4函数的单调性 - 简单难度 - 习题

一、选择题（共21小题；共105分）

1. 下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是 (  )

A. 𝑦=𝑥

3

1𝑥

B. 𝑦=√𝑥 2

C. 𝑦=𝑥 C. 𝑦=−𝑥2

1

D. 𝑦=(2)

2. 下列函数中，在区间 (0,+∞) 上为减函数的是 (  )

A. 𝑦=3𝑥+1

B. 𝑦=− 𝑥

D. 𝑦=−∣𝑥−1∣

3. 函数 𝑦=(2𝑘+1)𝑥+𝑏 在实数集上是增函数，则 (  )

A. 𝑘>−2

1

B. 𝑘<−2

1𝑥

1

C. 𝑘>2

1

1

D. 𝑘<2

1

4. 下列函数中在 (0,+∞) 上为增函数的是 (  )

A. 𝑦=𝑥2−2𝑥+3

B. 𝑦=(2)

C. 𝑦=−𝑥 π

D. 𝑦=∣𝑥−1∣

5. 偶函数 𝑦=𝑓(𝑥) 在区间 (−∞,0) 上单调递增，则有 (  )

A. 𝑓(−1)>𝑓()>𝑓(−π)

3C. 𝑓(−π)>𝑓(−1)>𝑓()

3A. 𝑓(𝑥)=4−𝑥 C. 𝑓(𝑥)=−

2𝑥+1

π

π

B. 𝑓()>𝑓(−1)>𝑓(−π)

3D. 𝑓(−1)>𝑓(−π)>𝑓()

3B. 𝑓(𝑥)=𝑥2−2𝑥 D. 𝑓(𝑥)=−∣𝑥∣

π

6. 下列四个函数中，在 (0,+∞) 上为增函数的是 (  )

7. 函数 𝑦=∣𝑥+2∣ 在区间 [−3,0] 上 (  )

A. 递减

B. 递增

1

C. 先减后增 D. 先增后减

8. 下列函数中，在区间 (0,+∞) 上是增函数的是 (  )

A. 𝑦=−𝑥2

B. 𝑦=𝑥

C. 𝑦=0.5𝑥

D. 𝑦=log2𝑥

9. 已知 𝑎,𝑏,𝑐∈𝐑，函数 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐，若 𝑓(0)=𝑓(4)>𝑓(1)，则 (  )

A. 𝑎>0，4𝑎+𝑏=0 B. 𝑎<0，4𝑎+𝑏=0

C. 𝑎>0，2𝑎+𝑏=0

1

D. 𝑎<0，2𝑎+𝑏=0

10. 给出下列四个函数：① 𝑓(𝑥)=𝑥+1；② 𝑓(𝑥)=𝑥；③ 𝑓(𝑥)=2𝑥2；④ 𝑓(𝑥)=−𝑥．其中在

(0,+∞) 上是增函数的有 (  ) A. 0 个

B. 1 个

C. 2 个

D. 3 个

11. 函数 𝑓(𝑥)=∣𝑥∣ 和 𝑔(𝑥)=𝑥(2−𝑥) 的单调递增区间分别是 (  )

A. (−∞,0] 和 (−∞,1] C. [0,+∞) 和 (−∞,1]

B. (−∞,0] 和 [1,+∞) D. [0,+∞) 和 [1,+∞)

3

12. 下列函数中：① 𝑦=2𝑥+1；② 𝑦=𝑥2；③ 𝑦=∣𝑥∣；④ 𝑦=𝑥 .在 (0,+∞) 上是增函数的有

(  ) A. 1 个

B. 2 个

C. 3 个

D. 4 个

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13. 下列函数中，既是偶函数又在 (0,+∞) 单调递增的函数是 (  )

A. 𝑦=𝑥3

B. 𝑦=∣𝑥∣+1

1

C. 𝑦=−𝑥2+1 D. 𝑦=2−∣𝑥∣

14. 下列选项中正确的是 (  )

A. 𝑓(𝑥)=−𝑥2+𝑥−6 的单调增区间为 (−∞,2] B. 𝑓(𝑥)=−√𝑥 在 [0,+∞) 上是增函数 C. 𝑓(𝑥)=

2−𝑥𝑥

在 (−∞,+∞) 上是减函数

D. 𝑓(𝑥)=−𝑥3+1 是增函数

15. 函数 𝑦=𝑥2−6𝑥+10 在区间 (2,4) 上是 (  )

