2020-2021学年江苏省南京市六校联合体高一（下）联考
数学试卷（3月份）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）
1. 已知集合𝐴={(𝑥,𝑦)|𝑦=𝑥2}，𝐵={(𝑥,𝑦)|𝑦=𝑥}，则𝐴∩𝐵中元素的个数为( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
2. 已知扇形的面积为4，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的周长为( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
3. 《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种
方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.下图是我国古代数学家赵爽创作的弦图，弦图由四个全等的直
角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.若直角三角形的直角边长分别为a和b，则该图形可以完成的无字证明为( )
A.
𝑎+𝑏2
≥√𝑎𝑏(𝑎>0,𝑏>0)
2
B. 𝑎2+𝑏2≥2𝑎𝑏(𝑎>0,𝑏>0) D. √𝑎
2+𝑏2
C. √𝑎𝑏≥1+1(𝑎>0,𝑏>0)
𝑎𝑏
2
≥
𝑎+𝑏2
(𝑎>0,𝑏>0)
4. 下列各式中，值为√3的是( )
A. 2𝑠𝑖𝑛212−2cos212 C. 𝑠𝑖𝑛15°𝑠𝑖𝑛75°
𝜋𝜋
B. 1−𝑡𝑎𝑛15∘
D. 𝑐𝑜𝑠15°−√3𝑠𝑖𝑛15°
1+𝑡𝑎𝑛15°
y的初始值相同，y每天减少1%，5. 若两个量x，其中x每天增加1%，大约经过( )天
后x的值是y的值的1000倍？(参考数据：𝑙𝑔1.01≈0.0043，𝑙𝑔0.99≈−0.0044)
A. 230 B. 280
𝜋
tan(+𝛼)
𝜋
12𝜋tan
12
C. 345
=( )
D. 365
6. 已知𝑠𝑖𝑛𝛼=5𝑠𝑖𝑛(𝛼+6)，则
A. 2
3
B. −2
1
3
C. 3
2
D. −3
2
𝑐𝑜𝑠𝐴=3，𝐴𝐵=1，𝐴𝐶=2，7. 已知△𝐴𝐵𝐶中，点E在直线BC上，且满足⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐸=4⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵+
⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑚∈𝑅)，则|𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ |=( ) 𝑚𝐴𝐶
A. 3 B. 6 C. 12 D. 36
2𝑥2∈(−∞,0)，𝑥1≠𝑥2，8. 设𝑓(𝑥)是定义在R上的奇函数，对任意的𝑥1，满足𝑥1⋅𝑓(𝑥1)+
2
𝑥2⋅𝑓(𝑥2)>𝑥1𝑥2[𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)]，𝑔(𝑥)=𝑥𝑓(𝑥)(𝑥∈𝑅)，则下列结论正确的是( )
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A. 𝑔(𝑥)是奇函数，且在区间(0,+∞)上是增函数 B. 𝑔(𝑥)是奇函数，且在区间(0,+∞)上是减函数 C. 𝑔(𝑥)是偶函数，且在区间(0,+∞)上是增函数 D. 𝑔(𝑥)是偶函数，且在区间(0,+∞)上是减函数
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）
⃗ =(𝑥2,𝑦2)，定义运算：𝑎⃗ =𝑥1𝑥2−𝑦1𝑦2.则下列说法正9. 设向量𝑎⃗ =(𝑥1,𝑦1) , 𝑏⃗ ⊗𝑏
确的是( )
A. (𝑐𝑜𝑠𝛼,𝑠𝑖𝑛𝛼)⊗(𝑐𝑜𝑠𝛼,−𝑠𝑖𝑛𝛼)=1 B. (𝑠𝑖𝑛𝛼,𝑐𝑜𝑠𝛼)⊗(𝑐𝑜𝑠𝛽,𝑠𝑖𝑛𝛽)=sin(𝛼−𝛽)
⃗ ⊗𝑐C. (𝑎⃗ ⊗⃗ 𝑏) 𝑐⃗ =(𝑏⃗ ) 𝑎⃗ ⃗ +𝑐D. 𝑎⃗ ⊗(𝑏⃗ )=𝑎⃗ ⊗⃗ 𝑏+𝑎⃗ ⊗𝑐⃗
10. 下列选项中，关于x的不等式𝑎𝑥2+(𝑎−1)𝑥−2>0有实数解的充分条件有( )
A. 𝑎≥0 B. 𝑎≥−3+2√2 C. −3−2√2<𝑎<−3+2√2或𝑎≥0 D. 𝑎<−3−2√2 11. 已知2𝑚=3𝑛=6，则m，n满足下列关系的是( )
A. 𝑚+𝑛=1
11
B. 𝑚𝑛>4 C. 𝑚+𝑛>4 D. 𝑚2+𝑛2<8
12. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛𝑥⋅|𝑐𝑜𝑠𝑥|，下列结论正确的是( )
A. 𝑓(𝑥)的最小正周期为2𝜋 B. 𝑓(𝑥)的图象关于直线𝑥=2对称 C. 𝑓(𝑥)在(−2,2)上单调递增
