一线三角三角形相似探究(一题多变)

中 考 复 习

“一线三角”三角形相似探究（一题多变）

海港区十六中 李源明

例1．△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B．

（1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形． （2）如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重

合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．拓展问题BF•CE是否为定值 （3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的面积等于△ABC的面积的时，求线段EF的长．

分析：△ABC中，AB=AC ∠B=∠C=∠FDE

图1 简单，∠B=∠C=∠ADE，与△ADE相似的有△ABD，△ACD，△DCE，但是注意点D若不是中点 只有

△ADE∽△ACD（A字形相似基本图形）

图（2） ∠B=∠C=∠FDE ∠FDC为外角 注意是谁的外角（△FBD）。外角等于不相邻的内角和，所以

∠FDC=∠B+∠BFD ∠FDC=∠FDE+∠EDC ∠FDE+∠EDC=∠B+∠BFD

∵ ∠FDE = ∠B ∴∠EDC=∠BFD

本题的特点∠EDC=∠BFD 同理∠BDF=∠DEC ∠B=∠C 可得△BDF∽△CED

第一点 图形特点就是 一线BC托三角，∠B=∠C=∠MDN，三角等则△BDF∽△CED 第二点 对应线段成比例 BD：CE=BF：CD=DF：DE BF•CE=BD•DC

(当D为中点时BF•CE=BD•DC=（BC）²得定值，若点D不是中点，FD过点A，出函

数关系式，后面有相应试题)

第三点 当点D为中点 BD=DC BF：CD=BF：BD 可得 BF：BD=DF：DE

可得 △BDF∽△DEF △BDF∽△CED∽△DEF （D若不是中点只有△BDF∽△CED）

第四点 当点D为中点，因为△BDF∽△DEF所以可推 ∠BFD=∠DFE, FD为∠BFE的角平分线，

同理ED为∠CEF角平分线，可设计问题。（注意这种情况条件点D为中点,出角平分线，角平分线上点到两边距离等，可设问求证点D到FE的距离为定值）

解答（1）图（1）中与△ADE相似的有△ABD，△ACD，△DCE

证明： ∵AB=AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD 又∵∠MDN=∠B ∴△ADE∽ABD 同理可得：△ADE∽△ACD

∵∠MDN=∠C=∠B ∠B+∠BAD=90°，∠ADE+∠EDC=90°∠B=∠MDN ∴∠BAD=∠EDC，∵∠B=∠C，∴△ABD∽△DCE，∴△ADE∽△DCE，

（2）△BDF∽△CED∽△DEF，证明：∵∠FDC=∠B+∠BFD ，∠FDC=∠FDE+∠EDC，又∵∠EDF=∠B，

1

∴∠BFD=∠CDE，由AB=AC，得∠B=∠C，∴△BDF∽△CED，∴又∵∠C=∠EDF，∴△BDF∽△CED∽△DEF．

．∵BD=CD，∴．

（3）连接AD，过D点作DG⊥EF，DH⊥BF，垂足分别为G，H．∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，BD= BC=6．

在Rt△ABD中，AD2=AB2﹣BD2，∴AD=8∴S△ABC=BC•AD=×12×8=48． S△DEF=

11S△ABC=×48=12．又∵AD•BD=AB．DH， 44=

=

，∵△BDF∽△DEF，∴∠DFB=∠EFD

∴ DH=

∵DG⊥EF，DH⊥BF，∴DH=DG=

2412．∵S△DEF=×EF×DG=12，∴EF==5．

15DG2

变式1． 如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE、始终经过点A，EF与AC交于M点． （1）求证：△ABE∽△ECM；

（2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由； （3）当线段AM最短时，求重叠部分的面积．

分析：问题的解决的关键，∠B=∠C=∠AEM, (一线托三角)△ABE与

△ECM相似，△AEM与△ACE相似（A字形相似结构）

1．分类思想 △AEF构成等腰三角形 E为顶点EA=EM △ABE与△ECM全等，AB=CE即可求BE,M为顶点MA=ME, ∵∠AEM=∠C,满足∠EAC=∠C, EA=EC即求 A为顶点AE=AM

∵∠AEM=∠B=∠C ，满足∠AEM=∠AME, ∠AME=∠C EM与BC重合

2 . △ABE与△ECM相似，AB：EC=BE：CM，出函数关系，即求。CM最大值利用函数思想求二次函数最值， 可求AM最短。 解答：（1）证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵△ABC≌△DEF，∴∠AEF=∠B，

又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE， ∴∠CEM=∠BAE，∴△ABE∽△ECM；

（2）解：∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，

2

∴∠AME＞∠AEF，∴AE≠AM；

当AE=EM时，则△ABE≌△ECM，∴CE=AB=5，∴BE=BC﹣EC=6﹣5=1，

当AM=EM时，则∠MAE=∠MEA，∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，即∠CAB=∠CEA， 又∵∠C=∠C，∴△CAE∽△CBA，∴（3）解：设BE=x，又∵△ABE∽△ECM，∴∴CM=﹣

