评】本题看出简单几何体的三视图的画法，是基本知识的考查． 　 4．（5分）若sinα=，则cos2α=（　　） A． B． C．﹣ 第9页（共32页） D．﹣ ”“

【考点】GS：二倍角的三角函数．

【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；56：三角函数的求值．【分析】cos2α=1﹣2sin2α，由此能求出结果． 【解答】解：∵sinα=， ∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=． 故选：B． 【点评】本题考查二倍角的余弦值的求法，考查二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 　 5．（5分）（x2+）5的展开式中x4的系数为（　　） A．10 B．20 C．40 D．80 【考点】DA：二项式定理．

【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5P：二项式定理． 【分析】由二项式定理得（x2+）5的展开式的通项为：Tr+1=

（x2）5﹣r（）r=

5的展开式中x4的，由10﹣3r=4，解得r=2，由此能求出（x2+）

系数． 【解答】解：由二项式定理得（x2+）5的展开式的通项为： Tr+1=

（x2）5﹣r（）r=

， 由10﹣3r=4，解得r=2， ∴（x2+）5的展开式中x4的系数为故选：C． 【点评】本题考查二项展开式中x4的系数的求法，考查二项式定理、通项公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 　 第10页（共32页） =40． ”“

2+y2=26．（5分）直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）

上，则△ABP面积的取值范围是（　　） A．[2，6] B．[4，8] C．[

，3

] D．[2

，3

] 【考点】J9：直线与圆的位置关系．

【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5B：直线与圆．【分析】求出A（﹣2，0），B（0，﹣2），|AB|=2

，设P（2+

，

=

），点P到直线x+y+2=0的距离：d=

∈[]，由此能求出△ABP面积的取值范围． 【解答】解：∵直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，∴令x=0，得y=﹣2，令y=0，得x=﹣2， ∴A（﹣2，0），B（0，﹣2），|AB|=∵点P在圆（x﹣2）2+y2=2上，∴设P（2+∴点P到直线x+y+2=0的距离： d=

=

， =2

， ，

）， ∵sin（）∈[﹣1，1]，∴d=∈[]， ∴△ABP面积的取值范围是：[

故选：A． 【点评】本题考查三角形面积的取值范围的求法，考查直线方程、点到直线的距离公式、圆的参数方程、三角函数关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 　 7．（5分）函数y=﹣x4+x2+2的图象大致为（　　） 第11页（共32页） ，]=[2，6]． ”“

A．

B．

C．

D．

【考点】3A：函数的图象与图象的变换．

【专题】38：对应思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用． 【分析】根据函数图象的特点，求函数的导数利用函数的单调性进行判断即可．【解答】解：函数过定点（0，2），排除A，B．函数的导数f′（x）=﹣4x3+2x=﹣2x（2x2﹣1）， 由f′（x）＞0得2x（2x2﹣1）＜0， 第12页（共32页） ”“

得x＜﹣或0＜x＜，此时函数单调递增， 由f′（x）＜0得2x（2x2﹣1）＞0， 得x＞

或﹣

＜x＜0，此时函数单调递减，排除C， 也可以利用f（1）=﹣1+1+2=2＞0，排除A，B，故选：D． 【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数过定点以及判断函数的单调性是解决本题的关键． 　 8．（5分）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4，P（x=4）＜P（X=6），则p=（　　）A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3 【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．

【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计． 【分析】利用已知条件，转化为二项分布，利用方差转化求解即可． 【解答】解：某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，看做是重复事件，满足X～B（10，p）， P（x=4）＜P（X=6），可得p

． ，可得1﹣2p＜0．即

因为DX=2.4，可得10p（1﹣p）=2.4，解得p=0.6或p=0.4（舍去）．故选：B． 【点评】本题考查离散型离散型随机变量的期望与方差的求法，重复事件的应用，考查转化思想以及计算能力． 　 9．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为

第13页（共32页） ”“

，则C=（　　） A．

B．

C．

D．

【考点】HR：余弦定理．

【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．【分析】推导出S△ABC=能求出结果． 【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．△ABC的面积为∴S△ABC=∴sinC=

∵0＜C＜π，∴C=故选：C． 【点评】本题考查三角形内角的求法，考查余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 　 10．（5分）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为9A．12

=，从而sinC==cosC，由此

， ==cosC，． ， ，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（　　） B．18C．24

D．

【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LG：球的体积和表面积．

【专题】11：计算题；31：数形结合；34：方程思想；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离． 【分析】求出，△ABC为等边三角形的边长，画出图形，判断D的位置，然后求解即可． 【解答】解：△ABC为等边三角形且面积为9