D. 若不等式𝑘𝑥+𝑎≤𝑓(𝑥)≤𝑘𝑥+𝑏对任意𝑥∈𝑅恒成立，则𝑏−𝑎的最小值为1
三、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 𝑠𝑖𝑛10°𝑐𝑜𝑠20°𝑐𝑜𝑠40°=______．
14. 已知单位向量𝑎⃗ ,⃗ 𝑏的夹角为30°，𝑎⃗ +𝜆⃗ 𝑏与⃗ 𝑏垂直，则𝜆= ______ ．
15. 在数学中，我们经常遇到定义(𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛).定义是指对某些对象标明符号，指明称
谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵.对于函数𝑓(𝑥)，使得x取定义域内的每一个值，都有𝑓(𝑥)=−𝑓(2−𝑥)，则称𝑓(𝑥)为“准奇函数”，请写出一个“准奇函数”的解析式为 ．
16. 4𝑐𝑜𝑠50°−𝑡𝑎𝑛50∘= ______ ．
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1𝜋𝜋
𝜋
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 设全集𝑈=𝑅，集合𝐴={𝑥||𝑥−𝑎|<1}，𝐵={𝑥|𝑥−2≥2}．
(1)若𝑎=2，求𝐴∪𝐵；
(2)若𝐴∩(∁𝑈𝐵)=⌀，求实数a的取值范围．
18. 已知𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥．
(1)若𝑥∈(0,2)，求𝑓(𝑥)的值域；
(2)若sin(𝛼−4)=4,𝛼∈(𝜋,2𝜋)，求𝑓(𝛼)的值．
219. 已知𝛼，𝛽为锐角，𝑡𝑎𝑛𝛼=2，cos(𝛼+𝛽)=−√．
10
1
𝜋
1
3
𝜋1
1
𝑥+1
(1)求𝑐𝑜𝑠2𝛼的值； (2)求𝛼−𝛽的值．
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20. 已知函数𝑓(𝑥)=sin(𝜔𝑥+6)+sin(𝜔𝑥−6)−2𝑐𝑜𝑠2
𝜋
𝜋
𝜔𝑥2
,𝑥∈𝑅,𝜔>0.从条件①、条
件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件， ①𝑓(𝑥)在(𝑎,𝑏)上单调递增，则𝑏−𝑎的最大值为2；
②𝑦=𝑓(𝑥)的图象与直线𝑦=−1的两个相邻交点间的距离为2； ③𝑦=𝑓(𝑥)的对称轴间的最小距离为2． (1)求𝑓(𝑥)的解析式； (2)求方程𝑓(𝑥)+2=0在𝑥∈[0,
21. 在平行四边形ABCD中，𝐴𝐵=2，𝐴𝐷=1，∠𝐷𝐴𝐵=3.若E、F分别是边BC、CD
上的点．
⃗⃗⃗⃗⃗ 表示⃗⃗⃗⃗⃗ (1)若E、F分别是边BC、CD的中点，AE与BF交于点O，用⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵和⃗𝐴𝐷𝐴𝑂； ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围． (2)若E、F满足𝐵𝐶=𝐶𝐷，求𝐴𝐸
22. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+𝑎−𝑥(𝑎>1)，𝑓(1)=2．
(1)判断𝑓(𝑥)在(0,+∞)上的单调性，并利用单调性的定义加以证明；
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5
𝐵𝐸
𝐶𝐹
𝜋
114
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋]上所有解的和．
(2)若不等式𝑓(2𝑥)≤𝑚𝑓(𝑥)−𝑚−3对任意实数𝑥∈[0,1]恒成立，求实数m的取值范围；
(3)若存在𝑥∈(0,+∞)，使得𝑓(𝑥)=𝑡⋅2𝑥+1，求实数t的取值范围．
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答案和解析
1.【答案】B
𝑦=𝑥2
}={(0,0)，(1,1)}． 【解析】解：∵𝐴∩𝐵={(𝑥,𝑦)|{
𝑦=𝑥∴𝐴∩𝐵中元素的个数为2． 故选：B．
根据交集定义求𝐴∩𝐵即可．
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：根据题意知扇形的面积𝑠=4，扇形圆心角的弧度数𝜃=2， ∵𝑠=𝜃𝑅2，可得：4=×2×𝑅2，解得𝑅=2，
2
2
1
1
∵𝑙=𝜃𝑅=2×2=4，
∴扇形的周长为𝑙+2𝑅=4+2×2=8． 故选：D．
由题意利用扇形的面积公式可求扇形的半径，利用弧长公式可求弧长，即可得解扇形的周长．
本题考查扇形面积公式，关键在于掌握弧长公式，扇形面积公式及其应用，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：因为直角三角形的直角边长分别为a和b， 所以斜边即大正方形的边长为√𝑎2+𝑏2，大正方形面积𝑎2+𝑏2， 由题意得𝑎2+𝑏2≥4×2𝑎𝑏=2𝑎𝑏，当且仅当𝑎=𝑏时取等号， 故选：B．
