2018年高中数学北师大版必修五达标练习：第1章 §2-2.1 第2课时 等差数列的性质

[A 基础达标]

1．已知等差数列{an}中，a2＋a4＝6，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝( ) A．30 C．56

B．15 D．106

解析：选B.因为数列{an}为等差数列， 55

所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝(a2＋a4)＝×6＝15.

22

2．等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程：x2＋(a4＋a6)x＋10＝0( ) A．无实根 C．有两个不等实根

B．有两个相等实根 D．不能确定有无实根

解析：选A.由于a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，即3a5＝9， 所以a5＝3，方程为x2＋6x＋10＝0，无实数解．

3．已知{an}，{bn}是两个等差数列，其中a1＝3，b1＝－3，且a20－b20＝6，那么a10－b10的值为( ) A．－6 C．0

B．6 D．10

解析：选B.由于{an}，{bn}都是等差数列， 所以{an－bn}也是等差数列， 而a1－b1＝6，a20－b20＝6，

所以{an－bn}是常数列，故a10－b10＝6.故选B.

4．已知{an}是公差为正数的等差数列，a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13的值为( ) A．105 C．90

B．120 D．75

解析：选A.由a1＋a2＋a3＝15，得a2＝5，所以a1＋a3＝10.又a1a2a3＝80，所以a1a3＝16，所以a1＝2，a3＝8或a1＝8，a3＝2.又等差数列{an}的公差为正数，所以{an}是递增数列，所以a1＝2，a3＝8，所以等差数列{an}的公差d＝a2－a1＝5－2＝3，所以a11＋a12＋a13＝3a12＝3(a1＋11d)＝105.

5．若数列{an}为等差数列，ap＝q，aq＝p(p≠q)，则ap＋q等于( ) A．p＋q C．－(p＋q)

B．0 p＋q

D．

2

解析：选B.设等差数列{an}的公差为d. 因为ap＝aq＋(p－q)d，所以q＝p＋(p－q)d， 即q－p＝(p－q)d，因为p≠q，所以d＝－1.

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故ap＋q＝ap＋[(p＋q)－p]d＝q＋(－1)q＝0.

6．在等差数列{an}中，已知am＋n＝A，am－n＝B，则am＝________．

解析：因为m－n，m，m＋n成等差数列，又因为{an}是等差数列，所以am－n，am，am＋n成A＋B

等差数列，所以am＝.

2A＋B答案：

2

7．在等差数列{an}中，a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝________．

解析：在等差数列{an}中，a5＋a6＝4，所以a1＋a10＝a2＋a9＝a3＋a8＝a4＋a7＝a5＋a6＝4，所以a1＋a2＋…＋a10＝(a1＋a10)＋(a2＋a9)＋(a3＋a8)＋(a4＋a7)＋(a5＋a6)＝5(a5＋a6)＝20，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝log22a1＋a2＋…＋a10＝a1＋a2＋…＋a10＝20. 答案：20

anan＋1在直线x－y＋1＝0上，则a＝________． 8．已知数列{an}满足a1＝1，若点n，n

n＋1

anan＋1

解析：由题设可得－＋1＝0，

nn＋1即

an＋1ananan

－＝1，所以数列n是以1为公差的等差数列，且首项为1，故通项公式＝n，

nn＋1n

所以an＝n2. 答案：n2

9．首项为a1，公差d为正整数的等差数列{an}满足下列两个条件： (1)a3＋a5＋a7＝93；

(2)满足an>100的n的最小值是15， 试求公差d和首项a1的值． 解：因为a3＋a5＋a7＝93， 所以3a5＝93，所以a5＝31，

69

所以an＝a5＋(n－5)d>100，所以n>＋5.

d69

因为n的最小值是15，所以14≤＋5<15，

d92所以6103

又d为正整数，所以d＝7，a1＝a5－4d＝3.

10．一个等差数列的首项是8，公差是3；另一个等差数列的首项是12，公差是4，这两个数列有公共项吗？如果有，求出最小的公共项，并指出它分别是两个数列的第几项． 解：首项是8，公差是3的等差数列的通项公式为an＝3n＋5；首项是12，公差是4的等差数列的通项公式为bm＝4m＋8.

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根据公共项的意义，就是两项相等，令an＝bm，

4m

即n＝＋1，该方程有正整数解时，m＝3k，k为正整数，令k＝1，得m＝3，则n＝5，

3因此这两个数列有最小的公共项为20，分别是第一个数列的第5项，第二个数列的第3项．

[B 能力提升]

11．已知两个等差数列{an}：5，8，11，…；{bn}：3，7，11，…，都有100项，则它们的公共项的个数为( ) A．20 C．25

B．23 D．27

解析：选C.在数列{an}中，a1＝5，公差d1＝8－5＝3，所以an＝a1＋(n－1)d1＝3n＋2.在数列{bn}中，b1＝3，公差d2＝7－3＝4，所以bn＝b1＋(n－1)d2＝4n－1.令an＝bm，则3n＋2＝4m

0－1，所以n＝－1.因为m，n∈N＋，所以m＝3k(k∈N＋)．又，所以030所以0<3k≤75，所以012．如果有穷数列a1，a2，…，am(m为正整数)满足条件：a1＝am，a2＝am－1，…，am＝a1，那么称其为“对称”数列．例如数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，4，8都是“对称”数列．已知在21项的“对称”数列{cn}中，c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，则c2＝________．

解析：因为c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，所以c20＝c11＋9d＝1＋9×2＝19.

又{cn}为21项的对称数列， 所以c2＝c20＝19. 答案：19

13．已知数列{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16. (1)求数列{an}的通项公式；

(2)若从数列{an}中，依次取出第2项，第4项，第6项，…，第2n项，按原来顺序组成一个新数列{bn}，试求出数列{bn}的通项公式． 解：(1)设等差数列的公差为d. 因为a1＋a2＋a3＝12. 所以a2＝4，

因为a8＝a2＋(8－2)d， 所以16＝4＋6d，所以d＝2，

所以an＝a2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×2＝2n.故an＝2n. (2)a2＝4，a4＝8，a6＝12，a8＝16，…，a2n＝2×2n＝4n.

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当n>1时，a2n－a2(n－1)＝4n－4(n－1)＝4.

所以数列{bn}是以4为首项，4为公差的等差数列． 所以bn＝b1＋(n－1)d＝4＋4(n－1)＝4n.故bn＝4n.

14．(选做题)某产品按质量分10个档次，生产最低档次的产品的利润是8元/件，每提高一个档次，利润每件增加2元，同时每提高一个档次，产量减少3件，在相同的时间内，最低档次的产品可生产60件．

试问：在相同的时间内，应选择生产第几档次的产品可获得最大利润？(设最低档次为第一档次)

解：设在相同的时间内， 从低到高每档产品的产量分别为 a1，a2，…，a10，

利润分别为b1，b2，…，b10，

则{an}，{bn}均为等差数列，且a1＝60，d1＝－3，b1＝8，d2＝2， 所以an＝60－3(n－1)＝－3n＋63， bn＝8＋2(n－1)＝2n＋6， 所以利润f(n)＝anbn ＝(－3n＋63)(2n＋6) ＝－6n2＋108n＋378 ＝－6(n－9)2＋8.

显然，当n＝9时，f(n)max＝f(9)＝8.

所以在相同的时间内生产第9档次的产品可以获得最大利润．

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