第九讲：圆的基本性质(3) 四点共圆

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四点共圆的性质及判定：

判定定理1：共斜边的两个直角三角形，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边

为圆的直径．

判定定理2：共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆． 判定定理3：对于凸四边形ABCD，对角互补四点共圆

判定定理4：相交弦定理的逆定理：对于凸四边形ABCD其对角线AC、BD交于P，

APPCBPPD四点共圆 判定定理5：割线定理：对于凸四边形ABCD其边的延长线AB、CD交于P，

PAPBPCPD四点共圆 托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．

D B

C

例1：如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=90°，AB=2，CD=1，求BC的长 B

C

D

A

例2：如图，正方形ABCD的面积为5，E、F分别为CD、DA的中点，BE、CF相交于P，

求AP的长

EDC

P

F

AB

即：若四边形ABCD内接于圆，则有ABCDADBCACBD.

A例3：如图，四边形ABCD内接于⊙O，CB=CD=4，AC与BD相交于E，AE=6，线段BE和DE的

长都是正整数，求BD的长

A

E DB

C

例4：如图，OQ⊥AB，O为△ABC外接圆的圆心，F为直线OQ与AB的交点，BC与OQ交于P

点，A、C、Q三点共线，求证：OA2OPOQ.

ACFOPB例5：如图，P是⊙O外一点，PA与⊙O切于点A，PBC是⊙O的割线，AD⊥PO于D，

求证： PB:BDPC:CD.

P

B

D A O

C

例6：如图，直线AB、AC与⊙O分别相切于B、C两点，P为圆上一点，P到AB、AC的距离分

别为6cm、4cm，求P到BC的距离 B

M EOP

A

N C

例7： 在半⊙O中，AB为直径，一直线交半圆周于C、D，交AB延长线与M（MB设 K是△AOC与△DOB的外接圆除点O外的另一个交点， 求证：∠MKO=90°

K

D

C

MA OB

例8：如图，在圆内接四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，AC=a，

求：四边形ABCD的面积（用a表示）

A

ODBC