，可得

，解得AB=6

第14页（共32页） ”“

， 球心为O，三角形ABC 的外心为O′，显然D在O′O的延长线与球的交点如图： O′C=

=

，OO′=

=2， 则三棱锥D﹣ABC高的最大值为：6，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为：故选：B． =18

． 【点评】本题考查球的内接多面体，棱锥的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力． 　 11．（5分）设F1，F2是双曲线C：

﹣

=1（a＞0．b＞0）的左，右焦点，O

|OP|，

是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|=则C的离心率为（　　） A．

B．2 C．

D．

【考点】KC：双曲线的性质．

【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】先根据点到直线的距离求出|PF2|=b，再求出|OP|=a，在三角形F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2|•|F1F2|cos∠PF2O，代值化简整理可得

a=c，问题得以解决． ﹣

=1（a＞0．b＞0）的一条渐近线方程为y=x， 【解答】解：双曲线C：

第15页（共32页） ”“

∴点F2到渐近线的距离d=∴|OP|=∵|PF1|=∴|PF1|=

|OP|，a， =

=b，即|PF2|=b， =a，cos∠PF2O=， 在三角形F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2|•|F1F2|COS∠PF2O， ∴6a2=b2+4c2﹣2×b×2c×=4c2﹣3b2=4c2﹣3（c2﹣a2）， 即3a2=c2， 即

a=c，

， ∴e==

故选：C． 【点评】本题考查了双曲线的简单性质，点到直线的距离公式，余弦定理，离心率，属于中档题． 　 12．（5分）设a=log0.20.3，b=log20.3，则（　　） A．a+b＜ab＜0 B．ab＜a+b＜0 C．a+b＜0＜ab D．ab＜0＜a+b 【考点】4M：对数值大小的比较．

【专题】33：函数思想；48：分析法；51：函数的性质及应用．【分析】直接利用对数的运算性质化简即可得答案． 【解答】解：∵a=log0.20.3=

，b=log20.3=

， ∴=， ， ∵

，

， 第16页（共32页） ”“

∴ab＜a+b＜0．故选：B． 【点评】本题考查了对数值大小的比较，考查了对数的运算性质，是中档题．　 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．（5分）已知向量=（1，2），=（2，﹣2），=（1，λ）．若∥（2+），则λ=　　． 【考点】96：平行向量（共线）；9J：平面向量的坐标运算．

【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用．【分析】利用向量坐标运算法则求出出λ的值． 【解答】解：∵向量=（1，2），=（2，﹣2）， ∴

=（4，2）， =（4，2），再由向量平行的性质能求

∵=（1，λ），∥（2+），∴

， 解得λ=． 故答案为：． 【点评】本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 　 14．（5分）曲线y=（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，则a=　﹣3　． 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．

【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；53：导数的综合应用． 第17页（共32页） ”“

【分析】球心函数的导数，利用切线的斜率列出方程求解即可．【解答】解：曲线y=（ax+1）ex，可得y′=aex+（ax+1）ex， 曲线y=（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2， 可得：a+1=﹣2，解得a=﹣3．故答案为：﹣3． 【点评】本题考查函数的导数的应用切线的斜率的求法，考查转化思想以及计算能力． 　 15．（5分）函数f（x）=cos（3x+

）在[0，π]的零点个数为　3　． 【考点】51：函数的零点．

【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；57：三角函数的图像与性质． 【分析】由题意可得f（x）=cos（3x+

+kπ，即可求出． 【解答】解：∵f（x）=cos（3x+∴3x+∴x=

=

+kπ，k∈Z， ）=0， ）=0，可得3x+

=

+kπ，k∈Z，即x=

+kπ，k∈Z，

，

当k=0时，x=

当k=1时，x=π，当k=2时，x=π，当k=3时，x=∵x∈[0，π]，∴x=

，或x=π，或x=π， π，

故零点的个数为3， 第18页（共32页） ”“

故答案为：3 【点评】本题考查了余弦函数的图象和性质以及函数零点的问题，属于基础题．　 16．（5分）已知点M（﹣1，1）和抛物线C：y2=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB=90°，则k= 　2　． 【考点】K8：抛物线的性质；KN：直线与抛物线的综合．

【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】由已知可求过A，B两点的直线方程为y=k（x﹣1），然后联立直线与抛物线方程组可得，k2x2﹣2（2+k2）x+k2=0，可表示x1+x2，x1x2，y1+y2，y1y2，由∠AMB=90°，向量的数量积为0，代入整理可求k．【解答】解：∵抛物线C：y2=4x的焦点F（1，0），∴过A，B两点的直线方程为y=k（x﹣1）， 联立