+x=﹣（x﹣3）2+，

，∴当x=3时，AM最短为

，

=4，此时，EF⊥AC，

，∴CE=

，即：

，∴BE=6﹣

，

=

；

∴AM=﹣5﹣CM═（x﹣3）2+

又∵当BE=x=3=BC时，∴点E为BC的中点，∴AE⊥BC，∴AE=∴EM=

=

，S△AEM=

．

交于点A（3，6）．

1．如图2，已知直线y=kx与抛物线y=

（1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；

（2）如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD．继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？

分析 第三问，第一：识别一线三角结构，一线OA,三角∠AOD, ∠OAB, ∠DEB已知∠BAE=∠BED=∠AOD 可得到△ABE∽△OED

第二 ： 求出线段AB长度，关键构建等腰三角形需延长AB交x轴于点F，在等腰三角形△FAO中，已知∠AOD, ∠OAB的三角函数值，线段OA的长度，（解直角三角形需两条件至少已知一边，解斜三角形需三个条件至少一边）可求出OF,AF的长度，因为点B是直线AB与抛物线的交点，方法一：函数图象交点法，直线的解析式与抛物线的函数解析式连立解方程组求出交点坐标，方法二：几何法，设点B（x，详细解题过程

解：（1）把点A（3，6）代入y=kx 得； ∵6=3k，∴k=2，∴y=2x． OA=

．…

），构建相似三角形）

（2）如答图2，延长AB交x轴于点F，过点F作FC⊥OA于点C，过点A作AR⊥x轴于点R ∵∠AOD=∠BAE，∴AF=OF，∴OC=AC=OA=∵∠ARO=∠FCO=90°，∠AOR=∠FOC， ∴△AOR∽△FOC，

3

∴

，∴OF=

，∴点F（，0），

设点B（x，

），

过点B作BK⊥AR于点K，则△AKB∽△ARF， ∴

，

即，

解得x1=6，x2=3（舍去），∴点B（6，2），∴BK=6﹣3=3，AK=6﹣2=4，∴AB=5 …（8分）；（求AB也可采用下面的方法）

设直线AF为y=kx+b（k≠0）把点A（3，6），点F（

，0）代入得k=

，b=10，

∴，∴，∴（舍去），，∴B（6，2），∴AB=5…

在△ABE与△OED中∵∠BAE=∠BED，∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB，∴∠ABE=∠DEO， ∵∠BAE=∠EOD，∴△ABE∽△OED．…（9分） 设OE=x，则AE=﹣x （

），由△ABE∽△OED得

，

∴

∴

（

）∴顶点为（

，）

如答图3，当

时，OE=x=，此时E点有1个；

当

时，任取一个m的值都对应着两个x值，此时E点有2个．

∴当时，E点只有1个…（11分）

当

时，E点有2个…（12分）．

4

练习

.1 如图12，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴，y轴上，四边形ABCO为矩形，AB=16，点D与点A关于y轴对称，tan∠ACB=

4，点E，F分别是线段AD，AC上的动点（点E不与点A，D重合），且∠CEF=∠ACB。 3（1）求AC的长和点D的坐标； （2）说明△AEF与△DCE相似；

（3）当△EFC为等腰三角形时，求点E的坐标。 1. 解：（1）∵四边形ABCO为矩形，∴∠B=90°，

在Rt△ABC中，BC=AB÷tan∠ACB=16÷则AO=BC=12， ∴ A（-12，0）， 点D与点A关于y轴对称，∴D（12，0）； （2）∠AFE是△CEF的外角，∴∠AFE=∠FCE+∠CEF，

∵∠CEF=∠ACB，∴∠AFE=∠FCE+∠ACB=∠BCE， ∵BC∥AD， ∴∠BCE=∠DEC，∴∠AFE=∠DEC①， ∵点A与点D关于y轴对称，而C，O在对称轴上， ∴△ACO与△DCO关于y轴对称，

∴∠FAE=∠EDC②， 由①，②得△AEF∽△DCE；

（3）当FE=EC时，△EFC为等腰三角形，由（2），△AEF∽△DCE，∴FE:EC=AE:DC，

此时，AE=DC=AC=

； AB2BC2=20，则E（8，0）

4=12， 3当CF=CE时，∠CFE=∠CEF=∠ACB，则有EF∥BC， 此时，点F与A重合，则点E在D处，与已知矛盾；

当CF=FE时，∠FCE=∠CEF，又∵△AEF∽△DCE，∴∠AEF=∠DCE ∴∠FCE+∠DCE =∠CEF+∠AEF，即∠ACD=∠AEC， 而∠CAE=∠DAC，

AC220250∴△AEC∽△ACD，AE:AC=AC:AD，而AD=18，∴AE= AD243则E（

14，0）， 314，0）。 3∴当△EFC为等腰三角形时，求点E的坐标为（8，0）或（

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