高中数学：数列求和方法归纳教师版

数列求和方法

一、利用常用求和公式求和 1、等差数列求和公式：Snn(a1an)n(n1)na1d 2、等比数列求和公22(q1)na1n式：Sna1(1q)a1anq

(q1)1q1q [例1] 已知log3x1，求xx2x3xn的前n项和. log23解：由log3x11log3xlog32x log232由等比数列求和公式得：Snxx2x3xn

11(1n)x(1x)2＝1－1 = ＝212n1x12n [例2] 设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求f(n)解：由等差数列求和公式得 Sn ∴ f(n)Sn的最大值.

(n32)Sn111n(n1)， Sn(n1)(n2) 2211nSn1＝2＝＝

850(n32)Sn1n34nn34(n)250nn18，即n＝8时，f(n)max

508 ∴ 当 n二、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an· bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：Sn13x5x27x3(2n1)xn1………………………①

解：由题可知，{(2n1)xn1}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数 {xn1}的通项之积：设xSn1x3x25x37x4(2n1)xn…②（设制错位）

①－②得 (1x)Sn12x2x22x32x42xn1(2n1)xn

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（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：

1xn1(1x)Sn12x(2n1)xn。∴

1x(2n1)xn1(2n1)xn(1x) Sn2(1x)2462n2n[例4] 求数列,2,3,,n,前n项的和.解：由题可知，{n}的通项是等差

222221数列{2n}的通项与等比数列{n}的通项之积

22462n设Sn23n…………………………………①

222212462nSn234n1…………② 22222①－②得

12n1222222n(1)Sn234nn1 2n1n1

222222222n2∴ Sn4n1

2三、倒序相加法求和

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排

列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1an). [例5] sin21sin22sin23sin288sin2的值

解：设Ssin21sin22sin23sin288sin2…………. ①

将①式右边反序得：Ssin2sin288sin23sin22sin21……② 又因为 sinxcos(90x),sin2xcos2x1，

①+②得 ： 2S(sin21cos21)(sin22cos22)(sin2cos2)= ∴ S＝44.5

四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

111[例6] 求数列的前n项和：11,4,27,,n13n2，…

aaa111解：设Sn(11)(4)(27)(n13n2)

aaa将其每一项拆开再重新组合得

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1112n1)(1473n2)（分组） aaa(3n1)n(3n1)n 当a＝1时，Snn＝（分组求和）

2211naa1n(3n1)n(3n1)na 当a1时，Sn＝ 1a1221a[例7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.

Sn(1解：设akk(k1)(2k1)2k33k2k ∴ Snk(k1)(2k1)＝(2k33k2k)

k1k1nn将其每一项拆开再重新组合得：

Sn＝2k3kk ＝2(1323n3)3(1222n2)(12n)

32k1k1k1nnnn2(n1)2n(n1)(2n1)n(n1)n(n1)2(n2) = ＝

2222五、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：

（1）anf(n1)f(n)

sin1 （2） tan(n1)tanncosncos(n1)（3）an111

n(n1)nn1(2n)2111（4） （4）an1()

(2n1)(2n1)22n12n1（5）an1111[]

n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)ann212(n1)n1111nn,则S1 nn1nnn(n1)2n(n1)2n2(n1)2(n1)2人生格言： 3 页 共 8 页 第世上无难事，只要肯登攀。

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[例8] 求数列

112,1231,,1nn1,的前n项和.

解：设annn11n1n，则

1nn1 Sn12312

=(21)(32)(n1n) ＝n11 [例9] 在数列{an}中，an的前n项的和.

12nn n1n1n12211 ∴ bn8()

nn1nn122 数列{bn}的前n项和：

1111111)] Sn8[(1)()()(22334nn118n) ＝ ＝8(1

n1n112n2，又bn，求数列{bn}n1n1n1anan1解： ∵ an111cos1 [例10] 求证：

cos0cos1cos1cos2cos88cossin21解：设S111 cos0cos1cos1cos2cos88cossin1 ∵tan(n1)tann cosncos(n1)111 cos0cos1cos1cos2cos88cos ＝1{(tan1tan0)(tan2tan1)(tan3tan2)[tantan88]} sin1 S11cos1(tantan0)＝cot1＝2 ＝

sin1sin1sin1 ∴ 原等式成立

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六、合并法求和

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.