斜边即大正方形的边长为√𝑎2+𝑏2，大正方形面积𝑎2+𝑏2，而大正方形面积大于等于四个直角三角形的面积和，可求．
本题主要考查了利用图形证明不等式，属于基础题．
1
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4.【答案】B
【解析】解：2𝑠𝑖𝑛212−2cos212=−2𝑐𝑜𝑠6=−√3，不符合题意；
1+𝑡𝑎𝑛15°1−𝑡𝑎𝑛15∘
𝜋
𝜋
𝜋
=
𝑡𝑎𝑛45°+𝑡𝑎𝑛15°1−𝑡𝑎𝑛45∘𝑡𝑎𝑛15∘
1
=𝑡𝑎𝑛60°=√3，符合题意；
1
1
𝑠𝑖𝑛15°𝑠𝑖𝑛75°=×2𝑠𝑖𝑛15°𝑐𝑜𝑠15°=𝑠𝑖𝑛30°=，不符合题意；
224𝑐𝑜𝑠15°−√3𝑠𝑖𝑛15°=2𝑐𝑜𝑠(15°+60°)=2𝑐𝑜𝑠75°≠√3，不符合题意． 故选：B．
结合二倍角公式，辅助角公式及和差角公式进行化简，再结合特殊角三角函数值分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式及和差角公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：设经过n天后，x的值是y的值的1000倍， ∴𝑥(1+1%)𝑛=1000𝑥(1−1%)𝑛， ∴(0.99)𝑛=1000， ∴𝑛lg
1.010.991.01
=3，
∴𝑛(0.0043+0.0044)=3， ∴𝑛≈345， 故选：C．
设经过n天后，x的值是y的值的1000倍，利用题中的条件，列出等式，即可解出． 本题考查了指数函数和对数函数的运算，学生的数学运算能力，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：∵𝑠𝑖𝑛𝛼=5𝑠𝑖𝑛(𝛼+6)， ∴sin[(𝛼+12)−12]=5𝑠𝑖𝑛[(𝛼+12)+12]，
∴sin(𝛼+12)cos12−cos(𝛼+12)sin12=5𝑠𝑖𝑛(𝛼+12)cos12+5𝑐𝑜𝑠(𝛼+12)sin12，
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𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
即−4𝑠𝑖𝑛(𝛼+12)cos12=6𝑐𝑜𝑠(𝛼+12)sin12， ∴tan(𝛼+即
tan(+𝛼)
𝜋12𝜋tan
12
𝜋𝜋𝜋𝜋
)=−tan， 12212=−．
2
3
𝜋3𝜋
故选：B．
𝛼+6=(𝛼+12)+12，根据𝛼=(𝛼+12)−12，再结合两角和差的正弦公式，即可得解． 本题考查两角和差的正弦公式，同角三角函数的商数关系，观察角之间的联系，进行拆补角是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
7.【答案】B
【解析】解：如图，
⃗⃗⃗⃗⃗ −⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ −⃗⃗⃗⃗⃗ 设⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐸=𝜆⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐶=𝜆(𝐴𝐶𝐴𝐵)，则：⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐸=⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵+⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐸=⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵+𝜆(𝐴𝐶𝐴𝐵)=(1−𝜆)⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵+⃗⃗⃗⃗⃗ ， 𝜆𝐴𝐶
⃗⃗⃗ ， 又⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐸=4⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵+𝑚⃗⃗𝐴𝐶
∴1−𝜆=4，𝑚=𝜆，解得𝑚=−3，
⃗⃗⃗ ，且𝐴𝐵=1，𝐴𝐶=2，𝑐𝑜𝑠𝐴=， ∴⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐸=4⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵−3⃗⃗𝐴𝐶3