A. 递减函数

B. 递增函数

C. 先递增再递减

D. 先递减再递增

16. 已知函数 𝑓(𝑥)=∣𝑥+𝑎∣ 在 (−∞,−1) 上是单调函数，则 𝑎 的取值范围是 (  )

A. (−∞,1]

B. (−∞,−1]

1

∣𝑥∣

C. [−1,+∞)

𝑥2

𝑥

D. [1,+∞)

17. 函数① 𝑦=∣𝑥∣；② 𝑦=−𝑥；③ 𝑦=

的有

A. ①②④

B. ②④⑤

；④ 𝑦=−∣𝑥∣；⑤ 𝑦=𝑥+∣𝑥∣ 中，在 (−∞,0) 上是增函数𝑥

C. ②③④

D. ③④⑤

18. 下列函数在 (0,1) 上是增函数的是 (  )

A. 𝑦=1−2𝑥

B. 𝑦=−𝑥2+2𝑥

C. 𝑦=5

1

D. 𝑦=√𝑥−1 D. 𝑦=−𝑥2+4

19. 下列函数中，在区间 (0,1) 上是增函数的是 (  )

A. 𝑦=∣𝑥∣

B. 𝑦=3−𝑥

C. 𝑦=𝑥 20. 已知定义在 𝐑 上的奇函数 𝑓(𝑥) 在 [0,+∞) 上单调递减，且 𝑎+𝑏>0，𝑏+𝑐>0，𝑎+𝑐>0，

则 𝑓(𝑎)+𝑓(𝑏)+𝑓(𝑐) 的值 (  ) A. 恒为正

B. 恒为负

𝑥

C. 恒为 0 D. 无法确定

1∣

21. 已知函数 𝑓(𝑥) 为 𝐑 上的减函数，则满足 𝑓(∣∣∣)<𝑓(1) 的实数 𝑥 的取值范围是 (  )

A. (−1,1) C. (−1,0)∪(0,1)

B. (0,1)

D. (−∞,−1)∪(1,+∞)

二、填空题（共7小题；共35分）

22. 函数 𝑓(𝑥)=(2𝑘−1)𝑥+1 在 𝐑 上单调递减，则 𝑘 的取值范围是 ． 23. 函数 𝑓(𝑥)= 的单调减区间是 ．

𝑥2

24. 若函数 𝑓(𝑥)=∣2𝑥+𝑎∣ 的单调增区间是 [3,+∞)，则实数 𝑎= ． 25. 已知函数 𝑓(𝑥)=

−3𝑥−2𝑥+1

在区间 (−∞,𝑎] 上是减函数，则实数 𝑎 的取值范围是 ．

26. 函数 𝑦=(𝑥−3)∣𝑥∣ 的减区间为 ．

27. 函数 𝑓(𝑥)=𝑥2−𝑎𝑥−3 在区间 (−∞,4] 上单调递减，则实数 𝑎 的取值范围是 . 28. 判断下列结论的正误（正确的打“√”，错误的打“×”．

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（1）在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变 量”改为“存在两个自变量”．(  )

（2）函数 𝑦=𝑥 的单调递减区间是 (−∞,0)∪(0,+∞)．(  ) （3）所有的单调函数都有最值．(  )

1

三、解答题（共6小题；共78分） 29. 已知函数 𝑓(𝑥)=𝑥−𝑎(𝑥≠𝑎)．

（1）若 𝑎=−2，求证：𝑓(𝑥) 在 (−∞,−2) 上单调递增；

（2）若 𝑎>0 且 𝑓(𝑥) 在 (1,+∞) 上单调递减，求实数 𝑎 的取值范围． 30. 判断函数 𝑓(𝑥)=

𝑥−2𝑥+1𝑥

(𝑥≥0) 的单调性，并求出值域．

31. 图（1）（2）分别为函数 𝑦1=𝑓(𝑥) 和 𝑦2=𝑔(𝑥) 的图象，试写出函数 𝑦1=𝑓(𝑥) 和 𝑦2=𝑔(𝑥)