[例11] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.

解：设Sn＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°

∵ cosncos(180n) （找特殊性质项）

∴Sn＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···+

（cos°+ cos91°）+ cos90°＝ 0 （合并求和）

[例12] 数列{an}：a11,a23,a32,an2an1an，求S2002.

解：设S2002＝a1a2a3a2002， 由a11,a23,a32,an2an1an可得

a41,a53,a62,a71,a83,a92,a101,a113,a122,……

∴a6k11,a6k23,a6k32,a6k41,a6k53,a6k62

∵ a6k1a6k2a6k3a6k4a6k5a6k60

∴ S2002＝a1a2a3a2002=

(a1a2a3a6)(a7a8a12)(a6k1a6k2a6k6)(a1993a1994a1998)a1999a2000a2001a2002 =a1999a2000a2001a2002＝a6k1a6k2a6k3a6k4＝5 [例13] 在各项均为正数的等比数列中，若

a5a69,求log3a1log3a2log3a10的值。

解：设Snlog3a1log3a2log3a10

由等比数列的性质 mnpqamanapaq和对数的运算性质 loagMloagNloagMN 得：

Sn(log3a1log3a10)(log3a2log3a9)(log3a5log3a6)

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＝(log3a1a10)(log3a2a9)(log3a5a6) ＝log39log39log39＝10

七、利用数列的通项求和

先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法. [例14] 求1111111111之和. n个1 解：由于1111k个111k99999(101) 9k个1n个1∴ 1111111111＝ 

11111(101)(1021)(1031)(10n1) 999911 ＝(10110210310n)(1111) 99n个11110(10n1)n＝(10n1109n) ＝91019818[例15] 已知数列{an}：an,求(n1)(anan1)的值.

(n1)(n3)n1解：∵ (n1)(anan1)8(n1)[11]

(n1)(n3)(n2)(n4) ＝8[11]

(n2)(n4)(n3)(n4)1111)8() n2n4n3n4 ＝4(1111 (n1)(anan1)4()8()

n4n4n1n1n2n1n311113 ＝4()8 ＝

3344

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专题训练

1、数列{an}的通项an( )

2n2nn2n B． C． D．

n12n1n12n111112、数列1,2,3,4,的前n项和可能为 ( )

248161111A．(n2n2)n B．(n2n)1n1

22221111C．(n2n2)n D．(n2n)2(1n)

22221，则数列{an}的前

123nn项和为

A．

223、已知数列{an}的前n项和Sn2n1，则a12a2等于( ) an11A．(2n1)2 B．(2n1) C．4n1 D．(4n1)

334、数列{an}的通项公式an1nn1(nN*),若前n项和为10，则项数n为

( )

A．11 B．99 C．120 D．121

5、在数列{an}中，a11,a22且an2an1(1)n(nN*)，则S100 ． 6、已知Sn159131721(1)n1(4n3)，则S15S22 ． 7、已知等差数列

{an}的前

n项和为Sn，若

2m1,mN,am1am1am0,S2m138，则m＝ ．

128、已知数列{an}中，a11，当n2时，其前n项和Sn满足Snan(Sn)。

2（1）求Sn的表达式； （2）设bn

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Sn，求{bn}的前n项和Tn． 2n1人生格言： 7 页 共 8 页 第高老师个性化教学 ◎高中数学◎ 数列基础知识和方法

9、等比数列{an}同时满足下列条件：①a1a633，②a3a432，③三个数（1）求数列{an}的通项公式； （2）记bn4a2,2a3,a4依次成等差数列．数列{bn}的前n项和Tn．

10、等差数列{an}各项均为正整数，a13，前n项和为Sn，在等比数列{bn}中，

b11且b2S2，公比为8。

n，求an（１）求an和bn；（２）证明：

1113。 S1S2Sn4

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