数理统计试题及答案

1、总体X~N(20,3)的容量分别为10，15的两独立样本均值差XY~________;

22、设X1,X2,...,X16为取自总体X~N(0,0.52)的一个样本，若已知0.01(16)32.0,则

P{Xi28}=________；

i123、设总体X~N(,)，若和均未知，n为样本容量，总体均值的置信水平为

2161的置信区间为(X,X),则的值为________；

4、设X1,X2,...,Xn为取自总体X~N(,2)的一个样本，对于给定的显著性水平，已知关于检验的拒绝域为2≤12(n1)，则相应的备择假设H1为________;

22已知,在显著性水平0。5、设总体X~N(,2)，05下，检验假设H0:0,H1:0，

拒绝域是________。

1、N(0，)； 2、0。01； 3、t(n1)212Sn2; 4、20; 5、zz0.05。

二、选择题(本题15分,每题3分)

1、设X1,X2,X3是取自总体X的一个样本，是未知参数,以下函数是统计量的为（

）。

13（A）(X1X2X3) (B)X1X2X3 (C）X1X2X3 (D)(Xi)2

3i11n222、设X1,X2,...,Xn为取自总体X~N(,)的样本，X为样本均值，Sn(XiX)2，

ni11则服从自由度为n1的t分布的统计量为( ）. （A）

n(X)n1(X)n1(X）n(X） (B) （C） （D）

SnSn21n(XiX)2， 3、设X1,X2,,Xn是来自总体的样本,D(X)存在， Sn1i12则（ ).

（A）S2是2的矩估计

(B）S2是2的极大似然估计

（D)S2作为2的估计其优良性与分布有关

（C）S2是2的无偏估计和相合估计

2)相互独立，样本容量分别为n1,n2，样本方差分别4、设总体X~N(1,12),Y~N(2,2222,H1:122为S12,S2，在显著性水平下，检验H0:122的拒绝域为（ ）。

(A)

2s2s12F(n21,n11) (B）

2s2s12F12(n21,n11)

（C)

2s2s12F(n11,n21) （D)

2s2s12F12(n11,n21)

2 5、设总体X~N(,2)，已知，未知,x1,x2,,xn是来自总体的样本观察值，已知

，则取显著性水平0.05时，检验假的置信水平为0.95的置信区间为（4。71，5。69）设H0:5.0,H1:5.0的结果是（ ）。

（A）不能确定 （B）接受H0 (C）拒绝H0 （D）条件不足无法检验 1、B; 2、D; 3、C; 4、A； 5、B。

2x0x,三、（本题14分） 设随机变量X的概率密度为：f(x)2，其中未知

其他0,参数0，X1,,Xn是来自X的样本,求（1)的矩估计；（2）的极大似然估计。 解：（1） E(X)xf(x)dx02x2dx，

322ˆˆ)X，得令E(X（2)似然函数为：L(xi,)i1n233X为参数的矩估计量。 22n2xi22n0xi,(i1,2,,n)， xi，i1nˆmax{X,X,,X}. 而L()是的单调减少函数，所以的极大似然估计量为12n四、（本题14分）设总体X~N(0,2)，且x1,x2x10是样本观察值，样本方差s22, (1）求的置信水平为0.95的置信区间;（2）已知Y2

X22X2~(1)，求D3的置信水222平为0。95的置信区间；（0。 .975(9)2.70,0.025(9)19.023）

解：

1818（1）的置信水平为0.95的置信区间为

2(9),2(9),即为(0。9462，6.6667);

0.9750.0252

X21X2122=（2）D； DD[(1)]2322222X222， 由于D是的单调减少函数,置信区间为,3222即为（0.3000,2.1137）。

五、（本题10分）设总体X服从参数为的指数分布，其中0未知，X1,,Xn为取自总体X的样本， 若已知UXi~2(2n)，求： i12n（1）的置信水平为1的单侧置信下限;

（2）某种元件的寿命（单位:h)服从上述指数分布,现从中抽得容量为16的样本，测得样本均值为5010（h）,试求元件的平均寿命的置信水平为0.90的单侧置信下限。

22(0.05(31)44.985,0.10(32)42.585)。

2nX2nX2解：（1) P(2n)1,P21,

(2n)即的单侧置信下限为2nX2165010；（2）3764.706。 242.585(2n)六、（本题14分）某工厂正常生产时,排出的污水中动植物油的浓度X~N(10,1),今阶段性抽取10个水样，测得平均浓度为10。8(mg/L)，标准差为1。2（mg/L）,问该工厂生产是否正

22常？（0.05,t0.025(9)2.2622,0.025(9)19.023,0.975(9)2.700)

解:（1）检验假设H0:2=1，H1：

2≠1； 取统计量：2(n1)s220；

拒绝域为：2≤2122222

(n1)0.975(9)=2。70或≥(n1)0.025=19.023,

2经计算：2(n1)s22091.2212.96,由于212.96(2.700,19.023)2,

1故接受H0,即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为2=1。

：10，H1：10； 取统计量:t（2）检验假设H0X10S/10~ t(9)；

2拒绝域为tt0.025(9)2.2622；t10.8101.2/10， 2.1028〈2.2622 ,所以接受H0即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是10(mg/L）.

综上,认为工厂生产正常。

七、（本题10分）设X1,X2,X3,X4为取自总体X~N(,42)的样本,对假设检验问题

H0:5,H1:5,(1)在显著性水平0。05下求拒绝域;（2）若=6,求上述检验所犯的第

二类错误的概率. 解：(1） 拒绝域为zx54/4x5z0.0251.96; 2（2)由（1)解得接受域为（1。08，8。92)，当=6时,接受H0的概率为

P{1.08X8.92}8.9261.0860.921。 22八、(本题8分）设随机变量X服从自由度为(m,n)的F分布，（1）证明：随机变量自由度为(n,m)的F分布；(2）若mn，且P{X}0.05，求P{X证明:因为X~F(m,n)，由F分布的定义可令X1服从 X1}的值.

U/m,其中U~2(m),V~2(n)，U与V/n1V/n~F(n,m)。 XU/m11当mn时,X与服从自由度为(n,n)的F分布，故有P{X}P{X}，

X111从而 P{X}P{}1P{}1P{X}10.050.95 .

XX

V相互独立，所以