⃗⃗⃗⃗⃗ |=√16𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +9𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ −24𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =√16×1+9×4−24×1×2×=6． ∴|𝐴𝐸3
1
2
2
1
故选：B．
⃗⃗⃗ ，可画出图形，并设⃗⃗⃗⃗⃗ 从而可得出⃗⃗⃗⃗⃗ 再根据⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐸=𝜆⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐶，𝐵𝐸=(1−𝜆)⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵+𝜆⃗⃗𝐴𝐶𝐴𝐸=4⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵+⃗⃗⃗ 即可求出𝑚=−3，然后根据|𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(4𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ −3𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ )2进行数量积的运算即可求出𝑚⃗⃗𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ |的值． |𝐴𝐸
本题考查了共线向量基本定理，平面向量基本定理，向量数量积的运算，向量长度的求法，考查了计算能力，属于中档题．
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8.【答案】D
【解析】解：由题意得𝑓(−𝑥)=−𝑓(𝑥)，𝑔(−𝑥)=−𝑥𝑓(−𝑥)=𝑥𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)， 所以𝑔(𝑥)为偶函数，排查A，B；
因为对任意的𝑥1，𝑥2∈(−∞,0)，𝑥1≠𝑥2， 不妨设的𝑥1>𝑥2，则𝑥1−𝑥2>0，
22
因为𝑥1⋅𝑓(𝑥1)+𝑥2⋅𝑓(𝑥2)>𝑥1𝑥2[𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)]，
所以𝑥1(𝑥1−𝑥2)𝑓(𝑥1)>𝑥2(𝑥1−𝑥2)𝑓(𝑥2)， 即𝑥1𝑓(𝑥1)>𝑥2𝑓(𝑥2)， 所以𝑔(𝑥1)>𝑔(𝑥2)，
所以𝑔(𝑥)在(−∞,0)上是增函数，
根据偶函数对称性得𝑔(𝑥)在(0,+∞)上是减函数． 故选：D．
先判断𝑔(𝑥)的奇偶性，然后结合已知不等式及函数单调性定义判断𝑔(𝑥)的单调性，根据偶函数的性质即可判断．
本题主要考查了函数奇偶性及单调性的判断，单调性的定义的应用及偶函数对称区间上单调性相反性质的应用是求解问题的关键．
9.【答案】ABD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，(𝑐𝑜𝑠𝛼,𝑠𝑖𝑛𝛼)⊗(𝑐𝑜𝑠𝛼,−𝑠𝑖𝑛𝛼)=cos2𝛼+sin2𝛼=1，A正确，
对于B，(𝑠𝑖𝑛𝛼,𝑐𝑜𝑠𝛼)⊗(𝑐𝑜𝑠𝛽,𝑠𝑖𝑛𝛽)=𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽−𝑐𝑜𝑠𝛽𝑠𝑖𝑛𝛽=sin(𝛼−𝛽)，B正确， ⃗ =𝑥1𝑥2−𝑦1𝑦2.则𝑎⃗ 是实数，则(𝑎⃗ )𝑐⃗ ⊗𝑐⃗ 共线，而(𝑏⃗ 共对于C，𝑎⃗ ⊗𝑏⃗ ⊗𝑏⃗ ⊗𝑏⃗ 与𝑐⃗ )𝑎⃗ 与𝑎线，两者不一定相等，C错误，
⃗ +𝑐⃗ =(𝑥3,𝑦3)，𝑎对于D，设𝑐⃗ ⊗(𝑏⃗ )=𝑥1(𝑥2+𝑥3)−𝑦1(𝑦2+𝑦3)=𝑥1𝑥2−𝑦1𝑦2+𝑥1𝑥3−𝑦1𝑦3=𝑎⃗ ⊗⃗ 𝑏+𝑎⃗ ⊗𝑐⃗ ，D正确， 故选：ABD．
根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
本题向量的坐标计算，关键是理解则𝑎⃗ ⊗⃗ 𝑏的计算规则，属于基础题．
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10.【答案】ABD
【解析】解：𝑎=0时，关于x的不等式𝑎𝑥2+(𝑎−1)𝑥−2>0，化为−𝑥−2>0，解得𝑥<−2，满足条件；
𝑎<0
𝑎>0或{，即𝑎>0或−3+2√2≤𝑎<0或𝑎≤−3−2√2时，
△=(𝑎−1)2+8𝑎≥0关于x的不等式𝑎𝑥2+(𝑎−1)𝑥−2>0有实数解．
综上，𝑎≥0或3+2√2≤𝑎或𝑎≤−3−2√2时，关于x的不等式𝑎𝑥2+(𝑎−1)𝑥−2>0有实数解． 故选：ABD．
对a分类讨论，利用“三个二次”之间的关系即可得出结论．
本题考查了“三个二次”之间的关系、分类讨论思想，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
11.【答案】ABC
【解析】解：∵2𝑚=3𝑛=6， ∴𝑚=log26=𝑙𝑜𝑔2，