可得，k2x2﹣2（2+k2）x+k2=0， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则 x1+x2=

，x1x2=1， ∴y1+y2=k（x1+x2﹣2）=，y1y2=k2（x1﹣1）（x2﹣1）=k2[x1x2﹣（x1+x2）+1]=﹣4，

∵M（﹣1，1）， ∴

=（x1+1，y1﹣1），

•

=0 =（x2+1，y2﹣1）， ∵∠AMB=90°，∴

∴（x1+1）（x2+1）+（y1﹣1）（y2﹣1）=0， 第19页（共32页） ”“

整理可得，x1x2+（x1+x2）+y1y2﹣（y1+y2）+2=0，∴1+2+

﹣4﹣+2=0， 即k2﹣4k+4=0，∴k=2． 故答案为：2 【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的相交关系的应用，解题的难点是本题具有较大的计算量． 　 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。 17．（12分）等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3．（1）求{an}的通项公式； （2）记Sn为{an}的前n项和．若Sm=63，求m． 【考点】：等比数列的前n项和．

【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；：等差数列与等比数列．【分析】（1）利用等比数列通项公式列出方程，求出公比q=±2，由此能求出{an}的通项公式．（2）当a1=1，q=﹣2时，Sn=

，由Sm=63，得Sm=

=63，m∈N，

无解；当a1=1，q=2时，Sn=2n﹣1，由此能求出m．【解答】解：（1）∵等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3． ∴1×q4=4×（1×q2），解得q=±2， 当q=2时，an=2n﹣1， 当q=﹣2时，an=（﹣2）n﹣1， ∴{an}的通项公式为，an=2n﹣1，或an=（﹣2）n﹣1． 第20页（共32页） ”“

（2）记Sn为{an}的前n项和． 当a1=1，q=﹣2时，Sn=由Sm=63，得Sm=当a1=1，q=2时，Sn=

=

=

， =63，m∈N，无解； =

=2n﹣1， 由Sm=63，得Sm=2m﹣1=63，m∈N， 解得m=6． 【点评】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．　 18．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图： （1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由； （2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表： 超过m 第一种生产方式 第二种生产方式 （3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？ 第21页（共32页） 不超过m ”“

附：K2=

P（K2≥k） k ， 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 【考点】BL：性检验．

【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5I：概率与统计． 【分析】（1）根据茎叶图中的数据判断第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高； （2）根据茎叶图中的数据计算它们的中位数，再填写列联表；（3）列联表中的数据计算观测值，对照临界值得出结论． 【解答】解：（1）根据茎叶图中的数据知， 第一种生产方式的工作时间主要集中在72～92之间， 第二种生产方式的工作时间主要集中在65～85之间， 所以第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高； （2）这40名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后，排在中间的两个数据是79和81，计算它们的中位数为m=由此填写列联表如下； 超过m 第一种生产方式 第二种生产方式 总计 15 5 20 不超过m 5 15 20 总计 20 20 40 =80； （3）根据（2）中的列联表，计算K2=

=

=10＞6.635，

∴能有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异． 【点评】本题考查了列联表与性检验的应用问题，是基础题．　 19．（12分）如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧

第22页（共32页） 所在平面

”“

垂直，M是上异于C，D的点．

（1）证明：平面AMD⊥平面BMC； （2）当三棱锥M﹣ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值． 【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．

【专题】35：转化思想；4R：转化法；5F：空间位置关系与距离；5H：空间向量及应用． 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理证明MC⊥平面ADM即可． （2）根据三棱锥的体积最大，确定M的位置，建立空间直角坐标系，求出点的坐标，利用向量法进行求解即可． 【解答】解：（1）证明：在半圆中，DM⊥MC， ∵正方形ABCD所在的平面与半圆弧∴AD⊥平面DCM，则AD⊥MC， ∵AD∩DM=D， ∴MC⊥平面ADM， ∵MC⊂平面MBC， ∴平面AMD⊥平面BMC． （2）∵△ABC的面积为定值， ∴要使三棱锥M﹣ABC体积最大，则三棱锥的高最大，此时M为圆弧的中点， 建立以O为坐标原点，如图所示的空间直角坐标系如图∵正方形ABCD的边长为2， ∴A（2，﹣1，0），B（2，1，0），M（0，0，1）， 则平面MCD的法向量=（1，0，0）， 第23页（共32页） 所在平面垂直， ”“

