抛物线点差法

点差法————抛物线中点弦问题中的妙用

定理 在抛物线y22mx(m0)中，假设直线l与抛物线相交于M、N两点，点P(x0,y0)是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为kMN，那么kMNy0m.

2y12mx1,(1)证明：设M、N两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，那么有

2y22mx2.(2)(1)(2)，得y1y22m(x1x2).

22y2y1(y2y1)2m.

x2x1y2y1,y2y12y0.

x2x1又kMNkMNy0m.

注意：能用这个公式的条件：〔1〕直线与抛物线有两个不同的交点；〔2〕直线的斜率存在. 同理可证，在抛物线x22my(m0)中，假设直线l与抛物线相交于M、N两点，点P(x0,y0)是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为kMN，那么

1kMNx0m.

注意：能用这个公式的条件：〔1〕直线与抛物线有两个不同的交点；〔2〕直线的斜率存在，且不等于零.

典题妙解

例1 抛物线y4x的过焦点的弦的中点的轨迹方程是〔 〕

222 A. yx1 B. y2(x1) C. yx212 D. y2x1 2解：m2，焦点(1,0)在x轴上. 设弦的中点M的坐标为(x,y). 由kMNym得：

2yy2， x1整理得：y2(x1).

所求的轨迹方程为y22(x1).应选B.

例2 抛物线y2x上一组斜率为2的平行弦中点的轨迹方程是〔 〕

2.

.实用文档.

A. x1111〔y＞〕 B. y〔x＞〕 C. y2x〔x＞1〕 D. y2x1 2222112解：由y2x2得xy，m，焦点在y轴上. 设平行弦的中点M的坐标为(x,y).

24由

1kMN11xm得：x，

241. 2x11时，y. 2211点M的轨迹方程为x〔y＞〕.

22在y2x2中，当x故答案选A.

例3 〔03上海〕直线yx1被抛物线y4x截得的线段的中点坐标是___________. 解：m2，焦点(1,0)在x轴上. 设弦MN的中点P的坐标为(x,y)，弦MN所在的直线l的斜率为kMN，那么kMN1. 由kMNy0m得：y02，

22x01.从而x03.

所求的中点坐标是(3,2).

例4 抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，它和直线yx1相交，所得的弦的中点在

x2y25 上，求抛物线的方程.

解：设抛物线的方程为y2mx(m0)，直线与抛物线的两个交点为M、N，弦MN的中点P的坐标为(x0,y0).

由kMNy0m得：y0m，

2x0y01m1.

又点P(m1,m)在圆xy5上，

22(m1)2m25.

解之得：m2,或m1.

.

.实用文档.

yx1,由2得：x22(m1)x10. y2mx.直线与抛物线有两个不同的交点，

4(m1)24＞0.

m＜2，或m＞0. m1.

故所求的抛物线方程为y22x.

例5.抛物线y212x上永远有关于直线l:y4xm对称的相异两点，求实数m的取值范围. 解：设抛物线上A、B两点关于直线l对称，且弦AB的中点为P(x0,y0). 根据题意，点P在直线l上，ABl，kAB又y12x，y2mx，m6.

221. 4y A l 1y06，y024. 4m24又由y04x0m，得：x0.

4由kABy0m，得：点P(x0,y0)在抛物线的开口内，

O x P B (24)2＜12(m24). 4解之得：m＜216.

故实数m的取值范围(,216).

例6. 〔05全国Ⅲ文22〕设A(x1,y1),B(x2,y2)两点在抛物线y2x上，l是AB的垂直平分线. 〔Ⅰ〕当且仅当x1x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论. 〔Ⅱ〕当x11,x23时，求直线l的方程.

2解：〔Ⅰ〕x2111y，p,F(0,). 248设线段AB的中点为P(x0,y0)，直线l的斜率为k，那么x1x22x0.

假设直线l的斜率不存在，当且仅当x1x20时，AB的垂直平分线l为y轴，经过抛物线的焦点F.

假设直线l的斜率存在，那么其方程为yk(xx0)y0，kAB1. k.

.实用文档.

由

1kABx0p得：kx011，x0. 44k111kx0y0y0，y0，与y00相矛盾. 844假设直线l经过焦点F，那么得：

当直线l的斜率存在时，它不可能经过抛物线的焦点F.

综上所述，当且仅当x1x20时，直线l经过抛物线的焦点F. 〔Ⅱ〕当x11,x23时，A(1,2),B(3,18),x0x1x2yy21,y0110. 22由

1kABx0p得：k1. 4所求的直线l的方程为y1(x1)10，即x4y410. 4金指点睛

1. 直线xy20与抛物线y4x交于A、B两点，那么线段AB的中点坐标是________. 2. 直线ykx2与抛物线y8x交于不同的两点P、Q，假设PQ中点的横坐标是2，那么

22|PQ|=____.

3. 抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，直线l:y4x1被抛物线C所截得的弦AB的中点M的纵坐标为2，那么抛物线C的方程为____________.

2P4. 设P为抛物线xy的弦，如果这条弦的垂直平分线l的方程为yx3，求弦P1P2所在12的直线方程.

5. 过点Q(4,1)作抛物线y8x的弦AB，假设弦AB恰被Q平分，那么AB所在的直线方程为_______.