6
1
𝑛=log36=𝑙𝑜𝑔3，
6
1
∴𝑚+𝑛=log62+log63=1，故A正确， ∵𝑚，𝑛>0，𝑚≠𝑛，
∴1=𝑚+𝑛>2√𝑚𝑛，故𝑚𝑛>4，故B正确， ∵𝑚+𝑛=(𝑚+𝑛)(𝑚+𝑛)=2+
1
1
𝑚𝑛
1
1
1
11
+𝑚>2+2√𝑚⋅
𝑛𝑛𝑚𝑛
=4，故C正确，
∵𝑚𝑛>4成立，∴𝑚2+𝑛2>2𝑚𝑛>8，故D错误， 故选：ABC．
根据对数的运算判断A，根据不等式的性质判断BCD．
本题考查了对数的运算性质，考查不等式的性质的应用，是基础题．
12.【答案】ABD
第10页，共18页
【解析】解：函数𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛𝑥⋅|𝑐𝑜𝑠𝑥|， 如图所示：
对于A：根据函数的图象，函数的最小正周期为2𝜋，故A正确； 对于B：函数的图象关于𝑥=2对称，故B正确； 对于C：函数𝑓(𝑥)在(−2,4)上单调递增，故C错误；
对于D：当𝑘=0时，𝑎≤𝑓(𝑥)≤𝑏，即−2≤𝑓(𝑥)≤2，𝑏−𝑎的最小值为1， 当k取其他值时，无法判定不等式𝑘𝑥+𝑎≤𝑓(𝑥)≤𝑘𝑥+𝑏对任意𝑥∈𝑅恒成立，故D正确． 故选：ABD．
直接利用函数的图象和函数的性质，周期和对称性，单调性和函数的恒成立问题的应用判定A、B、C、D的结论．
本题考查的知识要点：函数的图象和性质，函数的恒成立问题，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
1
1
𝜋𝜋
𝜋
13.【答案】8 【解析】 【分析】
本题考查三角公式的记忆及熟练运用三角公式计算求值，属于基础题． 分子分母同乘以2𝑐𝑜𝑠 10°，利用二倍角的正弦公式可化简得． 【解答】
解：𝑠𝑖𝑛10°𝑐𝑜𝑠20°𝑐𝑜𝑠40°=故答案为8
1
𝑠𝑖𝑛20°𝑐𝑜𝑠20°𝑐𝑜𝑠40°
2𝑐𝑜𝑠10∘
1
=
𝑠𝑖𝑛40°𝑐𝑜𝑠40°4𝑐𝑜𝑠10∘
=8𝑐𝑜𝑠10∘=8，
𝑠𝑖𝑛80°1
第11页，共18页
314.【答案】−√ 2
⃗ =√3， 【解析】解：由题意得|𝑎⃗ ⋅𝑏⃗ |=|⃗ 𝑏|=1，𝑎
2
因为𝑎⃗ +𝜆⃗ 𝑏与⃗ 𝑏垂直，
√3所以(𝑎⃗ +𝜆⃗ 𝑏)⋅⃗ 𝑏=𝑎⃗ ⋅⃗ 𝑏+𝜆⃗ 𝑏=2+𝜆=0，
2
所以𝜆=−√．
2故答案为：−√．
233由已知结合向量数量积的定义及性质即可直接求解． 本题主要考查了向量数量积的定义及性质，属于基础题．
15.【答案】𝑓(𝑥)=(𝑥−1)3，(答案不唯一)
【解析】 【分析】
由已知得𝑓(2−𝑥)=−𝑓(𝑥)，即函数的图形关于(1,0)对称，结合基本初等函数可求． 本题主要考查了基本初等函数的对称性的判断，属于基础题． 【解答】
解：因为𝑓(𝑥)=−𝑓(2−𝑥)即𝑓(2−𝑥)=−𝑓(𝑥)， 所以函数的图形关于(1,0)对称，
满足条件的函数有𝑓(𝑥)=(𝑥−1)3，𝑓(𝑥)=𝑥−1等． 故答案为：𝑓(𝑥)=(𝑥−1)3(答案不唯一)．
1
16.【答案】√3
【解析】解：4𝑐𝑜𝑠50°−𝑡𝑎𝑛50∘=4𝑐𝑜𝑠50°−𝑠𝑖𝑛50∘=
=
1
𝑐𝑜𝑠50°
4𝑠𝑖𝑛50°𝑐𝑜𝑠50°−𝑐𝑜𝑠50°
𝑠𝑖𝑛50∘
2𝑠𝑖𝑛100°−𝑠𝑖𝑛40°2𝑐𝑜𝑠10°−sin(10°+30°)
=
𝑠𝑖𝑛50∘𝑠𝑖𝑛50∘1√32𝑐𝑜𝑠10°−2𝑠𝑖𝑛10°−2𝑐𝑜𝑠10° =
𝑠𝑖𝑛50°第12页，共18页
1√3√3(2𝑐𝑜𝑠10°−2𝑠𝑖𝑛10°) =
𝑠𝑖𝑛50°=
=√3． 故答案为：√3．
结合诱导公式、辅助角公式和两角和差公式等，将非特殊角向特殊角进行化简运算，可得解．
本题考查三角恒等变换的综合，熟练掌握二倍角公式、两角和差公式、辅助角公式以及诱导公式等是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
√3sin(60°−10°)
𝑠𝑖𝑛50°
17.【答案】解：(1)𝐵={𝑥|𝑥−2≤0}={𝑥|2<𝑥≤5}，
𝑎=2时，𝐴={𝑥||𝑥−2|<1}={𝑥|1<𝑥<3}， ∴𝐴∪𝐵=(1,5]；
(2)𝐴={𝑥|𝑎−1<𝑥<𝑎+1}，∁𝑈𝐵={𝑥|𝑥≤2或𝑥>5}，且𝐴∩(∁𝑈𝐵)=⌀， ∴{
𝑎−1≥2
，解得3≤𝑎≤4，
𝑎+1≤5
𝑥−5
∴𝑎的取值范围为：[3,4]．
【解析】本题考查了描述法的定义，绝对值不等式和分式不等式的解法，交集、并集和补集的定义及运算，全集的定义，考查了计算能力，属于中档题．
(1)可求出集合𝐵={𝑥|2<𝑥≤5}，𝑎=2时可求出集合A，然后进行并集的运算即可； (2)可求出集合𝐴={𝑥|𝑎−1<𝑥<𝑎+1}，∁𝑈𝐵={𝑥|𝑥≤2或𝑥>5}，然后根据𝐴∩(∁𝑈𝐵)=⌀即可求出a的取值范围．
18.【答案】解：(1)𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥=
𝜋1
1
𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥
，
2−1
𝑡