设平面MAB的法向量为=（x，y，z） 则

=（0，2，0），=2y=0，•

=（﹣2，1，1）， 由•=﹣2x+y+z=0， 令x=1， 则y=0，z=2，即=（1，0，2）， 则cos＜，＞=

=

=

， =

． 则面MAB与面MCD所成二面角的正弦值sinα=

【点评】本题主要考查空间平面垂直的判定以及二面角的求解，利用相应的判定定理以及建立坐标系，利用向量法是解决本题的关键． 　 20．（12分）已知斜率为k的直线l与椭圆C：AB的中点为M（1，m）（m＞0）．（1）证明：k＜﹣； （2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且|

|成等差数列，并求该数列的公差． +

+

=．证明：|

|，|

|，

+

=1交于A，B两点，线段

【考点】K3：椭圆的标准方程；KL：直线与椭圆的综合．

【专题】35：转化思想；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题． 第24页（共32页） ”“

【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法得6（x1﹣x2）+8m（y1﹣y2

）=0，k=

=﹣

=﹣

又点M（1，m）在椭圆内，即得k＜﹣， ，解得m的取值范围，即可

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），可得x1+x2=2 由

+

+

=，可得x3﹣1=0，由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a﹣ex1=2﹣x1，

|FB|=2﹣x2，|FP|=2﹣x3=．即可证明|FA|+|FB|=2|FP|，求得A，B坐标再求公差． 【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），∵线段AB的中点为M（1，m）， ∴x1+x2=2，y1+y2=2m 将A，B代入椭圆C：

+

=1中，可得 ， 两式相减可得，3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0， 即6（x1﹣x2）+8m（y1﹣y2）=0， ∴k=

=﹣

=﹣

点M（1，m）在椭圆内，即解得0＜m∴

． ， （2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），可得x1+x2=2， ∵

+

+

=，F（1，0），∴x1﹣1+x2﹣1+x3﹣1=0，y1+y2+y3=0， 第25页（共32页） ”“

∴x3=1，y3=﹣（y1+y2）=﹣2m ∵m＞0，可得P在第四象限，故y3=﹣，m=，k=﹣1 由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a﹣ex1=2﹣x1，|FB|=2﹣x2，|FP|=2﹣x3=． 则|FA|+|FB|=4﹣

，∴|FA|+|FB|=2|FP|， 联立

，可得|x1﹣x2|=

所以该数列的公差d满足2d=∴该数列的公差为±

． |x1﹣x2|=

， 【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查了点差法、焦半径公式，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用与计算能力的考查．属于中档题． 　 21．（12分）已知函数f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）﹣2x． （1）若a=0，证明：当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0；当x＞0时，f（x）＞0；（2）若x=0是f（x）的极大值点，求a． 【考点】6D：利用导数研究函数的极值．

【专题】34：方程思想；35：转化思想；48：分析法；53：导数的综合应用．【分析】（1）对函数f（x）两次求导数，分别判断f′（x）和f（x）的单调性，结合f（0）=0即可得出结论； （2）令h（x）为f′（x）的分子，令h″（0）计算a，讨论a的范围，得出f（x）的单调性，从而得出a的值． 【解答】（1）证明：当a=0时，f（x）=（2+x）ln（1+x）﹣2x，（x＞﹣1）． ，

， 可得x∈（﹣1，0）时，f″（x）≤0，x∈（0，+∞）时，f″（x）≥0 第26页（共32页） ”“

∴f′（x）在（﹣1，0）递减，在（0，+∞）递增，∴f′（x）≥f′（0）=0， ∴f（x）=（2+x）ln（1+x）﹣2x在（﹣1，+∞）上单调递增，又f（0）=0． ∴当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0；当x＞0时，f（x）＞0． （2）解：由f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）﹣2x，得 f′（x）=（1+2ax）ln（1+x）+

﹣2=

， 令h（x）=ax2﹣x+（1+2ax）（1+x）ln（x+1）， h′（x）=4ax+（4ax+2a+1）ln（x+1）． 当a≥0，x＞0时，h′（x）＞0，h（x）单调递增， ∴h（x）＞h（0）=0，即f′（x）＞0， ∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，故x=0不是f（x）的极大值点，不符合题意． 当a＜0时，h″（x）=8a+4aln（x+1）+显然h″（x）单调递减， ①令h″（0）=0，解得a=﹣． ∴当﹣1＜x＜0时，h″（x）＞0，当x＞0时，h″（x）＜0， ∴h′（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，∴h′（x）≤h′（0）=0， ∴h（x）单调递减，又h（0）=0， ∴当﹣1＜x＜0时，h（x）＞0，即f′（x）＞0， 当x＞0时，h（x）＜0，即f′（x）＜0， ∴f（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，∴x=0是f（x）的极大值点，符合题意； ②若﹣＜a＜0，则h″（0）=1+6a＞0，h″（e