6. 抛物线y2x上有不同的两点A、B关于直线l:yxm对称，求实数m的取值范围. 7. 〔05全国Ⅲ理21〕设A(x1,y1),B(x2,y2)两点在抛物线y2x上，l是AB的垂直平分线. 〔Ⅰ〕当且仅当x1x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论. 〔Ⅱ〕当直线l的斜率为2时，求l在y轴上的截距的取值范围.

8. (08陕西文理20) 抛物线C：y2x，直线ykx2交C于A、B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N.

〔Ⅰ〕证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；

2222.

.实用文档.

〔Ⅱ〕是否存在实数k使NANB0，假设存在，求k的值；假设不存在，请说明理由.

参考答案

1. 解：y24x，y22mx，m2. 直线的斜率为1. 由kMNy0m得：y02. 代入x0y020求得x04.

线段AB的中点坐标是(4,2).

2. 解：y8x，y2mx，m4.

在ykx2中，x02时，y02k2，假设PQ中点的纵坐标是y02k2. 由kABy0m得：k(2k2)4，即k2k20. 解之得：k2或k1. 由22ykx2,2y8x.得：k2x24(k2)x40.

直线与抛物线交于不同的两点，

2k0, 2216(k2)16k0.解之得：k＞1且k0. k2.

y2x2,22由2得：4x16x40. 即x4x10. y8x.设P(x1,y1),Q(x2,y2)，那么x1x24,x1x21.

|PQ|(1k2)(x1x2)24x1x25(164)215.

3. 解：y8x，y2mx，m4. 由kABy0m得：kAB4.

AB所在的直线方程为y14(x4)，即4xy150. 4. 解：设抛物线的方程为y2mx〔m＞0〕.

222.

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在y4x1中，斜率为4，y2时，x由kABy0m得：4(2)m，m8.

33. 弦AB的中点M的坐标为(,2). 44所求的抛物线的方程为y216x.

5. 解：x2y，x22my，m1. 弦P1P2所在直线的斜率为1. 设弦P1P2的中点坐标为21. 21515(,). 3.弦PP的中点坐标为122222(x0,y0).由

1kP1P2x0m得：x0弦P1P2的中点也在直线yx3上，y0弦P1P2所在的直线方程为y511(x)，即xy20. 226. 解：设弦AB的中点为P(x0,y0). 根据题意，ABl，kAB1.

2又x11y，x22my，m.

42由

1kABx0m，得：1x011，x0. 441m. 4又由y0x0m，得：y0点P(x0,y0)在抛物线的开口内，

111()2＜(m).

4243解之得：m＞.

83 故实数m的取值范围(,).

811127. 解：〔Ⅰ〕xy，mp,F(0,).

248设线段AB的中点为P(x0,y0)，直线l的斜率为k，那么x1x22x0.

假设直线l的斜率不存在，当且仅当x1x20时，AB的垂直平分线l为y轴，经过抛物线的焦点F.

假设直线l的斜率存在，那么其方程为yk(xx0)y0，kAB1. k.

.实用文档.

由

1kABx0m得：kx011，x0. 44k111kx0y0y0，y0，与y00相矛盾. 844假设直线l经过焦点F，那么得：

当直线l的斜率存在时，它不可能经过抛物线的焦点F.

综上所述，当且仅当x1x20时，直线l经过抛物线的焦点F.

〔Ⅱ〕当k2时，由〔Ⅰ〕知，x0，直线l的方程为y2xy0181， 4它在y轴上的截距by0直线AB的方程为y11，y0b. 44115(xx0)y0，即yxb. 2216522代入y2x并整理得：4xx2b0.

8直线AB与抛物线有两个不同交点，

5116(2b)＞0，即32b9＞0.

89b＞.

329故l在y轴上的截距的取值范围是(,).

321128.〔Ⅰ〕证明：xy,mp，设点M的坐标为(x0,y0).

24 当k0时，点M在y轴上，点N与原点O重合，抛物线C

在点N处的切线为x轴，与AB平行.

当k0时，由

y A M 1kABx0p得：x0k. 4B N O x yN2x02k2kk2. 得点N的坐标为(,).

488k2kkk2m(x)，即ym(x)设抛物线C在点N处的切线方程为y. 8448kk2代入y2x，得：2xm(x)，

4822kmk20. 整理得：2xmx482kmk2m8()m22kmk2(mk)20，

482y A M .

.实用文档.

mk，即抛物线C在点N处的切线的斜率等于直线AB的斜率.

故抛物线C在点N处的切线与AB平行.

〔Ⅱ〕解：假设NANB0，那么NANB，即ANB90.

|AB|2|AM|2|BM|2|MN|.

k28y0kx02，

4k28k2k216. |MN|y0yN488由ykx2,2y2x.2得2xkx20.

设A(x1,y1),B(x2,y2)，那么x1x222k,x1x21. 22k21(k21)(k216). |AB|(1k)[(x1x2)4x1x2](k1)(4)421k216(k216)22222(k1)(k16)2. 即(k1)(k16). 284k2162化简，得：k1，即k4.

42k2.

故存在实数k2，使NANB0.

.