令𝑡=𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥=√2sin(𝑥+4)，则𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥=
2
，
∵𝑥∈(0,2)， ∴𝑥+4∈(4,
𝜋
𝜋3𝜋
4
𝜋
)，∴𝑡∈(1,√2]，
𝑡
𝑡2−12
∴原函数可化为𝑔(𝑡)=
1
=
2𝑡−
1𝑡，𝑡∈(1,√2]，
∵函数𝑦=𝑡和𝑦=−𝑡在(1,√2]上均单调递增，
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∴𝑔(𝑡)在(1,√2]上单调递减，
∴𝑔(𝑡)≥𝑔(√2)=2√2，即𝑓(𝑥)≥2√2， 故𝑓(𝑥)的值域为[2√2,+∞)． (2)∵sin(𝛼−)=，
44∴
√2(𝑠𝑖𝑛𝛼2
√
−𝑐𝑜𝑠𝛼)=4，即𝑠𝑖𝑛𝛼−𝑐𝑜𝑠𝛼=4，
√24
1
2𝜋
1
∵(𝑠𝑖𝑛𝛼−𝑐𝑜𝑠𝛼)2=1−2𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼=()2， ∴2𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼=8，即𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼=16， ∴(𝑠𝑖𝑛𝛼+𝑐𝑜𝑠𝛼)2=1+2𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼=∵𝛼∈(𝜋,∴𝑓(𝛼)=
3𝜋
158
7
7
，
)，∴𝑠𝑖𝑛𝛼<0，𝑐𝑜𝑠𝛼<0，∴𝑠𝑖𝑛𝛼+𝑐𝑜𝑠𝛼=−√15=−√30， 2
8
4
sin𝛼cos𝛼
𝑠𝑖𝑛𝛼+𝑐𝑜𝑠𝛼
=
−
√304716
=−
4√30． 7
【解析】(1)采用换元法，令𝑡=𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥，结合同角三角函数的平方关系，可将𝑓(𝑥)化为𝑔(𝑡)=𝑡−1，𝑡∈(1,√2]，再判断函数的单调性，即可得解；
𝑡
2
(2)先利用两角差的正弦公式可得𝑠𝑖𝑛𝛼−𝑐𝑜𝑠𝛼=√，再根据同角三角函数的平方关系，
4
2求得𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼和𝑠𝑖𝑛𝛼+𝑐𝑜𝑠𝛼的值，从而得解．
本题主要考查三角函数与三角恒等变换的综合，还涉及函数的单调性与值域，熟练掌握同角三角函数的平方关系、两角差的正弦公式与辅助角公式是解题的关键，考查转化与化归思想、逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)因为𝛼为锐角，且𝑡𝑎𝑛𝛼=2，
所以𝑠𝑖𝑛𝛼=√5，𝑐𝑜𝑠𝛼=√5，
所以𝑐𝑜𝑠2𝛼=2𝑐𝑜𝑠2𝛼−1=2×(√5)2−1=5． (2)由(1)知，𝑠𝑖𝑛2𝛼=2𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼=2×√5×√5=5， 因为𝛼，𝛽为锐角，cos(𝛼+𝛽)=−√，
102124
23
121
所以sin(𝛼+𝛽)=√1−cos2(𝛼+𝛽)=
7√2， 10
cos(𝛼−𝛽)=cos[2𝛼−(𝛼+𝛽)]=𝑐𝑜𝑠2𝛼𝑐𝑜𝑠(𝛼+𝛽)+𝑠𝑖𝑛2𝛼𝑠𝑖𝑛(𝛼+𝛽)
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=
=
√2， 2
347√2√2 ×(−)+×
510510所以𝛼−𝛽=4．
𝜋
【解析】(1)由同角三角函数的关系，可得𝑠𝑖𝑛𝛼和𝑐𝑜𝑠𝛼的值，再由二倍角公式，得解； (2)先由二倍角公式求得𝑠𝑖𝑛2𝛼的值，再由同角三角函数的平方关系求得sin(𝛼+𝛽)的值，根据𝛼−𝛽=2𝛼−(𝛼+𝛽)，结合两角差的余弦公式，得解．
本题主要考查三角恒等变换的综合，熟练掌握二倍角公式、两角差的余弦公式和同角三角函数的平方关系是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：𝑓(𝑥)=sin(𝜔𝑥+6)+sin(𝜔𝑥−6)−2𝑐𝑜𝑠2
=2𝑠𝑖𝑛𝜔𝑥𝑐𝑜𝑠6−
𝜋𝜋
1+𝑐𝑜𝑠2𝜔𝑥
2
𝜋
𝜋
𝜔𝑥2
,𝑥∈𝑅,𝜔>0，
=√3𝑠𝑖𝑛2𝜔𝑥−𝑐𝑜𝑠2𝑥−2，
1
=2𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥−6)−1，
选①：𝑓(𝑥)在(𝑎,𝑏)上单调递增，且𝑏−𝑎的最大值为2， 则𝑇=
2𝜋𝜔
𝜋
=𝜋，
𝜋
故𝜔=2，𝑓(𝑥)=2𝑠𝑖𝑛(2𝑥−6)−1，
𝑦=𝑓(𝑥)的图象与直线𝑦=−1的两个相邻交点间的距离为2，选②：则2𝑇=2，即𝑇=𝜋， 故𝜔=2，𝑓(𝑥)=2𝑠𝑖𝑛(2𝑥−6)−1，
选③：𝑦=𝑓(𝑥)的对称轴间的最小距离为2，即则2𝑇=2，即𝑇=𝜋， 故𝜔=2，𝑓(𝑥)=2𝑠𝑖𝑛(2𝑥−6)−1， (2)𝑓(𝑥)+2=2𝑠𝑖𝑛(2𝑥−)+1=0，