﹣1）=（2a﹣1）（1﹣e

， 第27页（共32页） ”“

）＜0， ∴h″（x）=0在（0，+∞）上有唯一一个零点，设为x0， ∴当0＜x＜x0时，h″（x）＞0，h′（x）单调递增，∴h′（x）＞h′（0）=0，即f′（x）＞0， ∴f（x）在（0，x0）上单调递增，不符合题意； ③若a＜﹣，则h″（0）=1+6a＜0，h″（

﹣1）=（1﹣2a）e2＞0， ∴h″（x）=0在（﹣1，0）上有唯一一个零点，设为x1，∴当x1＜x＜0时，h″（x）＜0，h′（x）单调递减， ∴h′（x）＞h′（0）=0，∴h（x）单调递增，∴h（x）＜h（0）=0，即f′（x）＜0， ∴f（x）在（x1，0）上单调递减，不符合题意．综上，a=﹣． 【点评】本题考查了导数与函数单调性的关系，函数单调性与极值的计算，零点的存在性定理，属于难题． 　 （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为参数），过点（0，﹣（1）求α的取值范围； （2）求AB中点P的轨迹的参数方程． ，（θ为

）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．

【考点】QK：圆的参数方程．

【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）⊙O的普通方程为x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1，当α=时，直线l的方程为x=0，成立；当α≠α的直线l的方程为y=tanα•x+

时，过点（0，﹣

）且倾斜角为

，从而圆心O（0，0）到直线l的距离d=

第28页（共32页） ”“

＜1，进而求出

取值范围． （2）设直线l的方程为x=m（y+y2+2

或，由此能求出α的

），联立，得（m2+1）

+2m2﹣1=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式能求出AB中点P

的轨迹的参数方程． 【解答】解：（1）∵⊙O的参数方程为

（θ为参数），

∴⊙O的普通方程为x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1， 当α=当α≠

时，过点（0，﹣时，过点（0，﹣

）且倾斜角为α的直线l的方程为x=0，成立； ）且倾斜角为α的直线l的方程为y=tanα•x﹣

， ∵倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点，∴圆心O（0，0）到直线l的距离d=∴tan2α＞1，∴tanα＞1或tanα＜﹣1，∴

或

，

， ）． ）， ＜1， 综上α的取值范围是（

（2）由（1）知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=m（y+设A（x1，y1），（B（x2，y2），P（x3，y3）， 联立

，得（m2+1）y2+2

+2m2﹣1=0， ， =﹣+2， 第29页（共32页） ”“

=，=﹣， ∴AB中点P的轨迹的参数方程为，（m为参数），（﹣1＜m＜1）． 【点评】本题考查直线直线的倾斜角的取值范围的求法，考查线段的中点的参数方程的求法，考查参数方程、直角坐标方和、韦达定理、中点坐标公式等基础知识，考查数形结合思想的灵活运用，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 　 [选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．设函数f（x）=|2x+1|+|x﹣1|．（1）画出y=f（x）的图象； （2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，求a+b的最小值． 【考点】3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；5B：分段函数的应用．

【专题】31：数形结合；4R：转化法；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用． 【分析】（1）利用分段函数的性质将函数表示为分段函数形式进行作图即可．（2）将不等式恒成立转化为图象关系进行求解即可． 第30页（共32页） ”“

【解答】解：（1）当x≤﹣时，f（x）=﹣（2x+1）﹣（x﹣1）=﹣3x， 当﹣＜x＜1，f（x）=（2x+1）﹣（x﹣1）=x+2， 当x≥1时，f（x）=（2x+1）+（x﹣1）=3x， 则f（x）=对应的图象为： 画出y=f（x）的图象；

（2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b， 当x=0时，f（0）=2≤0•a+b，∴b≥2， 当x＞0时，要使f（x）≤ax+b恒成立， 则函数f（x）的图象都在直线y=ax+b的下方或在直线上， ∵f（x）的图象与y轴的交点的纵坐标为2，且各部分直线的斜率的最大值为3， 故当且仅当a≥3且b≥2时，不等式f（x）≤ax+b在[0，+∞）上成立，即a+b的最小值为5． 第31页（共32页） ”“

【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用不等式和函数之间的关系利用数形结合是解决本题的关键． 　

第32页（共32页） ”“