2021年高一数学《零点存在性定理教学讲义》

零点存在性定理教学讲义

学科组长签字： 签字日期： 姓名： 年级：高一年级 科目：数学 授课教师： 课型： □预习课 □同步课 □复习课 □习题课 上课日期：2020 第 次课 课题 学 习 目 标 重难点 学习重点:零点存在性定理 学习难点: 二分法确定零点 上课流程：作业讲评--课堂精讲--课堂落实---课后考--查漏补缺--课后落实--结果公示--阶段测评 【课堂精讲】 函数与方程 一、基础知识 1．函数的零点 (1)零点的定义：对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)零点的几个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． 函数的零点不是函数y＝f(x)与x轴的交点，而是y＝f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数. 2．函数的零点存在性定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件. 3．二分法的定义 对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 二、常用结论 有关函数零点的结论 (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点． 1 (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号． 考点一 函数零点个数、所在区间 x2－2x，x≤0，[典例]已知函数f(x)＝1则函数y＝f(x)＋3x的零点个数是( ) 1＋，x>0，xA．0 C．2 B．1 D．3 1(2)设函数f(x)＝x－ln x，则函数y＝f(x)( ) 31A．在区间e，1，(1，e)内均有零点 1B．在区间e，1，(1，e)内均无零点 1C．在区间e，1内有零点，在区间(1，e)内无零点 1D．在区间e，1内无零点，在区间(1，e)内有零点 [解题技法] 掌握判断函数零点个数的3种方法 (1)解方程法 若对应方程f(x)＝0可解，通过解方程，即可判断函数是否有零点，其中方程有几个解就对应有几个零点． (2)定理法 利用函数零点的存在性定理进行判断，但必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数的零点个数． (3)数形结合法 合理转化为两个函数的图象(易画出图象)的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其是否有交点，若有交点，其中交点的个数，就是函数零点的个数． [题组训练] 1.[定理法]函数f(x)＝x3－x2－1的零点所在的区间是( ) A．(0,1) C．(1,2)

B．(－1,0) D．(2,3) 2

2x＋x－2，x≤0，2.[解方程法或图象法]函数f(x)＝的零点个数为( ) －1＋ln x，x>0 A．3 C．7 B．2 D．0 3.[图象法]设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为( ) A．(0,1) C．(2,3) 考点二 函数零点的应用 考法(一) 已知函数零点个数求参数范围 xe，x≤0，[典例] 已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是( ) ln x，x>0， B．(1,2) D．(3,4) A．[－1,0) C．[－1，＋∞) B．[0，＋∞) D．[1，＋∞) 考法(二) 已知函数零点所在区间求参数范围 [典例] 若函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零点，则实数a的取值范围是________． [题组训练] 21．若函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是( ) xA．(1,3) C．(0,3) B．(1,2) D．(0,2) 9x2＋x－4，x≤0，2．已知函数f(x)＝若方程f(x)＝a有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是( ) x－2，x>0.59－，－∪[－2，＋∞) A.42B．(－2，＋∞) 59－，－∪(－2，＋∞) C.4259－，－∪(－2，＋∞) D.42[课时跟踪检测] 1．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是( ) A．y＝log1x 2 B．y＝2x－1 1C．y＝x2－ 2

D．y＝－x3 3

2．函数f(x)＝ex＋x－3在区间(0,1)上的零点个数是( ) A．0 C．2 B．1 D．3 23．函数f(x)＝ln x－2的零点所在的区间为( ) xA．(0,1) C．(2,3) B．(1,2) D．(3,4) 4．若函数f(x)＝ax＋1在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是( ) A．(1，＋∞) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－∞，1) D．(－1,1) 5．已知实数a＞1,0＜b＜1，则函数f(x)＝ax＋x－b的零点所在的区间是( ) A．(－2，－1) C．(0,1) B．(－1,0) D．(1,2) 6．若a0 A．(0,1] C．(0,1) B．[1，＋∞) D．(－∞，1] 29．已知函数f(x)＝x＋a的零点为1，则实数a的值为______． 3＋1xln x，x＞0，10．已知函数f(x)＝2则f(x)的零点为________． x－x－2，x≤0， 11．若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则实数m的取值范围是________． 12．已知方程2x＋3x＝k的解在[1,2)内，则k的取值范围为________． 13．已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x. (1)写出函数y＝f(x)的解析式； (2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求实数a的取值范围．

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