的单调区间．

32. 已知函数 𝑓(𝑥)=−（𝑎>0，𝑥>0）．

𝑎

𝑥

11

（1）求证：𝑓(𝑥) 在 (0,+∞) 上是增函数；

（2）若 𝑓(𝑥) 在 [,2] 上的值域是 [,2]，求 𝑎 的值．

2

2

1

1

33. 已知函数 𝑓(𝑥)=1−𝑥2．

（1）求 𝑓(𝑥) 的定义域； （2）证明：𝑓(𝑥) 是偶函数；

（3）证明：函数 𝑓(𝑥) 在 (0,1) 上是增函数． 34. 已知函数 𝑓(𝑥)=𝑥．

（1）求 𝑓(𝑥) 定义域；

（2）证明 𝑓(𝑥) 在 (0,+∞) 上是减函数．

1

𝑥2

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答案

第一部分 1. C 2. C

3. A 【解析】因为函数 𝑦=(2𝑘+1)𝑥+𝑏 在实数集上是增函数，当 2𝑘+1=0 时，𝑦=𝑏 是常函数，不满足题意， 所以 2𝑘+1>0， 所以 𝑘>−2． 4. C

【解析】对于 A：对称轴 𝑥=1，在 (0,1) 递减，故 A 错误；

对于 B：函数在 (0,+∞) 递减，故 B 错误； 对于 C：函数在 (0,+∞) 递增，故 C 正确； 对于 D：𝑦=∣𝑥−1∣ 在 (0,1) 递减，故 D 错误． 5. A 6. C 7. C

(𝑥≥−2)𝑥+2

【解析】𝑦=∣𝑥+2∣={，

−𝑥−2(𝑥<−2)

1

作出 𝑦=∣𝑥+2∣ 的图象如图所示，

易知在 [−3,−2] 上为减函数，在 [−2,0] 上为增函数． 8. D 9. A

【解析】由 𝑓(0)=𝑓(4) 知，函数图象的对称轴是直线 𝑥=−2𝑎=2，所以 𝑏+4𝑎=0．

𝑏

由 𝑓(0)>𝑓(1)，知函数图象在对称轴的左边递减，所以开口向上． 10. C

【解析】在 (0,+∞) 上是增函数的为①③．

11. C 【解析】本题主要考查函数单调区间的判断，函数 𝑓(𝑥)=∣𝑥∣ 的单调递增区间为 [0,+∞)，函数 𝑔(𝑥)=𝑥(2−𝑥)=−(𝑥−1)2+1 的单调递增区间为 (−∞,1]． 12. C

13. B 【解析】因为 𝑦=𝑥3 是奇函数，𝑦=∣𝑥∣+1，𝑦=−𝑥2+1，𝑦=2−∣𝑥∣ 均为偶函数， 所以选项 A 错误；

又因为 𝑦=−𝑥2+1，𝑦=2−∣𝑥∣=(2) 在 (0,+∞) 上均为减函数，只有 𝑦=∣𝑥∣+1 在 (0,+∞) 上为增函数，

所以选项 C，D 错误，只有选项 B 正确．

1∣𝑥∣

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14. A 【解析】𝑓(𝑥)=−𝑥2+𝑥−6 在 (−∞,] 上是增函数，故A正确； 𝑓(𝑥)=−√𝑥 在 [0,+∞) 上是减函数，𝑓(𝑥)=是减函数． 15. D

