比例线段(1)
一、定义：
1.如果两个数的比值与另两个数的比值相等，那么这四个数成比例。
ac
2.a、b、c、d四个实数成比例，可表示成a:b＝c:d或 = ，其中b、c叫做内项，a、d
bd叫做外项。 二、基本性质：
ac
= <=>ad＝bc(a、b、c、d都不为零)
bd判断四个数a、b、c、d是否成比例：
方法1:计算a:b和c:d的值是否相等；
ac
方法2:计算ad和bc的值是否相等，(利用ad＝bc推出 = )
bd三、知识拓展：
abac
“ = <=> = ”的比例式之间的变换是抓住实质ad＝bc。 cdbd 常用的结论：
a＋bc＋dacaa＋c
= => = ， = 。 bdbdbb＋d
阅读思考题
(1)什么是两个数的比？2与—3的比；—4与6 的比。如何表示？其比值相等吗？用小学学过的方法可说成为什么？可写成什么形式？
(2)比与比例有什么区别？
(3) 用字母a,b,c,d表示数，上述四个数成比例可写成怎样的形式？你知道内项、外项和第四比例项的概念吗？
补充练习：
xe
①指出 = 的比例内项、比例外项并表出其他三种比例项的等式关系。
yf②求3，4，5的第四比例项。
1
四、练习
例1:根据下列条件，求a:b的值。
ab
(1)2a＝3b；(2) =
54
例2:
(1)已知：x：(x+1)=(1—x)：3，求x。
2x-3y1y(2)若 = ，求 。
x+y2x
y22
(4)若x-3xy+2y=0,求
x
xyz2x+3y-zx+y+z
(5)已知 = = 求 ， 234z+2y-3xx
(6)已知1,2 ,2三个数，请你再添上一个数，写出一个比例式。
(7)操场上有一群学生在玩游戏，其中男生与女生的人数比例是3:2,后来又有6名女同学参加进来，此时女生与女生人数的比为5:4,求原来各有多少男生和女生？
2
比例线段(2)
一、定义：
1.两条线段的长度的比叫做两条线段的比。
ac
2.四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即 = ，那么这四条线
bd段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。
二、重要提示：
1.用方程思想寻找几何图形中四条线段成比例是常用方法。
2.四条线段成比例可以解决一些实际问题，如地图上的某两地之间的距离。 三、练习：
x－2yxx
(1)若3x＝4y，求 、 、 的值。
yx－yx＋y
(2)若
a＋b5a－2b
＝ ，求 的值。 a3b
(3)已知线段AB＝15cm，CD＝20dm。求AB:CD的值。
注意：
(1)两线段是几何图形，可用它的长度比来确定；
(2)度量线段的长，单位多种，但求比值必需在同一长度单位下，比值一定是正数，比值与采用的长度单位无关。
(3)表示方式与数字的比表示类同，但它也可以表示为AB:CD.
3
四、例题：
例题1、已知线段a=10mm，b=6cm，c=2cm，d=3cm.问：这四条线段是否成比例？为什么?
想一想:是否还可以写出其他几组成比例的线段.
例2、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高。请尽量找出足够多的比例线段，并说明理由。
C
AD补充练习： 4
1.已知线段a＝30mm，b＝2cm，c＝ cm，d＝12mm，试判断a、b、c、d是否成比例线
5段。
2.已知a、b、c、d是比例线段，其中a＝6cm，b＝8cm，c＝24cm,则线段d的长度是多少？
3.已知三角形三条边之比为a：b：c=2：3：4，三角形的周长为18cm，求各边的长。
4.已知AB两地的实际距离是60km，画在图上的距离A1B1是6cm，求这幅图的比例尺。
变式题：相同时刻的物高与影长成比例。如果一电视塔在地面上影长为180m，同一时刻高为2m的竹竿的影长为3m，那么电视塔的高是多少？
B
4
两个三角形相似的判定（1）
一、知识要点：
A′1、有两个角对应相等的两个三角形相似. A如图，∵∠A＝∠A′,∠B＝∠B′
∴△ABC∽△A′B′C′
C B C′B′2、基本图形
（1）如图甲，若DE∥BC,则△ADE∽△ABC.