6𝜋
𝜋
𝜋
1
𝜋
𝜋
𝜋
1
𝜋
故sin(2𝑥−6)=−2，
2𝑥−6=−6+2𝑘𝜋或2𝑥−=−
6因为𝑥∈[0,
𝜋
114
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
5𝜋6
𝜋1
+2𝑘𝜋，𝑘∈𝑍，
]， ，
𝜋]，所以2𝑥−6∈[−6,
𝜋
7𝜋
11𝜋6
𝜋16𝜋
3
则2𝑥−6可取−6，6，
2𝜋
，19𝜋6
，23𝜋6
，
31𝜋6
所以x可能取值0，3，𝜋，3，2𝜋，3．
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5𝜋8𝜋
故所有解的和为8𝜋．
【解析】(1)由①②③可知函数的周期𝑇=𝜋，进而可求出𝜔，再得到函数𝑓(𝑥)的解析式；
(2)由已知得sin(2𝑥−6)=−2，结合正弦函数的性质可得2𝑥−6=−6+2𝑘𝜋或2𝑥−6=−
5𝜋6
𝜋
1
𝜋
𝜋
𝜋
+2𝑘𝜋，𝑘∈𝑍，结合已知区间求解即可．
本题主要考查了由部分函数的性质求解函数解析式，三角函数的图象与性质，属于中档题．
⃗⃗⃗⃗⃗ =𝜆𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ ， 21.【答案】解：(1)如图，设𝐴𝑂
E、F分别是边BC、因为平行四边形ABCD中，CD的中点，
⃗⃗⃗⃗⃗ +⃗⃗⃗⃗⃗ 所以⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝑂=𝜆⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐸=𝜆(𝐴𝐵𝐵𝐸)=𝜆⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵+
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝜆𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +𝜆(𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐹𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ +𝜆(𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ −𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ )=𝜆𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +𝜆𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ ， ⃗⃗⃗⃗⃗ )=𝜆𝐴𝐵𝜆𝐴𝐷222242因为B，O，F三点共线， 所以4𝜆+2𝜆=1，解得𝜆=5，
12
⃗⃗⃗⃗⃗ =4⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 𝐴𝑂=𝜆⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵+2𝜆⃗𝐴𝐷𝐴𝐵+𝐴𝐷所以⃗⃗⃗⃗⃗ 55
3
1
4
11131
(2)设𝐵𝐶=𝐶𝐷=𝑚(0≤𝑚≤1)， ⃗⃗⃗⃗ =𝑚⃗⃗⃗⃗⃗ 所以⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐸=𝑚⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐶，⃗𝐹𝐶𝐷𝐶，
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ =(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑚⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−𝑚)⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐸⋅⃗⃗𝐴𝐹𝐵𝐸)⋅(𝐴𝐷𝐷𝐹)=(𝐴𝐵𝐵𝐶)⋅[𝐴𝐷𝐷𝐶] ⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑚⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−𝑚)⃗⃗⃗⃗⃗ =⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵⋅⃗𝐴𝐷𝐵𝐶⋅⃗𝐴𝐷𝐴𝐵⋅⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐷𝐶+𝑚(1−𝑚)⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐶⋅⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐷𝐶 𝜋𝜋