【解析】因为 𝑦=𝑥2−6𝑥+10=(𝑥−3)2+1，

所以函数在 (−∞,3] 上为减函数，在 [3,+∞) 上为增函数， 所以函数在 (2,4) 上先递减再递增．

16. A 【解析】因为函数 𝑓(𝑥) 在 (−∞,−𝑎) 上是单调函数， 所以由题意知 −𝑎≥−1，即 𝑎≤1．

17. B 【解析】在 (−∞,0) 上①是减函数，③ 𝑦=−1 是常函数，②④⑤是增函数．

18. B 【解析】选项A中 𝑦=1−2𝑥 为减函数，C中 𝑦=5 为常函数，D中 𝑦=√𝑥−1 的定义域为 [1,+∞) .

𝑥,𝑥≥0

19. A 【解析】由题意可知：对 A：𝑦=∣𝑥∣={，易知在区间 (0,1) 上为增函数，故正确；

−𝑥,𝑥<0对B：𝑦=3−𝑥，是一次函数，易知在区间 (0,1) 上为减函数，故不正确；

对C：𝑦=𝑥 为反比例函数，易知在 (−∞,0) 和 (0,+∞) 为单调减函数，所以函数在 (0,1) 上为减函数，故不正确；

对D：𝑦=−𝑥2+4，为二次函数，开口向下，对称轴为 𝑥=0，所以在区间 (0,1) 上为减函数，故不正确． 20. B

【解析】因为奇函数 𝑓(𝑥) 在 [0,+∞) 上单调递减，所以 𝑓(𝑥) 在 𝐑 上单调递减，

因为 𝑎+𝑏>0，所以 𝑎>−𝑏，所以 𝑓(𝑎)<𝑓(−𝑏)=−𝑓(𝑏)，即 𝑓(𝑎)+𝑓(𝑏)<0, ⋯⋯① 同理可得 𝑓(𝑏)+𝑓(𝑐)<0, ⋯⋯② 𝑓(𝑎)+𝑓(𝑐)<0, ⋯⋯③

①+②+③ 化简得：𝑓(𝑎)+𝑓(𝑏)+𝑓(𝑐)<0．

1∣

21. C 【解析】由已知得 ∣∣𝑥∣>1，

1

11

2

2−𝑥𝑥

1

在 (−∞,0) 和 (0,+∞) 上是减函数，𝑓(𝑥)=−𝑥3+1

所以 >1 或 <−1，

𝑥

𝑥

解得 0<𝑥<1 或 −1<𝑥<0． 第二部分 22. (−∞,2)

【解析】根据题意，当 2𝑘−1≠0 时，函数 𝑓(𝑥)=(2𝑘−1)𝑥+1 为一次函数，若 𝑓(𝑥)=(2𝑘−1)𝑥+1 在 𝐑 上单调递减，则有 2𝑘−1<0，解可得 𝑘<，即 𝑘 的取值范围是 (−∞,)．

2223. (−∞,0)，(0,+∞) 24. −6

1

1

1

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【解析】由题意知 𝑓(𝑥)=∣2𝑥+𝑎∣={所以 −=3，𝑎=−6．

2𝑎

2𝑥+𝑎,

𝑥≥−2

𝑎

𝑎，所以函数 𝑓(𝑥) 的单调增区间为 [−2,+∞)，

𝑎

−2𝑥−𝑎,𝑥<−2

25. (−∞,−1) 【解析】𝑦=26. [0,2]

(𝑥−3)𝑥,

【解析】𝑦={

−(𝑥−3)𝑥,根据二次函数的单调性：

𝑥≥0 时，函数 𝑦=(𝑥−3)𝑥 在 [0,] 上单调递减；

23

3

−3(𝑥+1)+1

𝑥+1

=−3+𝑥+1 在 (−∞,−1) 上是减函数，所以 𝑎<−1．

𝑥≥0

， 𝑥<0

1

𝑥<0 时，函数 𝑦=−𝑥(𝑥−3) 不存在单调减区间． 所以函数 𝑦=(𝑥−3)∣𝑥∣ 的单调减区间为 [0,2]． 27. [8,+∞) 28. ×，×，× 第三部分

29. （1） 任取 𝑥1<𝑥2<−2， 则 𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)=

𝑥1𝑥1+2

𝑥2𝑥2+2

2(𝑥1−𝑥2)

．

𝑥1+2)(𝑥2+2)

3

−

=(

因为 (𝑥1+2)(𝑥2+2)>0，𝑥1−𝑥2<0， 所以 𝑓(𝑥1)<𝑓(𝑥2)，

所以 𝑓(𝑥) 在 (−∞,−2) 上单调递增．

（2） 设 1<𝑥1<𝑥2，则 𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)=𝑥所以实数 𝑎 的取值范围是 (0,1]． 30. 𝑓(𝑥)=𝑥+1=设 0≤𝑥1≤𝑥2， 则

𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)=(1−𝑥

=𝑥

3

2

𝑥1

1

−𝑥−𝑎

𝑥2

2

=(𝑥−𝑎

𝑎(𝑥2−𝑥1)

．

1−𝑎)(𝑥2−𝑎)因为 𝑎>0，𝑥2−𝑥1>0，所以要使 𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)>0，只需 (𝑥1−𝑎)(𝑥2−𝑎)>0，所以 𝑎≤1．