DE A
A ED
C
BC B图甲 图乙（2）如图乙，若BC∥ED,则△ABC∽△ADE.
3、常见图形
（1）如图1,若∠AED＝∠B,则△ADE∽△ACB； （2）如图2,若∠ACD＝∠B,则△ACD∽△ABC； AAA DE
D
CCB BDB 图3图1图2
（3）如图3,若∠BAC＝90°,AD⊥BC,则△ABC∽△DBA∽△DAC.
二、重要方法：
1、有一个锐角相等的两个直角三角形相似； 2、识别三角形相似的常用思路：
（1）当条件中有平行线时，找两对对应角相等；
（2）当条件中有一对相等的角（对顶角或公共角）时，可考虑再找一对相等的角； （3）两个等腰三角形，可以找顶角相等或找一对底角相等.
5
C
三、练习题：
如图2，A、B、C、D、E、F、G都在小方格的的顶点上，问：DE∥BC∥FG吗？
D△ADE∽△ABC∽△AFG？
GA EC F B图2
·判定定理一：有两个角对应相等的两个三角形相似. 简称：两角对应相等，两三角形相似.
已知：在△ABC 和△A′B′C′中, ∠A＝∠A′，∠B＝∠B′ 求证：△ABC∽△A′B′C′
例1、已知：ΔABC和ΔDEF中， ∠A=40°，∠B=80°，∠E=80°， ∠F=60°.
求证：ΔABC∽ΔDEF
CF60°EB80°40°80°DA
例2、一次数学活动课上,为了测量河宽AB,小明采用了如下方法:从A处沿与AB垂直的直线方向走40m到达Ｃ处，插一根标杆，然后沿同方向继续走15m到达Ｄ处，再右转90°到E，使B，C，E三点恰好在一条直线上，量得DE＝20m就可以求出河宽AB你算出结果（要求给
B出解题过程）
DA C
E
6
三．巩固练习：
1、如图，在ΔABC中，AD、BE分别是BC、AC上的高，AD、BE相交于点F。 （1）求证：ΔAEF∽ΔADC；
A（2）图中还有与ΔAEF相似的三角形吗？请一一写出 。
EF
BCD
2、在ΔABC中 ，点D、E分别是边AB、AC上的点，连结DE，利用所学的知识讨论：当具备怎样的条件时，ΔADE与 ΔABC相似？ （分两种情况讨论）
AA
D
DE
E BBCC
7
23.2两个相似三角形的判定（2）
知识要点：
三角形相似的条件：
1、有两个角对应相等的两个三角形相似.
2、两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似. 3、三边对应成比例的两个三角形线相似. 重要方法：
1、利用两对对应角相等证相似，关键是找出两对对应角.
2、三边对应成比例的两个三角形相似中，三边对应是有序的即：大对大，小对小，中对中. 3、两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，一定要弄清边与角的位置关系.即边是指夹角的两边，角是成比例的两边的夹角.
4、在相似三角形条件（3）中，如果对应相等的角不是两条对应边的夹角，那么这两个三角形不一定相似，如在图4-3-14△ABC中,AB＝AC，∠A＝120°,在△A′B′C′中，A′B′＝A′C′,∠A′＝30°,可以说AB∶A′B′＝AC∶A′C′,∠B＝∠A′,但两个三角形不相
A′似. A CC′B′B 4-3-14
·判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
简单说成：“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”
ADAE
例题讲解：如图已知点D,E分别在AB,AC上， ＝
ABAC
求证：DE∥BC.
A DE
BC
·判定定理3：如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
可简单说成：三边对应成比例，两三角形相似。 A′
A
B
8
CB′C′
例题：. 依据下列各组条件，判定△ABC与△A´B´C´是不是相似，并说明为什么： ⑴∠A=120º，AB=7厘米，AC=14厘米， ∠A´=120º，A´B´=3厘米，A´C´=6厘米； ⑵AB=4厘米，BC=6厘米，AC=8厘米， A´B´=12厘米，B´C´=18厘米，A´C´=24厘米
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