=2×1×cos+𝑚+4−4𝑚+𝑚(1−𝑚)2×1×cos
33
=−𝑚2−2𝑚+5(0≤𝑚≤1)， ⃗⃗⃗ 取得最大值为5， 当𝑚=0时，⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐸⋅⃗⃗𝐴𝐹⃗⃗⃗ 取得最小值为2， 当𝑚=1时，⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐸⋅⃗⃗𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[2,5]． 所以⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐸⋅𝐴𝐹
𝐵𝐸𝐶𝐹
31
⃗⃗⃗ ，⃗⃗⃗⃗⃗ =𝜆𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ ，⃗⃗⃗⃗⃗ =𝜆𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ ，𝜆⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵+𝜆⃗⃗𝐴𝐹(1)设𝐴𝑂【解析】利用向量的线性运算可得𝐴𝑂由B，42
O，F三点共线，即可求解𝜆的值，从而求得结论；
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(2)设𝐵𝐶=𝐶𝐷=𝑚(0≤𝑚≤1)，利用向量的线性运算与数量积运算将⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐸⋅⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐹转化为关于m的二次函数，利用二次函数的性质即可求解．
本题主要考查平面向量数量积的运算，平面向量基本定理，平面向量的线性运算，考查转化思想，函数思想与运算求解能力，属于中档题．
𝐵𝐸𝐶𝐹
22.【答案】解：(1)𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+𝑎−𝑥(𝑎>1)，𝑓(1)=2，
即有𝑎+𝑎−1=2，解得𝑎=2， 所以𝑓(𝑥)=2𝑥+2−𝑥，
可得𝑓(𝑥)在(0,+∞)上单调递增．
理由：设0<𝑥1<𝑥2，𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)=2𝑥1+2−𝑥1−2𝑥2−2−𝑥2=(2𝑥1−2𝑥2)(1−2−𝑥1−𝑥2)，
由0<𝑥1<𝑥2，可得2𝑥1−2𝑥2<0，2𝑥1+𝑥2>1，1−2−𝑥1−𝑥2>0， 所以(2𝑥1−2𝑥2)(1−2−𝑥1−𝑥2)<0，则𝑓(𝑥1)<𝑓(𝑥2)， 所以𝑓(𝑥)在(0,+∞)上单调递增；
(2)不等式𝑓(2𝑥)≤𝑚𝑓(𝑥)−𝑚−3即22𝑥+2−2𝑥≤𝑚(2𝑥+2−𝑥)−𝑚−3， 由于𝑥∈[0,1]，可得2𝑥+2−𝑥∈[2,2.5]， 所以𝑚≥
𝑥
22𝑥+2−2𝑥+32𝑥+2−𝑥−1−𝑥
5
5
对𝑥∈[0,1]恒成立，
𝑡2+1𝑡−1
设𝑡=2+2由
𝑡2+1𝑡−1
，𝑡∈[2,2.5]，可得𝑚≥
2
对𝑡∈[2,2.5]恒成立，
=(𝑡−1)+𝑡−1+2在[2,1+√2)递减，(1+√2,2.5]递增，
𝑡2+1𝑡−1
可得𝑡=2.5时，可得𝑚≥6.5；
取得最大值6.5，
(3)𝑓(𝑥)=𝑡⋅2𝑥+1即2𝑥+2−𝑥=𝑡⋅2𝑥+1， 可得𝑡=1−2𝑥+4𝑥，
因为𝑥>0，即有2𝑥>1，0<2−𝑥<1， 1−2𝑥+4𝑥=(2𝑥−2)2+4，
当𝑥=1时，1−2𝑥+4𝑥取得最小值4， 当𝑥=0时，1−2𝑥+4𝑥=1， 所以1−2𝑥+4𝑥∈[4,1)．
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1
1
31
11
1
3
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1
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3
1
1
则实数t的取值范围是[4,1)．
3
【解析】(1)令𝑥=1，解方程可得a，运用单调性的定义，注意作差变形，结合指数函数的单调性，可得结论；
(2)由(1)的结论和参数分离，结合对勾函数的单调性求得最值，可得所求范围； (3)由参数分离和指数函数的单调性、二次函数的值域求法，可得所求范围． 本题考查函数的单调性的判断和证明，以及函数恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
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