𝑥−2

𝑥+1−3𝑥+1

=1−𝑥+1，

3

3

1

)−(1−𝑥+1

3

1+1

3

2+1

)

−𝑥+1

=(𝑥

因为 0≤𝑥1≤𝑥2，

3(𝑥1−𝑥2)

,

1+1)(𝑥2+1)

所以 𝑥1−𝑥2<0，𝑥1+1>0，𝑥2+1>0， 于是 𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)<0， 即 𝑓(𝑥1)<𝑓(𝑥2)，

故函数 𝑓(𝑥)=𝑥+1 在 [0,+∞) 上为增函数．

𝑥−2

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𝑓(𝑥)min=𝑓(0)=−2，无最大值． 画出函数的大致图象，如图所示，

知函数 𝑓(𝑥)=𝑥+1(𝑥≥0) 的值域为 [−2,1)．

31. 根据函数的图象写出函数的单调区间，主要是观察图象，由图象的上升或下降的趋势确定是增区间还是减区间．

由题意，寻找呈上升趋势的一段图象，确定函数 𝑦1=𝑓(𝑥) 和 𝑦2=𝑔(𝑥) 的单调增区间．

由图（1）可知，在 (1,4] 和 (4,6] 内，𝑦1=𝑓(𝑥) 是单调递增的，所以 𝑦1=𝑓(𝑥) 的单调增区间是 (1,4] 和 (4,6]．

由图（2）可知，在 (−是 (−

3π2

3π2

𝑥−2

,0) 和 (2,

3π5π

2

) 内，𝑦2=𝑔(𝑥) 是单调递增的，所以 𝑦2=𝑔(𝑥) 的单调增区间

,0) 和 (2,

3π5π

2

)．

32. （1） 任取 𝑥1，𝑥2，且 𝑥2>𝑥1>0， 则 𝑥2−𝑥1>0，𝑥1𝑥2>0， 𝑓(𝑥2)−𝑓(𝑥1)=(−

𝑎1

1𝑥2

)−(𝑎−𝑥)=𝑥−𝑥=

1

1

2

1111

𝑥2−𝑥1𝑥1𝑥2

>0，

所以 𝑓(𝑥2)>𝑓(𝑥1)，

所以 𝑓(𝑥) 在 (0,+∞) 上是增函数．

（2） 因为 𝑓(𝑥) 在 [,2] 上的值域是 [,2]，

2

2

1

1

又 𝑓(𝑥) 在 [2,2] 上单调递增， 所以 𝑓(2)=2，𝑓(2)=2． 易得 𝑎=5．

33. （1） {𝑥∣𝑥≠±1}． （2） 因为 {𝑥∣𝑥≠±1}． 又 𝑓(−𝑥)=

(−𝑥)21−(−𝑥)221

1

1

=

𝑥21−𝑥2

，

所以函数 𝑓(𝑥) 是偶函数．

（3） 设 𝑥1,𝑥2∈(0,1)，且 𝑥1<𝑥2， 则 𝑓(𝑥2)−𝑓(𝑥1)=

2𝑥2

2𝑥1

1−𝑥2

2−

1−𝑥1

21

2=(1−𝑥2)(1−𝑥2)=

2

1

𝑥2−𝑥2

(𝑥2−𝑥1)(𝑥2+𝑥1)

2)(1−𝑥2)(1−𝑥21

．

因为 𝑥1,𝑥2∈(0,1)，且 𝑥1<𝑥2，

22

所以 1−𝑥2>0，1−𝑥1>0，𝑥2−𝑥1>0，𝑥2+𝑥1>0．

所以 𝑓(𝑥2)−𝑓(𝑥1)>0，函数 𝑓(𝑥) 在 (0,1) 上是增函数． 34. （1） 要使函数 𝑓(𝑥) 有意义，只要使 𝑥≠0．

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所以 𝑓(𝑥) 的定义域为 {𝑥∣𝑥∈𝐑,且𝑥≠0}； （2） 设 𝑥1>𝑥2>0， 则 𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)=

1𝑥1

−

1𝑥2

=

𝑥2−𝑥1𝑥1𝑥2

．

由 𝑥1>𝑥2>0，得 𝑥2−𝑥1<0，且 𝑥1𝑥2>0； 所以 𝑓(𝑥1)<𝑓(𝑥2)，

所以函数 𝑓(𝑥) 在 (0,+∞) 上是减函数．

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